Utilisation du Produit de Convolution pour résoudre un problème à valeur initial

maintenant qu'on en sait plus sur le produit de convolution et le théorème de convolution et comment appliquer ça à la transformation de la place on va pouvoir enfin se lancer dans la résolution d'une équation différentielle on à la dérivée seconde de y plus de faux la dérive est première de y plus deux fois ivac qui est égal à sinus de alpha tait et on a des conditions initiales on a y 2 0 est égal à zéro et y prime 2 0 qui est aussi égale à zéro et c'est plutôt bien comme condition initiale parce que on sait que ce genre de conditions initiales nous permet de pas mal simplifier notre résolution un peu plus loin la première chose qu'on fait on prend la transformer de la place des deux côtés de cette équation donc la transformer de la place de la dérivée seconde de y qu'est ce que c'est bien ça devrait tenir immédiatement à l'esprit parce qu'on a tellement vu ça donc c'est paix au carré fois la transformer de la place de y que j'écris grant y de paix - paix alors ici on commence avec paix à la même puissance que le degré de dérivation de la fonction dont on cherche la transformer de la place donc ici on cherche la transformer de la place de y secondes donc on ap au carré et on diminue cette puissance à chaque terme donc ici on ap à la puissance 1 x y 2 0 et comme moyen mnémotechnique pour ça tu peux peut-être te rappeler que voir ça comme si ici c est une intégrale que l'on dérives et ça nous donne y 2 0 alors c'est pas exactement la dérive et de ça mais c'est juste un moyen mnémotechnique ensuite on diminue encore le degré de paie donc on ap à la puissance 0 c1 et ensuite on dérive ça a donc y trim 2 0 maintenant on a besoin de deux fois la transformer de la place de y prime c'est égal à alors on suit le même principe c'est deux fois des fois quand y de paix - y 2 0 et ensuite il nous reste deux fois y donc deux fois la transformer de la place de y plus deux fois grant y de paix et ça c'est égal à la transformer de la place de sinus de al fath et et ça aussi on connaît bien c'est égal à alpha sur p o car est plus alpha au carré à partir de là ce qu'on veut faire c'est isoler les transformer de la place de y donc on peut commencer par se débarrasser d y 2 0 et d y prime 2 0 en utilisant nos conditions initiales puisque y de 0 c zéro et y prime 2 0 c'est aussi 0 donc ce terme disparaît et on a payé x 0 ce terme disparaît aussi ensuite ce terme disparaît et c'est fini donc on peut réécrire alors je vais utiliser une seule couleur maintenant on a et au carré fois y de paix ensuite plus 2 x p x grande y de paix plus de paix quand y 2 p ensuite plus deux grandes y de paix est à droite ça ne change pas on a toujours alpha sur p o car est plus alpha au carré maintenant on factories grande y de paix on a payé au carré + 2 p + 2 on a donc paix au carré plus de paix plus deux fois grant y paie toujours la même chose à droite alpha sur p o car est plus alpha au carré pour isoler grande y de paix on divise de chaque côté par ce polynôme là on a donc jeté sans un petit peu pour faire de la place on a donc grandi grec de paix qui est égal à alpha sur p o car est plus alpha au carré fois alors on divise par p o car est plus de paix et plus 2 c'est comme x en sueur paix au carré + 2 p + 2 maintenant qu'est ce qu'on peut faire rappelle-toi le sujet de cette vidéo celle à convolution donc on cherche ici une transformé de la place qui ressemble aux produits de ces deux transformés de la place on connaît la transformer de la place inverse de cette expression là puisqu'on vient juste de faire ça transforme et de la place c'est sinus de al fath et donc si je peux trouver la transformer de la place inverse de cette expression là et bien je pourrai au moins exprimer la solution de notre équation différentielle comme une intégrale de convolution même si je ne résout pas cette intégrale après ça s'est juste de l'analyse 1 mais enfin on n'en est pas encore là on veut déjà exprimé notre solution en un produit de convolution donc qu'est ce qu'on peut faire de ce terme ce polynôme là au dénominateur ce n'est pas une identité remarquable donc dans ce cas la meilleure chose à faire c'est d'essayer d'en faire apparaître une avec la méthode de complétion du carré autre monde on veut réécrire ce polinum sous la forme paix au carré plus de paix plus quelque chose + 2 et 6 dans cet espace j'ajoute un pour faire apparaître une identité remarquable plutôt un au carré 1 mais c'est un il faut aussi que j'enlève ans parce que je ne peux pas me contenter d'ajouter un comme ça sinon ça change mon dénominateur donc en enlevant un c'est comme si je n'avais rien fait donc je n'ai rien changé là on est d'accord j'ai juste et réécrit ce polinum d'une autre façon sauf que maintenant je peux réécrire sa sas et p + 1 au carré est ici on n'a plus de moyens donc plus un ça c'est plus sain et donc on peut réécrire grant y de pct gala alors ce premier terme ne change pas et toujours alpha sur p o car est plus alpha au carré et ensuite on peut réécrire un sur notre nouveau dénominateur donc payer plus un au carré +1 et comme je te l'aï déjà dit on connaît la transformer de la place de ce terme là ce terme que j'encadre en orange donc on a maintenant besoin de déterminer la transformer de la place de ce terme là et après ça on sera capable d'écrire notre solution comme un produit de convolution d'ailleurs on peut déjà dire que notre solution alors je vais clair c'est un petit peu plus en