Introduction au produit vectoriel

dans les vidéos précédentes on a on a beaucoup parlé du produit scalaires le produit scalaires en fait il existe un autre produit qui s'applique aux vecteurs et qu'on appelle celui ci le produit vectorielle le produit vectorielles et l'idée de cette vidéo la cde c'est de définir un peu ce que c'est alors déjà il ya plusieurs différences sur le ventre le produit scalaires et le produit vectorielle la première c'est que le produit scalaires on a vu ça s'applique pour sur la deux vecteurs a et b qui appartiennent arn arn on peut définir le produit scalaires entre ces deux vecteurs alors que le produit vectorielle il va s'appliquer uniquement pour des vecteurs qui sont dans r3 donc c'est pour deux vecteurs a et b qui appartiennent à r 3 la première différence c'est que voilà le produit scalaires il s'applique quel que soit les vecteurs a et b qui appartiennent à rennes dans quelle que soit la dimension de l'espace quelle que soit la dimension des vecteurs on peut avoir son coefficient dans le vecteur est le produit scanner on sera quand même capable de le définir le produit vectorielle lui il faut que a et b soit tous les deux derrière 3 donc chacun soit composé de uniquement 3 coefficient ça c'est la première différence est la deuxième différence c'est que le produit scalaires comme son nom l'indiqué il nous définit le résultat du produit scalaires c'est un scalaire c'est un scalaire alors que le résultat du produit vectorielle ça va nous donner un vecteur donc les deux produits n'ont vraiment rien à voir il s'applique pas forcément le même vecteur et il donne pas les mêmes résultats henin qui donne un scalaire l'autre qui donne un vecteur donc maintenant que j'ai fait cette petite introduction et pour pour te donner envie on va on va voir ce que c'est le produit vectorielle donc pour ça on va prendre deux vecteurs on va prendre un vecteur à qui est égal à donc à il est dans l'air froid forcément donc on va dire qu'il égal à a1 a2 et a3 il a trois coefficients et on va prendre un vecteur b aussi dans r3 on va dire que baisser du coup b1 b2 et b3 alors maintenant l'idée c'est de définir justement le produit qu'à l'ère de apparaît donc la première chose le produit scalaires de à barbe et on va le noter comme ceci avec un petit un petit triangle un petit chapeau horrifié et se produit scalaires il va être égal à quoi donc je veux dire c'est coefficient alors pour le calculer pour le calcul et le premier coefficient en fait on va avoir trois coefficient c'est le produit le poly vectorielle de à part mais il est aussi dans r3 donc il a aussi trois coefficients et pour calculer le premier coefficient en fait la façon de faire c'est on barre la première ligne et on va dire que le produit scalaires c'est à deux mois à 2 x b 3 - à trois fois b2 qu'en fait on prend en croit comme ça et en fait si tu as déjà vu si tu as déjà entendu parler de déterminant ça c'est vraiment le déterminant de la matrice où on a en a barré la première ligne et c'est vraiment le coefficient le déterminant de la matrice de par2 qui est définie par a2b 2 à 3 b 3 donc j'ai dit sur la première ligne on a à deux baies 3 - à troyes b 2 ça c'est sur ma première ligne maintenant pour la deuxième ligne en fait il ya une petite astuce pour pour savoir comment calculer ce qu'on va faire c'est qu'on va réécrire ici les coefficients 1 et bien qu'on va dire que là on a à 1 c'est juste pour le calcul qu'on fait ça là on a bien et du coup quand on recherche sur le 2ème coefficient du produit vectorielle on va faire la même chose mais on va le faire ici ça va être à trois fois bien moins à 1 x b3 place une façon simple on ne réécrit les coefficients il chie pour calculer simplement le deuxième qu'options donc j'ai dit c'est à trois bien moins à un b3 canal deuxième coefficient est le dernier coefficient on va le calcul est