Une application de la loi de refroidissement de Newton

alors comme je te l'avais promis dans une vidéo précédente on va ici appliqué la loi de refroidissement newton un cas particulier donc je te rappelle un petit peu de quoi il s'agit on va mesurer la température d'un corps par une variable qu'on appelle grant et en degrés celsius par exemple et cette température évolue forcément au cours du temps et le temps valve noté par la variable petit et alors ce que dit la loi de refroidissement de newton c'est que le taux de variation instantané de la température par rapport au temps qu'on peut noter comme ça des deux grands t sur d'été bien ce taux de variation il va être en fait proportionnelle à la différence de température entre le corps et la température ambiante donc ça on va l'écrire comme ça c'est moins qu'à facteur de thé - t as alors ici attention la constante qu'à est positive car c'est un nombre positif puisque effectivement dans ce cas la cité est plus grand que t as donc on est dans la situation où on a un corps plus chaud qui va donc se refroidir au contact de la température ambiante donc ça sera positif quand je multiplie par quelque chose de négatif effectivement j'obtiens un taux de variation pied négatif ce qui doit être le cas puisque la température de ce corps va diminuer al'inverse si on est dans le cas d'un corps qui est plus froid que la température ambiante ce corps va se réchauffer donc le taux de variation doit être positif et c'est bien ce qui se passe si on prend ici le moins caïques et négatifs alors ça donc c'est une équation différentielle et on l'a déjà résolu on a trouvé les solutions général de cette équation différentielle dans une précédente vidéo y en avait même vu qu'en fait il y avait deux solutions général selon qu'on place un corps chaud dans une pièce à température plus basse ou l' inverse un corps froide dans une pièce à température plus élevée donc ici on va prendre un cas particulier on va se mettre dans le cas où on place un corps qui a une température des plus grandes que la température ambiante c'est à dire que par exemple on peut supposer que tu arrives avec un gros bol de soupe bien chaude et qui va forcément se refroidir puisqu'il est température ambiante qui est plus faible alors dans ce cas là la forme générale de la solution de cette équation différentielle donc c'est une fonction qui va décrire la température en fonction du temps et bien on peut l'écrire comme ça alors je vais utiliser des couleurs une constante que j'appelle air multiplier par le nombre eux élevés à la puissance - k t'es où là ici le cas et ce cas larmes cette constante la plus la température ambiante plus la température ambiante maintenant je vais préciser un petit peu le scénario dans lequel on se place en fait on va supposer que on est dans une pièce qui a une température ambiante t as qui est égal à 20 degrés celsius alors évidemment on va supposer aussi que cette température ambiante ne change pas elle ne varie pas au cours du temps c'est à dire que c'est pas parce que tu arrives avec tombola qui est très chaud dans cette pièce que ça va modifier la température de la pièce donc ça c'est la première chose la température de la pièce c'est 20 degrés température ambiante et puis tu arrives dans la pièce avec ton bol de soupe qui lui au départ au moment où tu arrives dans la pièce il était une température de 80 degrés ça veut dire qu' à l'instant initial la température de ton bol de soupe de ta soupe donc c'était 2 0 et bien c'est 80 degrés celsius alors ce que tu sais aussi parce que tu en a fait l'expérience ce tu as pris des mesures avec un autre bol de soupe identique une autre fois ou alors tu bénéficies de résultats d'expériences d'autres personnes en tout cas tu sais que au bout de deux minutes ta soupe aura refroidi elle aura atteint une température de 60 degrés autrement dit ce qu'on sait c'est que la température au bout de deux minutes des 2 2 et bien c'est 60 degrés celsius alors maintenant la question qu'on va se poser à partir de ce modèle donc sage connaissant cette expression là de la température au cours du temps ces conditions là et bien là question qu'on va se poser c'est au bout de combien de temps la température de la soupe sera de 40 degrés donc au bout de combien de temps au bout d'eux combien deux temps la température de la soupe sera descendu à 40 degrés sera égal à 40 degrés 40 degrés celsius voilà ça c'est précisément le problème que je te pose et donc si tu as une idée n'hésite pas à mettre la vidéo sur pause et puis a essayé de le faire de ton côté bon alors la clé ici c'est d'utiliser ces données qui sont là les conditions dans lequel on s'est placé pour déterminer ici les valeurs de la constante air et de la constante cas pour déterminer complètement l'équation de notre modèle donc ça c'est la première étape et puis ensuite une fois que ton modèle est complètement déterminé et bien tu pourras simplement résoudre une équation qui va te donner le temps tu es au bout duquel la température de la soupe sera égal à 40 degrés alors c'est ce qu'on va faire donc déjà ce que je peux faire ici c'est remplacer la température ambiante par sa valeur est donc ici ça assez 20 degrés 20 degrés ici ça c'est une première