dessous on peut déjà dire que notre solution y de thé c'est évidemment la transformer de la place inverse de grant y de paix c'est égal à la transformer de la place inverse de cette expression la main puisque c'est quand y de paie donc c'est la transformer de la place inverse de alpha assure paix au carré plus alpha au carré fois en sur p + 1 au carré +1 et le théorème de convolution que je t'ai présenté dans la vidéo précédente nous dit que ça c'est égal au produit de convolution de la transformer de la place inverse de ce premier terme donc la transformer de la place inverse de alpha sur p o car est plus alpha au carré et de la transformer de la place inverse de ce deuxième terme donc un sur p + 1 o car est plus un donc pour résumer si on a le produit de deux transformés de la place indépendante comme ici que l'on est capable d'inverser alors la transformer de la place inverse de leurs produits c'est égal au produit de convolution de la transformer de la place inverse de chacun de ces termes j'ai ces deux termes ici on connaît leur transformé de la place inverse du moins on connaît et à transformer de la place inverse de cette expression et on est sur le point de découvrir la transformer de la place inverse cette expression là donc on cherche la transformer de la place inverse de ces deux termes indépendamment et la transformer de la place inverse de leurs produits c'est à dire ce que j'ai écris ici c'est égal au produit de convolution de leurs transformé de la place inverse alors qu'est-ce qu'on a là la transformer de la place inverse de ça et bien on connaît ça puisqu'on à déterminer s'est transformé de la place au début de la vidéo et donc on sait que la transformer de la place inverse de cette expression c'est sinus de alpha t1 on a vu ça au début de la vidéo 1 maintenant qu'elle est la transformer de la place inverse de sa bien on va prendre le temps de faire ça pour ne pas faire d'erreur donc la transformer de la place de sinus de thé qu'est ce que c'est on connaît ça c'est un sur p o car est plus un et ça ressemble un petit peu à ce qu'on a là sauf que au lieu d'avoir paix au carré on ap +1 au carré donc on a déplacé s'est transformé de la place et peut-être que tu te rappelles de la transformer de la place de exponentielle de hâter fois sinus de thé quand on multiplie ses fonctions par exponentielle de hâter ce qu'on fait c'est qu'on fait la translation de sa transformé de la place et donc ça a c'est égal à 1 / p - à au carré +1 on a fait une translation de à et maintenant on a quelque chose qui correspond à notre expression si on dit que à égal - 1 donc à est égal à -1 on a bien la même chose on retombe bien là dessus un donc paix - a donc paix - - 1 c'est bien tu es plus ça et donc la transformer de la place inverse tout ça c'est je me fais un petit peu de place c'est exponentiel de hâter donc assez -1 donc moin té fois sinus te tais et on a ici le produit de convolution de ses deux fonctions alors je vais réécrire la première fonction parce qu'elle est un peu plus hauts du coup c'est égal sinus de al fateh et donc c'est le produit de convolution de ses deux fonctions un y de thé notre solution c'est le produit de convolution de sinus de alpha t et de exponentielle de moin té fois sinus de thé et ça c'est la solution de notre équation différentielle alors même si on préfère rsa dans une forme encore plus simplifié c'est quand même notre y 2t et si on veut on peut écrire ça sous la forme d'une intégrale alors je ne vais pas résoudre cette intégrale ici parce que souvent ça part dans tous les sens mais je vais quand même écrire cette intégrale et tu pourras tant traîné à essayer de la résoudre toi même si tu veux ou td d'un ordinateur j'ai besoin d'un petit peu de place pour faire ça alors qu'est ce que c'est et quelle est la définition de la convolution de ces deux termes et bien c'est égal à l'intégrale de zéro à t2a tiens d'ailleurs je ne t'ai pas encore montré ça mais si on veut on peut changer l'ordre de ces termes là mais nous on va garder cet ordre donc c'est l'intégrale de zéro à thé de sinus de alpha témoins tôt alpha c'est moins tôt fois exponentielle de moins tôt fois sinus de taux des taux et ça c'est une façon d'écrire cette solution mais ça devrait te paraître évident que l'ordre n'a pas d'importance parce qu'on est parti d'un produit rappelle toi on est parti de ce produit là hein et bien sûr dans un produit l'ordre n'a pas d'importance on peut écrire ce terme en premier ou si on veut celui là en premier c'est pareil et on arrive au même résultat donc on aurait aussi pu écrire on aurait aussi pu écrire notre solution y de thé comme le produit de convolution de exponentielle de moin té sinus de thé et de sinus de al fath et et dans ce cas l'intégrale c'est l'intégrale de 0 à td exponentielle de - t - tôt fois sinus de tes parents tu es moins tôt poids sinus de alpha taux des taux et ces deux réponses là sont acceptables lors d'un examen d'ailleurs bien souvent ils ne te sera pas demandé de calculer ces intégrales parce que tout ce qu'on veut voir c'est si tu sais utiliser ce théorème de convolution on pour exprimer la solution d'une équation différentielle au moins sous cette forme là parce que à partir d'ici à partir de l'intégrale ça n'a plus rien à voir avec les équations différentielles c'est juste de l'intégration et de l'analyse alors j'espère qu'avec ce deuxième exemple de résolution d'équations différentielles à l'aide de la convolution tu te sens plus à l'aise avec tout ça à bientôt