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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6
Leçon 11: La dérivée d'un quotient de fonctions- Règle de dérivation d'un quotient : exemple à partir d'un tableau de valeurs
- Retrouver la formule de dérivation d'un quotient
- Calcul de la dérivée du quotient de deux fonctions 2
- Calcul de la dérivée du quotient de deux fonctions
- Dérivée du quotient de deux fonctions - Savoirs et savoir-faire
- Dérivée d'une fonction rationnelle
- Dérivée d'une fonction rationnelle
- Dérivée d'une fonction rationnelle - Savoirs et savoir-faire
- Dérivée de la fonction tangente
Dérivée d'une fonction rationnelle
La dérivée de la fonction h définie par h(x)=(5-3x)/(x²+3x).
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Bonjour!
À la fin de la vidéo, vous dites qu'on peut factoriser l'expression
(3x²-10x-15)/(x²+3x)²
Mais je ne vois pas comment.
Pouvez-vous en dire plus? Merci!(2 votes)
On peut toujours factoriser ce genre d'expression en utilisant la formule de dernier recours:
1) 3x² - 10x - 15
2) 3 * (x² - 10x/3 - 5)
3) 3 * ((x - 5/3)² - 25/9 - 5)
4) 3 * ((x - 5/3)² - 70/9)
5) 3 * (x - (5 - sqrt(70))/3) * (x - (5 + sqrt(70))/3)
6) (3x - 5 + sqrt(70))(x - (5 + sqrt(70))/3)
[EDIT: juste après avoir rédigé toute cette réponse, je me souviens vaguement du sujet du cours qui expliquait cette méthode: je crois qu'il faut aller chercher du côté de la "forme canonique"]
Je ne trouve plus le cours lié à cette méthode, mais pour expliquer simplement les étapes:
2) Je m'assure que le facteur de x² soit 1 en divisant le tout par 3.
3) Je créé une expression de type (a + b)² à partir des deux multiples de x (x² et -10x/3).
Comme (a + b)² donne (a² + 2ab + b²), j'ai besoin de résoudre a = x², 2ab = -10x/3. Je trouve que b = -5/3, et j'obtiens donc l'expression de forme (a + b)² suivante: (x - 5/3)².
Mais attention : b² ne faisait pas partie de mon expression de départ, et il a donc disparu ! Pour équilibrer l'équation je dois donc soustraire le produit de 5/3 par lui-même : c'est de là que vient le -25/9 qui suit.
4) Je calcule la somme de b² et -5, qu'on appellera c.
5) J'inclus cette somme dans l'expression de type (a + b)²: pour cela, j'ajoute la racine carrée de c, que j'appelle ici sqrt(c), à l'un des membre, et je la soustrais à l'autre, ce qui donnera une expression de cette forme:
(a + b + sqrt(c))(a + b - sqrt(c)).
6) Pour finir de factoriser, j'applique le facteur 3 qu'on avait retiré de x² au tout début.
Ça prend un peu de temps à appliquer, mais c'est une méthode qui fonctionne a tous les coups.(2 votes)
Transcription de la vidéo
alors on va dériver cette fonction-là h2x qui est égal à 5 - 3 x / x au carré + 3 x alors mais la vidéo sur pause rassemble un petit peu tout ce que tu connais sur les dérivés et essaye de dérivés cette fonction tout seul semble est le conseil que j'ai à te donner c'est que quand on te donne une fonction il faut absolument que tu te penches un peu sur comment est ce qu'elle est fabriqué cette fonction de quoi elle se compose parce qu'en général cette étude là va te montrer quelles règles il faut que tu emploies pour dériver la fonction alors ici tu as peut-être marqué ce qu'on va en fait c'est une caution de deux fonctions on a ici ce premier terme là / ce deuxième terme voilà donc on a vraiment un quotient de deux fonctions en fait c'est ce qu'on appelle une fonction rationnelle puisque c'est un quotient de deux polynôme et si tu veux ce qu'on peut dire c'est que du coup h2x on peut l'écrire comme ça c'est u2 x / v2x ou u2 x est égal à 5 - 3 x et v2x est égal à ixxo carey +36 alors une fois que tu as écris ça comme ça que tu a repéré cette structure de la fonction h et bien c'est beaucoup plus facile de voir quelles règles il faut appliquer puisque ici h est un quotient donc il faut appliquer la règle de dérivation d'un caution alors là je vais te la réécrire cette règle là on va l'écrire dans le cas de h&h primes de x et bien c une prime 2 x x v2x - plus de x fois fait primes de x le tout divisé par v2x au carré p 2 x au carré voilà ça c'est vraiment la formule générale et maintenant je vais l'appliquer au cas de ses fonctions donc eu de xc 5 - 3 x qui me permet de dire que une prime de x en fait c'est égal à moins 3 et puis v primes de x et bien c'est 2 x + 3 puisque v2 ixe et xe au carré + 3 x donc ça c'est assez facile à dériver alors maintenant je vais remplacer u v u primé v prime par leurs valeurs dont au numérateur déjà j'ai v2x au carré c'est à dire x au carré + 3 x le tout au carré et puis au numérateur j'ai donc eu primes de x qui est égal à - 3 x v2x c'est à dire x x au carré + 3 x - u 2 x c'est-à-dire 5 - 3 x factor devait primes de x et v primes de x on a dit que c'était 2 x + 3 alors là on dur on va juste travailler un peu pour simplifier cette expression donc j'ai au numérateur alors je vais arrêter d'utiliser les couleurs - 3 x au carré - 9 x ça c'est ce terme là que j'ai développé et ici je vais développer ce terme-là donc moins 5 x 2 x a fait 10 x - 5 x 3 c'est-à-dire moins 15 - - 3 x x 2 x - 3 x x 2 x 2 x ça fait moins 6 x au carré avec un moins de vingt neuf ans donc j'ai plus 6 x au carré et puis enfin - 3 x x 3 c'est à dire moins 9 x avec un moins de vent c'est à dire plus 9 x et je divise tout ça par le dénominateur qui est x au carré + 3 x le tout aux quarts et ça je le laisse comme ça pour l'instant alors maintenant au numérateur j'ai des simplifications affaire j'ai moins 3 x au carré ici + 6 x au carré ce qui me donne 3 x au carré ensuite j'ai moins 9 x ici +96 ici et puis -10 x donc il me reste moins 10 x il ya ceux - 15 qui est là donc ça je le laisse moins 15 et jeudi visent tous à pas xo carré 3 x le tout aux cayes et là on a terminé on vous pourrez factoriser le numérateur pour avoir une expression factoriser ça sera de toute façon ce qu'on devra faire pour étudier le signe de hache prime mais ça je te laisse le faire tout seul je pense que tu as pas besoin de moi pour ça à bientôt