donc et on va faire la même méthode donc là on cherche à avoir le dernier confiant alors en fait on peut réécrire ici si on veut écrire ici à 2 b2 et du coup on cherche le dernier col est chiant donc ça va être on va faire la même chose ça va être un x b 2 - à deux fois b1 donc je l'écris ici on a dit à 1 x b 2 - à 2 fabien donc voilà donc mon produit ce que mon produit vectorielle de à par b il est égal à ceux ci donc on va le faire sur un exemple si je prends le vecteur 1 - 7,1 et un deuxième vecteur donc le produit vectorielle de ce vecteur pas un deuxième vecteur on va dire le vecteur 5 2 4 donc on va calculer ce produit vectorielle en utilisant la formule qu'on a vu ici donc ça nous fait quoi ça nous fait sur la première ligne on a moins cette fois 4 - cette fois 4 - 1 x 2 - une fois deux sur la deuxième ligne on a dit du coup si on avait écrit ici ici on a un et -7 je vais utiliser ça pour le calcul est ici si on écrit les coefficients on a 5 et 2 donc la première ligne en as à la deuxième ligne la deuxième ligne on a une fois 5 - une fois 4 - il faut 4 donc 1 fois 5 - une fois 4 et la dernière ligne on a ici on a une fois 2 - - cette fois 5 une fois 2 - entre parenthèses - cette fois 5 j'ai dit voilà donc là on a notre produit vectorielle de deux vecteurs et du coup si on fait le calcul maintenant sur la première ligne g - cette fois 4 donc moins 28 - 2 donc ça fait moins 30 moins 30 sur la deuxième ligne j'ai une fois 5 - une fois 4 donc ça fait cinquante quatre ça fait 1 et sur la troisième ligne g 2 - pour moi ça fait plus cette fois 5 ça fait trente cinq dont deux +35 ça fait 37 là j'ai réussi à calculer le pro du vectoriel 2002 vecteur pour alors c'est très bien maintenant j'espère que tu as compris comment on le calcule et mais tu peux lire oui je sais le calculer mais à quoi ça sert pour l'instant on n'a pas dit à quoi ça servait est en fait la première chose à dire sur le produit vectorielle c'est que ce vecteur hi-fi le produit vectorielle ou ce vecteur ici dans le cadre de l' exemple ces vecteurs vont être à chaque fois orthogonaux à a et b donc le produit vectorielle de a et b et orthogonale orthogonale les orthogonale à a et b au vecteur à et aux vecteurs b et si on repense par exemple à ce qu'on a fait dans la dernière vidéo donc si on prend on va on va dire que nos vecteurs a et b forme un plan les deux vecteurs sont comprises dans un plan si je fais un dessin ici j'ai mon vecteur à ça c'est mon vecteur à et je vais dire que mon vecteur bay est comme ça facilement vecteur b et du coup je veux dire que ces deux vecteurs forme un plan qui est comme ça voilà donc ces deux vecteurs forme un plan et dans la dernière vidéo on a dit que pour avoir l'équation d'un plot il fallait connaître un vecteur qui est normal à tous les vecteurs de ce plan si on trouve un vecteur qui est perpendiculaire assez des vecteurs il va bien être normal à ce plan si on prend le produit vectorielle 2b parra ça va bien être un vecteur qui va être normale au plan si je le trace ici anvers assez le produit vectorielle de à barbe et c'est bien un vecteur qui est normal à ce plan alors tu peux me poser la question tu veux dire que la gelée défini dans ce sens là mais j'aurais très bien pu le dessiner al'inverse vers le bas en fait pour déterminer le sens on utilise qu'on appelle la règle de la main droite si je prends ma main droite et que je dirige mon index vers le vecteur a donc mon index va être comme ceux ci est ensuite je dirige mon majeur vers le vecteur b donc mon majeur iv comme ceux ci les deux audois sont repliés et à ce moment là mon pouce va pointer vers le vecteur à vectorielle b mon pouce va aller vers mon vecteurs aav vectorielle b donc j'ai ma main est très bien dessinés et du coup si je suis je replace mais better là j'ai mon vecteur à l'ag mon vecteur b et mon vecteur à vectorielle b il va être il