Minimum ou maximum absolu

On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.

Cette leçon est à mettre en relation avec la leçon Minimum ou maximum local.

et avec la vidéo Le théorème des bornes atteintes.

Le théorème des bornes atteintes : Si $f$‍ est une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$‍ alors $f$‍ est bornée sur $[a,b]$‍ et atteint ses bornes sur $[a,b]$‍. Chacune des bornes est soit un extremum local de la fonction, soit l'une de ses valeurs aux bornes de l'intervalle.

Soit la fonction $h$‍ définie sur $[-3,3]$‍ par $h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍. Pour déterminer ses extremums absolus sur $[-3,3]$‍, on commence par calculer sa dérivée.$$‍

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍. La dérivée s'annule en $-2$‍ et en $1$‍. On détermine son signe sur chacun des intervalles ci-dessous.$$‍

D'où ce tableau :

Sur l'intervalle $[-3,3]$‍, la fonction $h$‍ atteint un minimum en $-3$‍, égal à $9$‍ ; un minimum local en $1$‍, égal à $-7$‍ ; un maximum local en $-2$‍, égal à $20$‍ et un maximum en $3$‍, égal à $45$‍. $$‍

La fonction atteint son minimum absolu en un point situé à l'intérieur de l'intervalle et son maximum absolu en l'une des bornes de l'intervalle.

Il n'est pas vrai que toute fonction a au moins un extremum absolu sur son ensemble de définition, c'est le cas de certaines fonctions seulement. Par exemple, la fonction définie par $f(x)=x$‍ n'a ni minimum absolu, ni maximum absolu sur $ℝ$‍.

Soit la fonction $g$‍ définie par $g(x)=x{e}^{3x}$‍. Cette fonction est définie sur $ℝ$‍ et nous allons établir qu'elle a un minimum absolu sur $ℝ$‍.

$g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍. La seule valeur pour laquelle cette dérivée s'annule est $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Que peut-on dire des valeurs de la fonction sur l'intervalle $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$‍ ?

$g$‍ est décroissante pour toute valeur de $x$‍ inférieure à $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ et croissante pour toute valeur de $x$‍ supérieure, donc la plus petite valeur de $g(x)$‍ est sa valeur en $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. La fonction $g$‍ a un minimum absolu sur $ℝ$‍.