La fonction delta de Dirac

dans la vidéo précédente ou plutôt celle d'avant j'étais présenté la fonction échelons unité qui est une fonction assez exotique je dois dire par rapport aux fonctions avec lesquels on a l'habitude de travailler et je te les présenter parce que beaucoup de systèmes physiques se comporte de cette façon on n'a rien ne se passe pendant un long moment et d'un coup hop il se passe quelque chose et bien sûr ça ne se passe pas exactement comme ça mais la fonction échelons unités s'en rapproche pas mal dans la même idée parfois on n'a rien ne se passe pendant un moment et bam d'un coup quelque chose se passe rapidement et aussi rapidement à nouveau rien ne se passe ça c'est une impulsion et on parle de fonctions impulsion unités ou impulsion de virac ou même fonction de dirac mais alors quel type de fonction nous permet de modéliser ce type de comportement avec un pic comme ça avec une impulsion idéalement on voudrait une fonction où rien ne se passe pendant un moment et puis d'un coup hop on a un pic mais qui a une aire fini et ensuite on revient à notre situation initiale c'est-à-dire à 0 disons qu'on a zéro ici et on représente ça souvent avec une flèche comme ça alors c'est un peu par abus de langage qu'on appelle ça une fonction mais dans cette vidéo on va en effet appeler ça une fonction la fonction de dirac et cette fonction on la note généralement delta 2 t et on la définit de façon plutôt informelle comme étant égal à alors on dit qu'elle tend vers plus l'infini si tu es est égal à zéro et elle est égale à zéro partout ailleurs c'est à dire quand et est différente de zéro alors tu te demandes peut-être comment est-ce qu'on va se servir de ça comment est ce que par exemple on peut déterminer l'intégrale de ça eh bien ça en fait ça fait partie de la définition de la fonction en effet l'intégrale de cette fonction de moins l'infini à + l'infini c'est à dire sur l'ensemble des réelles donc l'intégrale de la fonction delta de thé dt et bien je la définit comme étant égal à 1 ont défini que cette intégrale est égal à 1 la fonction d'état de thé est une fonction telle que son intégrale est égal à 1 ce pic là qui monte vers l'infini et bien son rc1 alors tu pense sans doute que c'est complètement bizarre et à juste titre alors avant qu'on se lance dans la transformation de la place de cette fonction de dirac je vais t'expliquer ça un peu mieux disons qu'on a une autre fonction la fonction des indices taux qui est une fonction de tes alors si tu as remarqué jusqu'à maintenant depuis qu'on s'occupe de la transformer de la place on a des fonctions de thé c'est égal à alors c'est égal à 1 sur 2 x tôt et tu va tout de suite voir pourquoi je choisis cette valeur si tu es est compris entre - tôt et plus tôt et c'est égal à zéro sinon c'est égal à zéro en dehors de cet intervalle et ça ça ressemble déjà plus à une fonction un d'ailleurs une fonction qui serait une combinaison de la fonction échelons unités d'ailleurs on va la définir comme ça on à l'axé des abscisses qui est la kz2 t es ici l'acce désordonnée donc la kz2 y ou la kz2 ddt alors qu'est ce qu'il se passe et bien jusqu'à moins tôt donc changé de couleur - taux pourrait dire que c'est ici et puis de l'autre côté et symétriquement on a plus tôt donc jusqu'à moins tôt notre fonction vaut 0 1 en dehors de cet intervalle notre fonction vos héros donc jusqu'à moins tôt notre fonction vaut 0 et à partir de moins tôt on saute à ce niveau là et on y reste jusqu'à plus tôt jusque là et ensuite on redescend et à partir de taux jusqu'à + l'infini on est à nouveau à 0 est donc ici on est à 1 sur 2 tôt c'est ce qu'on a là deux - tôt à tôt on est à un sur deux taux alors pourquoi est ce que j'ai construit cette fonction eh bien on va réfléchir à ça que se passe-t-il si je prends l'intégrale de moins l'infini à + l'infini de notre fonction des indices taux de thé d'été c'est facile l'intégrale seiler sous la courbe donc cette aire est assez facile à calculer et 7 rc 0 2 partout donc la solaire à calculer c'est l'ère de ce rectangle là donc on peut réécrire cette intégrale comme l'intégrale de moins tôt à plus tôt a maintenant on peut ignorer moins l'infini et plus l'infini parce qu'il n'y a pas d'air sous ces deux partis là donc c'est l'intégrale de moins tôt à plus tôt 2 1 sur 2 photo d'été dont claire vos héros en dehors de ces bornes en dehors de moins