Facteurs intégrants 2

dans la vidéo précédente on avait cette équation différentielle et même si elle avait peut-être l'air d'une équation différentielle exact on a vérifié que ça n'en était pas une en montrant que la dérivées partielles de cette expression m par rapport à y n'est pas égal à la dérive et partielle de cette expression elle par rapport à x et on s'est dit que peut-être il est possible de multiplier toute cette équation par une fonction de façon à ce que cette nouvelle équation soit exact on a appelé cette fonction muet dans la vidéo précédente on a déterminé mais notre facteur intégrant on a trouvé que si on multiplie de chaque côté de cette expression par l'ue de x et gallix on obtient une équation différentielle exact note bien qu'on aurait aussi pu avoir une fonction de y ou même une fonction de x et de y qui aurait pu transformer cette équation en inéquation exact mais comme notre but ici c'est tout simplement d'obtenir une équation différentielle exact ça n'a pas vraiment d'importance quels facteurs intégrant on choisit maintenant on peut s'attaquer à la résolution de ce problème on commence par multiplier de chaque côté de cette équation différentielle par mu 2 x qui est égal à x ça nous donne 3 x au carré y plus x y au carré plus x à la puissance 3 + x au carré y fois d y sur dx est égal à zéro pour être bien sûr on peut vérifier que cette équation différentielle est en effet exact on détermine d'abord la dérivées partielles de cette expression par rapport à y ça nous donne 3 x au carré + 2 x y et maintenant on détermine la dérive et par celle de cette expression par rapport à x c'est 3 x au carré +2 x y ces deux dérivées partielles sont bien égale donc on a bien une équation différentielle exacte et la solution de cette nouvelle équation différentielle devrait être la même que pour notre équation différentielle de départ puisque tout ce qu'on a fait c'est x x donc ça ne devrait pas changer la solution alors comment est ce qu'on trouve la solution et bien comme on a ici une équation différentielle exact on sait qu'il existe une fonction psy tels que la dérivées partielles de psy par rapport à x est égal à cette expression là à savoir 3 x au carré y plus x y au carré on intègre de chaque côté par rapport à x de façon à avoir à gauche 6 et de l'autre côté on a x occupe x y plus un demi point x au carré x y au carré mais attention comme ci est une fonction de x et de y quand on a fait la dérive et partiale de psy par rapport à x c'est-à-dire quand on est passé dit si a ici on a perdu tous les termes qui ne sont fonction que de y donc on ajoute ici un h2y une fonction de y maintenant pour déterminer ce h2y on utilise l'information qui est que la dérivées partielles de psy par rapport à y est égal à cette expression là alors on va faire ça tout de suite qu'elle est la dérive et partielle de psy par rapport à y dérivées partielles de psy par rapport à et grax est égal à x au cube plus ici on a deux fois en demi ça fait 1 donc x au carré fois y plus h prime de y et ça ça doit être égale à 7 expression là c'est à dire ax au cube plus x au carré fois y ont soustrait x au cube plus x au carré x et y de chaque côté c'était un disparaissent et il nous reste h prix m 2 y est égal à zéro autrement dit si on détermine la primitive de chaque côté ici on a acheté y égal c'est une constante donc on peut dire que si est égal à toute cette expression là en effet on n'a pas besoin d'ajouter la constante ou autrement dit h2y puisqu'on va l'inclure dans la constante de la faim comme on l'a fait dans les vidéos précédentes on peut donc écrire cette équation différentielle comme la dérive et total par rapport à x2 psic est une fonction de x et de y est égal à zéro si tu dérive 6 par rapport à x en utilisant des connaissances sur les dérivés partiel et sur la dérivation enchaîne tu dois retrouver cette expression là en intégrant de chaque côté on obtient 6 égal c'est qui est la solution de cette équation différentielle et aux remplaçants psy par son expression ici on obtient x occupe fois et grecs + 1/2 x x carré x y au carré égale ces essais dans ce c et c'est dans cette constante là qu'on retrouve la constante qu on a mis de côté un peu plus tôt east et voilà la solution de notre équation différentielle on avait au départ une équation différentielle qui n'était pas exacte ici quand on a multiplié par un facteur intégrant mu 2 x qu'on a déterminé dans la vidéo précédente on a obtenu une nouvelle équation différentielle exact cette fois à partir de là on a su qu'il existe une fonction psy tels que la dérive et de psy par rapport à x est égal à toute cette expression là est donc égale à zéro c'est ce qu'on a écrit ici ce qui nous a permis de déterminer solution psy est égal à ces pour déterminer si on a utilisé le fait que la dérive et partielle de psy par rapport à x est égal à cette expression là la primitive de ça sepsi or on avait cette fonction h2y qu'on avait pu perdre lors de la dérivation partielle de psy par rapport à x pour trouver cette fonction h on a fait la dérivées partielles de psy par rapport à y et sachant que c'est égal à cette expression là ça nous a permis de résoudre pour âge on a trouvé que cette fonction hd y est une constante on aurait pu remplacer h par c'est ici mais comment c'est que la solution de l'équation différentiel c'est si égal c'est inutile en effet si on avait eu un plus c'est ici à la place du âge ou plutôt plus c'est un pour ne pas confondre avec ceux c'est là on aurait aussi eu plus c'est un ici et on aurait pu soustraire c'est un de chaque côté à droite on aurait eu c est moins c'est un qui est encore une constante donc autant ne pas s'embêter avec ces histoires de constantes et le garder qu'un c'est ici à la fin et voilà pour les équations différentielles exact je t'attends dans la prochaine vidéo pour aborder les équations différentielles homogène