va être dans cette direction il va suivre la direction de mon pouce ca vectorielle b est normalement si ici si tu as bien le pouce du bon côté ainsi le site a pas pris la main gauche ou si t'as pas un pouce de l'autre côté tu devrais avoir le pouls ski qui pointe vers le vecteur avec tauriel b elle ordonne avec dans la dernière vidéo on a aussi dit que deux vecteurs qui était orthogonaux l'un a dit que a et b étaient tous les deux orthogonaux à avec tauriel b dans la dernière vidéo on addiction prenez deux vecteurs un vecteur à est un vecteur b non nul on a dit que si ces deux vecteurs sont orthogonaux ortho gonnot ça signifie ça implique que le produit scolaire de à barbe et doit être égale à zéro donc ça ça veut dire quoi ça veut dire que si ce qu'on dit est vrai si le produit vectorielle de à barbe et et orthogonale aux vecteurs b&o vecteur 1 alors le produit scalaires de avec tauriel départ et par b ou para devait assez égal à zéro donc ça on peut le vérifier donc si je reprends le produit vectorielle de à barbey et je dis que je fais le produit vectorielle scalaires le vecteur a par exemple scalaires mon vecteur a donc a1 a2 a3 donc on va calculer ce produit scalaires alors donc ça assez égal à sur la première ligne g à 1 fois à deux baies 3 à 1 à 2 b 3 - a1 a3 b2 plus sur la deuxième ligne donc la ccc un scalaire donc c'est tout à la ligne mais vu que j'ai pas la place je vais mettre les uns en dessous des autres sur la deuxième ligne g à deux fois à trois bien à troyes b 1 - 1 à 2 à un b3 à un b3 et sur la troisième ligne j'ai a3 baa1 b 2 à 1 b 2 - à 3 à 2 b 1 donc une fois que j'ai ça je peux voir si j'ai des thèmes qui simplifie donc par exemple ici j'ai à un à deux baies 3 et ici j'ai moins à un à deux baies 3 donc en fait et plus le plus et le moins ici il simplifie ici j'ai à 1 à 3 b2 est ici donc j'ai moins à 1 à 3 b2 et ici j'ai plus à 1 à 3 b 2 donc les deux stern ici vont simplifier et ici j'ai à 2 à 3 b 1 - a2 a3 à ba1 donc ces deux termes se simplifie donc j'ai bien que le produit scalaires du vecteur à vectorielle b à vectorielle b scalaires à on vient de le montrer est égal à zéro donc ça veut dire que le produit vectorielle de à barbey et orthogonale un bon vecteur à on peut faire la même chose avec le produit scalaires du produit vectorielle de à barbe et scalaires b donc si j'ai écrit mon produit vectorielle g à deux baies 3 - à troyes b deux sur la deuxième ligne ga 3 b 1 - à un b3 sur la troisième ligne g à 1 b 2 - a2 b1 ça c'est le produit vectorielle de à par b et maintenant je veux faire le produit scalaires de ce vecteur par le vecteur b donc je vais gagner de la place on a dix produits scanner par le vecteur b donc b1 b2 et b3 donc si je calcul ça ici donc gb1 fois à deux baies 3 - b 1 à 3 b 2 ici donc encore une fois ici c'est tous sur la même ligne parce que le produit scalaires me définit un scalaire mais je l'écris en colonne pour que ce soit plus lisible donc ici jura diriger plus b deux fois à troyes b 1 - b2 à un b3 et sur la dernière ligne gb 3 à 1 b 2 - b3 a2 b1 et du coup maintenant on va voir encore une fois si si ça simplifie donc ici gb 1 à 2 b3 et ici j'ai moins bien à deux baies 3 donc les deux termes ici devant simplifiée ici j'ai moins b 1 à 3 b2 est figé plus baa3 b2 donc les deux termes ici se simplifient et ici j'ai moins b2 à un b3 ici j'ai plus b21 b3 donc encore une fois les termes se simplifie donc j'ai montré que le produit vectorielle à part b scalaires b est égal à zéro donc j'ai montré que le produit qu'à l'ère de la vectorielle b parra est égal à zéro que le produit qu'à l'ère de avec tauriel b par b est égal à zéro donc j'ai bien montré que le produit vectorielles et orthogonale à la fois à a et à b voilà donc j'espère que cette partie est clair et puis dans la vidéo prochaine on verra un peu plus de propriétés du produit vectorielle de à par b