chose et puis maintenant je vais utiliser cette indication là la température à l'instant initial de la soupe c'est 80 degrés donc je sais que tu es 2 0 c'est égal à 80 degrés celsius donc je veux laisser comme ça sans les unités et je sais aussi que c'est égal à 1 ère fois de puissance 0 donc à la constante r plus 20 degrés donc ici évidemment ça ça me donne une équation l'équation du premier degré dont l'un connu l air et je peur déduire que air est égal à 80 moins 20 80 -20 degrés donc air est égal à 80 moins 20 ça fait 60 r est égal à 60 ça c'est une première chose que j'obtiens assez facilement la cette constante là en utilisant cette équation là maintenant je vais utiliser la dernière indication ici qui est que la température au bout de deux minutes est égal à 60 degrés donc ça va me donner une autre équation je vais l'écrire ici tu es 2 2 la température au bout de deux minutes c'est 60 degrés je l'écris sans les unités et en fait cette température au bout de 2 minutes et bien maintenant je sais que c'est 60 puisque air ici est égal à 60 c 60 poids e puissance - alors je vais l'écrire en jaune - car fois tdi cité est égal à 2 donc ici je dois écrire ça comme ça - 4 x 2 je vais plutôt l'écrire comme ça d'ailleurs - 2 car c'est quand même un peu plus habituel plus bien sûr les 20 degrés qui sont ici la température ambiante donc là j'obtiens une autre équation donc je vais leur écrire proprement ici à côté c'est celle là 60 x e puissance moins de cas plus 20 égale 60 là je peux soustraire 20 des deux côtés donc ça va me donner 60 x e puissance moins de cas égale 60 - c'est à dire 40 maintenant je vais / 60 des deux côtés donc je vais obtenir eux puissance moins deux cas égale 40 sur 60 40 sur 60 ça fait 4 sur 6 ça fait deux tiers voilà donc ça c'est déjà pas mal maintenant je vais appliquer le logarithme des deux côtés je vais prendre le logarithme de chaque membre j'ai aucun problème à faire ça puisque j'ai que des quantités positive ici donc je peux prendre les logarithmes le logarithme 2e puissance moins de cas et bien c'est moins de cas et donc ça c'est égal à logarithme de deux tiers logarithme de deux tiers alors maintenant en fait ce qui m'intéresse c'est d'avoir moins qu'un an plus tôt que cas donc je veux diviser ici par deux et j'obtiens que moins qu'à est égal à 1,2 me de logarithmes de deux tiers alors là j'ai complètement déterminé l'expression de la température en fonction du temps alors je vais la réécrire proprement donc on a du coup t la température en fonction du temps ces airs qui est égal à 60 alors je vais de la mettre en blanc quand même 60 x e puissance - cat et et moins car on a vu que c'était un demi de logarithmes de deux tiers donc finalement cee puissance 1/2 toi logarithme de deux tiers je vais écrire comme ça x tu es plus la température ambiante qui est égal à 20 degrés voilà plus va donc ça c'est l'équation de enfin l'expression de la température en fonction du temps avec ces conditions là qui sont celles de notre problème voilà alors maintenant on n'est pas complètement terminée on a presque terminé il faut qu'on détermine à quel instant t on à cette température-là est égal à 40 degrés donc en fait on doit résoudre une équation qui est celle ci t de tte égale 40 alors je vais la résoudre donc ça me donne 60 x e puissance bon maintenant j'arrête d'utiliser les couleurs je pense que c'est plus tellement la peine voilà 60 x e puissance 1/2 logarithme de 2/3 fois tu es plus 20 égale 40 ça c'est mon équation et puis je vais la résoudre donc je vais descendre un petit peu alors je vais soustraire 20 des deux côtés ça va me donner 60 x e puissance 1/2 de logarithmes de deux tiers soit est égal à 40 moins 20 c'est à dire 20 ans suit ici je peut diviser des deux côtés par 60 et je vais obtenir que puissance 1/2 fois logarithme de deux tiers fois tu es est égale 20 / 60 donc 2/6 donc un tiers voilà et là comme tout à l'heure je vais prendre le logarithme de chaque membre et ça va me donner donc logarithme de tout ça et bien ça me donne exactement l'exposante donc un demi de logarithmes de deux tiers flatté ça c'est pour le logarithme du membre de gauche et puis c'est égal au logarithme de dix membres de droite qui est logarithme de 1/3 alors je vais l'écrire comme ça avec des parenthèses est donc maintenant on a pratiquement terminé en fait je vais divisé des deux côtés par cette quantité la 1/2 fois logarithme de deux tiers donc ça va me donner tes égal 2 fois logarithme de 1/3 le tout divisé par logarithme de deux tiers que la triste pour calculer une valeur approché de cette valeur donc on a dit deux fois logarithme naturel logarithme une expérien de 1/3 de 1/3 / le logarithme né paie rien de deux tiers voilà est-ce que c'est bien ça rythme de 1/3 / logarithme de 2/3 oui c'est ça donc j'y vais ça me donne disons en arrondissant au centième 5,42 minutes 5,40 deux minutes voilà donc je te rappelle ici on obtient un temps en minutes puisque depuis le début on travaille avec des temps aux militants donc la conclusion c'est que pour que ta soupe atteignent une température de 40 degrés il faut que tu attendre 5,42 minutes je laisse si tu veux faire la conversion minutes secondes ça c'est un autre problème voilà à bientôt