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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 12

Leçon 4: Méthode des tubes pour le calcul d'un volume de révolution

Méthode des tubes pour une rotation autour une droite verticale
Méthode des tubes pour une rotation autour une droite verticale : calcul de l'intégrale
Méthode des tubes pour une rotation autour de l'axe des abscisses
Méthode des tubes pour deux fonctions de x
Méthode des tubes pour deux fonctions de x : calcul de l'intégrale
Méthode des tubes pour deux fonctions de y
Méthode des tubes pour deux fonctions de y : calcul de l'intégrale
La méthode des tubes
Méthode des tubes
Méthode des tubes : défi

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Méthode des tubes pour le calcul d'un volume de révolution

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La méthode des tubes

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Exercice 1

Soit la surface plane comprise entre l'axe des abscisses et la courbe d'équation

y = 3 x - x^{2}

‍.

Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de l'axe des ordonnées est égal à ...

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$9 π$ ‍
(Choix B)
$\frac{81 π}{10}$ ‍
(Choix C)
$\frac{27 π}{2}$ ‍
(Choix D)
Aucune de ces propositions.

La méthode des tubes

La méthode des tubes consiste à considérer le solide comme la somme d'une infinité de tubes. On commence par représenter la surface et un tube type.

En utilisant la méthode des tubes, le volume d'un solide engendré par la rotation autour d’un axe vertical d'une surface plane comprise entre les droites d'équation

x = a

‍ et

x = b

‍ est :

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d x

‍

où

r

‍ est le rayon du tube et

h

‍ la hauteur du tube.

Expression du volume du solide

Par lecture graphique, le rayon d'un tube est

r = x

‍ et sa hauteur

h = 3 x - x^{2}

‍.

On peut découper le solide en une infinité de tubes concentriques entre

x = 0

‍ et

x = 3

‍.

Le volume du solide est :

V = \int_{0}^{3} 2 π x (3 x - x^{2}) d x

‍

Calcul de l’intégrale

\begin{aligned} V & = \int_{0}^{3} 2 π x (3 x - x^{2}) d x \\ = 2 π \int_{0}^{3} (3 x^{2} - x^{3}) d x \\ = 2 π {[x^{3} - \frac{1}{4} x^{4}]}_{0}^{3} \\ = 2 π (27 - \frac{81}{4}) \\ = \frac{27 π}{2} \end{aligned}

‍

La réponse

Le volume de ce solide est égal à

\frac{27 π}{2}

‍ unités de volume.

Exercice 2

Soit la surface plane comprise entre l'axe des abscisses et la courbe d'équation

y = 1 - x^{2}

‍.

Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de la droite d'équation $x = 1$ ‍ est égal à ...

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$\frac{5 π}{6}$ ‍
(Choix B)
$\frac{8 π}{3}$ ‍
(Choix C)
$\frac{π}{2}$ ‍
(Choix D)
Aucune de ces propositions.

La méthode des tubes

La méthode des tubes consiste considérer le volume du solide comme la somme d'une infinité de tubes. On commence par représenter la surface, l'axe de rotation et un tube type.

En utilisant la méthode des tubes, le volume d'un solide engendré par la rotation autour d’un axe vertical d'une surface plane comprise entre les droites d'équation

x = a

‍ et

x = b

‍ est :

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d x

‍

où

r

‍ est le rayon du tube et

h

‍ la hauteur du tube.

Expression du volume du solide

Ici, l'axe de rotation est la droite d'équation

x = 1

‍. Donc, le rayon d'un tube est

r = 1 - x

‍. La hauteur d'un tube est

h = 1 - x^{2}

‍.

On peut découper le solide en une infinité de tubes concentriques entre

x = - 1

‍ et

x = 1

‍.

Le volume du solide est :

V = \int_{- 1}^{1} 2 π (1 - x) (1 - x^{2}) d x

‍

Calcul de l’intégrale

\begin{aligned} V & = \int_{- 1}^{1} 2 π (1 - x) (1 - x^{2}) d x \\ = 2 π \int_{- 1}^{1} (1 - x - x^{2} + x^{3}) d x \\ = 2 π {[x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{- 1}^{1} \\ = 2 π (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - (- 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})) \\ = 2 π (2 - \frac{2}{3}) \\ = \frac{8 π}{3} \end{aligned}

‍

La réponse

Le volume de ce solide est égal à

\frac{8 π}{3}

‍ unités de volume.

Exercice 3

Soit la surface plane délimitée par la droite d'équation

y = x

‍ et par la courbe d'équation

x = (y - 2)^{2}

‍.

Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de l'axe des abscisses est égal à ...

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$\frac{32 π}{3}$ ‍
(Choix B)
$\frac{45 π}{2}$ ‍
(Choix C)
$\frac{64 π}{3}$ ‍
(Choix D)
Aucune de ces propositions.

La méthode des tubes

La méthode des tubes consiste considérer le solide comme la somme d'une infinité de tubes. On commence par représenter la surface et un tube type.

Rappelez-vous que l'axe de rotation est l'axe des abscisses !

En utilisant la méthode des tubes, le volume d'un solide engendré par la rotation d'un autour d’un axe horizontal d'une surface plane comprise entre

y = a

‍ et

y = b

‍ est :

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d y

‍

où

r

‍ est le rayon du tube et

h

‍ la hauteur du tube.

L'épaisseur d'un tube est

d y

‍. On doit donc exprimer le rayon et la hauteur d'un tube en fonction de

y

‍.

Expression du volume du solide

Le tube est ici horizontal. Son rayon est

r = y

‍,et sa hauteur est

h = y - (y - 2)^{2}

‍.

On peut découper le solide en une infinité de tubes concentriques entre

y = 1

‍ et

y = 4

‍.

Le volume du solide est :

V = \int_{1}^{4} 2 π (y) (y - (y - 2)^{2}) d y

‍

Calcul de l’intégrale

\begin{aligned} V & = \int_{1}^{4} 2 π (y) (y - (y - 2)^{2}) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} y (y - (y^{2} - 4 y + 4)) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} y (5 y - y^{2} - 4) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} (5 y^{2} - y^{3} - 4 y) d y \\ = 2 π {[\frac{5}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} - 2 y^{2}]}_{1}^{4} \\ = 2 π (\frac{320}{3} - 64 - 32 - (\frac{5}{3} - \frac{1}{4} - 2)) \\ = 2 π (\frac{45}{4}) \\ = \frac{45 π}{2} \end{aligned}

‍

La réponse

Le volume de ce solide est égal à

\frac{45 π}{2}

‍ unités de volume.

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Patrice THOMASSIN
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Patrice THOMASSIN «Pour l'exercice 1 la ques ... »
Pour l'exercice 1 la question n'est-elle pas "volume autour de l'axe des ordonnées" ?
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