tôt jusqu'à plus tôt et entre ces bornes ses terres et constante est donc cet air c'est tout simplement l'air de ce rectangle là alors comment est-ce qu'on calcule l'air d'un rectangle c'est facile c'est la base donc ici c'est deux temps on a une fois tôt une deuxième fois tôt fois la hauteur la hauteur c'est un sur deux taux donc voit un sur deux taux dont claire de cette fonction c'est égal à 1 on aurait aussi plus calculer cette intégrale on cherche une primitive de un sur deux taux c'est et galatée sur deux taux bien sûr pris entre - tôt et plus tôt c'est égal à taux sur deux taux - - tôt sur deux taux ça c'est égal à taux plus tôt sur deux taux donc deux taux sur deux taux c'est bien égal 1 enfin bref tu as compris que l'ère sous cette courbe c'est un peu importe ce que vaut tôt maintenant si je choisis une plus petite valeur pour tôt 6 mon nouveau taux est ici alors moins tôt je vais essayer de faire mieux que tout est moins tôt du juste avant un niveau symétrie donc moins tôt c'est par ici alors le nouveau un sur deux taux va être plus grand puisque deux tôt le dénominateur est plus petit puisque tout au moins taux sont plus près de zéro donc un sur deux taux sera peut-être disons par ici donc on aura quelque chose comme ça un palier ici et donc on aura quelque chose comme ça hein avec l'eire a calculé qui est sévère la ici je choisis un taux encore plus petit que ça si je choisis tôt et - taux encore plus proche de zéro et bien un sur deux taux ça sera encore plus haut 1 ce sera peut-être par ici donc on aura quelque chose comme ça et je pense que tu vois bien où je veux en venir si on calcule la limite de notre fonction des indices taux de thé quand tout tend vers zéro donc quand autant vers zéro - taux tend vers zéro aussi et bien nos deux bornes se rapprochent infiniment très 2 0 mais c'est la limite elles ne vont jamais être égal à zéro et d2t va augmenter de plus en plus et tendre vers plus l'infini mais peu importe combien vaut tôt cet erp sera toujours égal à 1 donc ici on retrouve notre fonction d'eux dira qu on retrouve delta 2 t et si on veut la limite quand toho tend vers zéro de l'intégrale de - la fille n'y a plus la fini de notre fonction des indices taux de thé d'été et bien c'est quand même égal à 1 parce que cette intégrale vos ans indépendamment de la valeur de taux évidemment ce n'est pas très rigoureux mais je pense que tu sais il y des donc aussi intuitivement que ça on peut dire que l'intégrale de mon l'infini à plus infinie de notre fonction de dirac delta de thé d'été c'est aussi égale à o avec cette fonction de dirac on a un pic l'infini est égal zéro n'est ce pas donc si je dessine ça rapidement on à laax des abscisses comme ça et alors juste hâte et égale zéro ici on a zéro at est égal zéro la fonction de dirac sort d'un seul coup comme ça ici c'est notre fonction delta de thé d'habitude on s'arrête de monter à 1 pour signifier que l'air c1 et on dessine une flèche comme ça mais alors que se passe-t-il si on veut déplacer ce pic comment est ce que je représente disons d'état de thé - 3 et bien c'est juste une translation horizontale vers la droite 2 3 quantité égale trois ça devient la fonction de dirac 2 0 alors graphiquement ça ressemble à quoi graphiquement ça ressemble à alors on à laax des abscisses celle acceptée puis de lax désordonnée ici on va dire que ici c'est un et puis on a quelques points ici en deux et puis ici on à le pointer égal 3 est donc cette transe lattes et de la fonction de dirac c'est 0 2 partout c'est 0 2 partout sauf à 3 satan infiniment vers le haut sauf que bien sûr je n'ai pas assez de place ici pour dessiner un pic qui tend vers l'infini donc ce que je fais c'est que je dessine une flèche dont la longueur c'est en ce qu'on fait d'habitude c'est qu'on dessine cette flèche de la longueur de l'air sous le pic c'est à dire ici 1 alors que ce soit clair ça ne dit pas que la fonction vos héros partout sauf à 3 elle va jusqu'à il revient ensuite à 0 non ça dis juste que l'air sous la fonction vos seins se piquent doit monter très très haut pour avoir une r21 étant donné que la base est très petit donc l'air sous cette impulsion de dirac c'est l'intégrale de moins l'infini à + l'infini attention ici on a la transe lattes et de la fonction de delta 2 t on a des tas de thé - 3 dt nerfs c'est quand même hein c'est pourquoi j'ai fait aller cette flèche jusqu'à 