Calcul avec des nombres rationnels FAQ

Lorsque nous additionnons ou soustrayons des nombres décimaux, nous devons aligner les virgules afin que les chiffres de même rang soient alignés. Par exemple, si nous voulons additionner $3,4$‍ et $0,52$‍, nous devons poser l'opération comme ceci :

Comme on a aligné les virgules, on voit que l'on doit additionner $4$‍ dixièmes et $5$‍ dixièmes puis $3$‍ unités et $0$‍ unité. Si nous n'alignons pas les virgules, nous risquons de nous tromper et d'additionner des chiffres de rangs différents. Par exemple, si nous posons l'addition ainsi :

On pourrait croire qu'il faut additionner $4$‍ dixièmes et $2$‍ dixièmes, puis $3$‍ unités et $5$‍ unités. On obtiendrait la somme inexacte de $8,6$‍. Aligner les virgules nous permet donc d'éviter des erreurs lorqu'on additionne ou soustrait des nombres décimaux.

Le reste de la division de deux nombres entiers donne souvent un reste non nul. Par exemple, si on divise $7$‍ par $2$‍, le quotient est égal à $3$‍ et le reste à $1$‍. Le résultat de la division euclidenne de $7$‍ par $3$‍ s'écrit :

$7÷2=3$‍ reste $1$‍

Que se passe-t-il si on veut poursuivre la division, c'est-à-dire partager le reste $?$‍ On partage $1$‍ unité ou $10$‍ dixièmes en $2$‍, Pour celà, on ajoute une virgule et un zéro au dividende. Par exemple, $7$‍ est égal à $7,0$‍ :

En divisant $1,0$‍ ou $10$‍ dixièmes par $2$‍, on obtient $0,5$‍ ou $5$‍ dixièmes. Le quotient est égal à $3,5$‍. Le résultat de la division est :

On peut procéder ainsi pour toute division dont le reste est différent de $0$‍. Par exemple, la division de $9$‍ par $4$‍ a pour quotient $2$‍ et pour reste $1$‍ :

$9÷4=2$‍ reste $1$‍

On poursuit la division :

En divisant $1,0$‍ ou $10$‍ dixièmes par $4$‍, on obtient $0,25$‍ ou $25$‍ centièmes. Le quotient est égal à $2,25$‍. Le résultat de la division est :

Pour diviser deux nombres décimaux, on transforme d'abord la division pour que le diviseur soit un nombre entier. Pour cela, on multiplie par $10$‍, $100$‍, $1000$‍... le diviseur et par le même nombre le dividende. On écrit en fait une fraction égale.

Par exemple, si on veut diviser $3,6$‍ par $0,4$‍, on multiplie le diviseur ET le dividende par $10$‍. On obtient la même division, $36÷4$‍ :

Le quotient est égal à $9$‍. Donc :

Un autre exemple, si on veut effectuer $0,18÷0,06$‍ , on multiplie le diviseur ET le dividende par $100$‍. On obtient la même division : $18÷6$‍.

Le quotient est égal à $3$‍. Donc :

L'inverse d'un nombre consiste à répondre à la question "combien de groupes de ce nombre y-a-t-il dans 1 ?"

On commence avec un exemple simple. Combien de groupes de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ y-a-t-il dans $1$‍ $?$‍ Il y a $3$‍ groupes de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ dans $1$‍. Donc, $3$‍ (qui s'écrit aussi ${\displaystyle \frac{3}{1}}$‍) est l'inverse de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Combien de groupes de $3$‍ y-a-t-il dans $1$‍ $?$‍ Il n'y a pas de nombre entier de groupes de $3$‍ dans $1$‍, mais un nombre fractionnaire de groupes de $3$‍ dans $1$‍. Il y a ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ de groupe de $3$‍ dans $1$‍.

Voici ce que nous pouvons écrire sur un nombre et son inverse :

L'inverse d'un nombre est tel que le produit du nombre et de son inverse est égal à $1$‍.

Utilisons cette définition pour déterminer l'inverse de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍.

Donc l'inverse de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍ est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ et inversement.

Avez-vous remarqué ? Prendre l'inverse d'un nombre consiste à permuter le numérateur et le dénominateur !

La division nous permet de déterminer comment répartir un certains nombre d'objets en groupes de même taille.

On veut calculer $5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍.

L'inverse d'un nombre répond à la question "Combien de groupes de ce nombre y-a-t-il dans 1 ?" Donc $1÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍ est l'inverse de${\displaystyle \frac{2}{3}}$‍, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{3}{2}}$‍.

Ici, on a $5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}=(5\times 1)÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍. Le quotient sera donc $5$‍ fois plus grand que celui de la division de $1$‍ par $2/3$‍.

Donc, $5\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍.

Dans de nombreuses situations de la vie courante, nous pouvons être amenés à effectuer des opérations sur des fractions et des nombres décimaux. Par exemple, lorsque nous cuisinons, nous pouvons être amenés à multiplier ou à diviser des fractions lorsque nous mesurons des ingrédients. Par exemple, si j'ai ${\displaystyle \frac{3}{4}}$‍ de litres de lait, pour savoir combien de bouteilles d' ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ litre je peux remplir, je dois effectuer ${\displaystyle \frac{3}{4}}÷{\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Nous effectuons des opérations avec les nombres décimaux dans le contexte de la monnaie. Par exemple, si je dispose de $45,80$‍ euros, pour savoir combien de livres à $12,50$‍ euros l'un je peux m'acheter, je vais devoir diviser $45,80$‍ par $12,50$‍.

Il existe d'innombrables autres situations dans lesquelles nous pouvons utiliser des fractions ou des nombres décimaux dans la vie de tous les jours - lorsque nous découpons des choses en portions, calculons des pourcentages ou effectuons des mesures, pour n'en citer que quelques-unes.