1 si je veux alors je change de couleur si je veux maintenant deux fois d'état de thé - 2 comment est ce que je représente ça et bien pareil je vais cette fois jusqu'à 2 ici on a deux donc ma fonction vos héros tout le temps sauf quand est égal 2 g la fonction de dirac de zéro c'est à dire c'est là où on a le pic l'impulsion et on multiplie sa part de donc on dessine une flèche deux fois plus grande alors ces deux impulsions excitante vers plus l'infini mais celle là va deux fois plus haut que l'infini enfin je suis d'accord c'est un peu ridicule comme image mais l'idée ici c'est que l'air sous cette courbe là doit être égale à deux fois l'air sous cette courbe là et c'est pourquoi notre flèche va jusqu'à 2 ici parce que l'air sous cette courbe c'est 2 je suis d'accord tout ça c'est un peu abstrait mais c'est quelque chose qui va nous servir pour modéliser ce genre d'impulsion rien ne se comporte vraiment comme ça mais dans beaucoup de phénomènes physiques on observe cette impulsion se piquent et au lieu d'essayer de rechercher la forme exacte de ce pic on peut tout de suite pensé à une fonction de dirac et juste pour te donner une motivation oui parce que on a bien étudié les équations différentielles mais je ne t'ai pas encore proposé d' exemples d'applications dans la vie compte donc ici on va imaginer qu'on a un mur et puis on a ici en ressort attaché à une masse et là c'est l'état disons naturel du ressort donc le ressort à étaient étirées ici d'une distance y par rapport à son état naturel et puis on a une force externe ici qui tire la masse dans ce sens là et on imagine qu'il n'y a pas de frictions ni rien alors j'aimerais te montrer qu'on peut représenter le comportement de ce système avec une équation différentielle et la fonction et selon unité et l'impulsion de dirac vont commencer à nous être utile on sait que la force c'est égal à la masse fois l'accélération c'est une formule de base en physique maintenant quelles sont les forces en jeu sur cette masse puis on a d'abord cette force-là grand f qui est une force positive vers la droite et on a une force négative du ressort cette force est proportionnelle à la distance sur laquelle on a étiré ce ressort par rapport à son état naturel c'est proportionnel donc qu'à voix y mais c'est moins qu'à x y parce que cette force tient la masse dans la direction opposée par rapport à ce qu'on a défini comme une force positive au départ ici f donc la force net qui s'applique à cette masse cf - k x y la force négative appliquée à la masse et c'est égal à la masse de l'objet fois l'accélération mais qu'est-ce que son accélération si sa position c'est y ci y c'est la position de l'objet la dérive et de y par rapport à telle qu'on peut aussi noter comme ça c'est sa vitesse là c'était c'est la vitesse et la dérive et de ça donc y seconde qu'on est aussi comme ça qu'est ce que c'est et bien c'est l'accélération donc au lieu d'écrire petit a ici on peut écrire fois y secondes si on ajoute qu'à fois y de chaque côté on obtient f cette force c'est égal m la masse de l'objet fois y secondes son accélération plus qu'à une constante relatives aux ressorts fois y la position de l'objet si on avait pas de forces externes se f vaudrait 0 on aurait une équation différentielle homogène ce qui veut dire que seul le ressort appliquerait une force sur l'objet mais quand on a ce f ici on a donc une équation différentielle non homogène et ça ça représente la force externe appliquée à la masse si cette force externe c'est un type d'impulsion de dirac par exemple delta à 2t moins de ceux qui nous dit que quand tu es égal 2 par exemple à deux secondes si on compte en secondes quelque chose va tirer cet objet vers la droite et cette impulsion va être de un peu importe quelle unité on a là donc ça c'est égal à m x y seconde plus car x y mais voilà je ne veux pas rentrer plus dans les détails physiques ici je voulais juste présenter ça parce que tu te dis sans doute et à juste titre que je te présente des fonctions exotiques bizarre et eu de demande à quoi ils servent et voilà pourquoi ça peut être utile on a parfois ce genre de comportement dans la vie courante où on exerce une force sur quelque chose extrêmement rapidement et on relâche tout aussi rapidement enfin bref dans la prochaine vidéo on va continuer avec cette fonction d'eux d'irak et on cherchera sa transformé de la place à bientôt