Relation entre l'aire d'un triangle et le rayon de son cercle circonscrit - Démonstration

donc ce que je vais faire dans cette vidéo c'est que je vais te démontrer qu'il y a une relation entre le rayon du cercle circonscrit à un triangle et son air et on va commencer par dessiner un triangle donc voilà un triangle voilà donc c'est un triangle abc donc je vais noter c'est ce mets ici abc est la première chose dont on va essayer de se rappeler ensemble c'est quoi l'ère de abécédaire de a b c est l'air de abc eh bien tu sais que c'est un demi de la hauteur par la base donc on va commencer par dessiner une et auteur donc on va ici dessiner la hauteur issus de b donc la hauteur voilà qui va couper la base donc c'est à dire le côté qui est en face du sommet d'où part la hauteur et qui va donc couper cette base là perpendiculairement ici donc ça c'est ma hauteur petite tâche est donc assez c'est la base de cet auteur ici et c'est donc petit b et donc l'air de abc et bien on sait que c'est un demi de la base par la hauteur voilà et il y a autre chose en fait qu'on a récemment vu c'est que trois points suffisent à définir un cercle ici et plus précisément en fait le cercle qui est circonscrit à ce triangle là donc on va définir le cercle circonscrit ensemble donc voilà le cercle qui est circonscrit à un triangle ici et je sais que le sandre du cercle circonscrit à mon triangle donc à peu près ici voilà c'est le point d'intersection des médiatrices de ce triangle et je vais appeler ce point là haut est ce qu'on va faire maintenant c'est qu'on va tracer le diamètre de ce cercle l'acquis par deb et donc le diamètre du cercle ici voilà et on va tracer un autre triangle qui est inscrit dans ce diamètre qui est pardon et on va tracer un autre triangle qui est inscrit dans ce cercle et qui a pour coter le diamètre ici donc je vais appeler juste le point là d'intersection avec le cercle des et on va créer le triangle ici à bédée donc à b d voilà et donc ce triangle là à pour coter le diamètre d'un sari et a dû voir ça dans un des cours précédent c'est que quand on a un triangle qui est inscrit dans un cercle et qui a pour coter le diamètre du cercle alors c'est un triangle rectangle il est donc ici c'est rectangle c'est un angle droit de 90 degrés et maintenant aussi je regarde l'arc de cercle ici a b que je dessine en violet ici et bien l'arc de cercle avait ici est délimité par l'angle ac b celui là ici donc on voit bien que l'angle des limites cet angle de cercle hills et il est délimité aussi par un autre nom un autre angle qui est l'angle adb donc à db qui et c'est en glisse et tu as dû voir dans ton cours de géométrie avant que ici on pouvait appliquer donc le théorème de l'anglais inscrit c'est à dire que quand on a deux angles qui délimite en fait la même portion d'arc alors ces deux angles là son ego donc c'est à dire que l'angle adb est égal à l'angle hasebe ici donc à des baies qui est égal à à ses baies voilà et donc si on a à db est égal à l'angle hasebe et bien ce qu'on peut voir c'est que ce triangle là donc je vais noter ici l'intersection de la hauteur avec ac je vais notées çà le point e donc ce triangle là c'est à dire le triangle bce ici que je marque en bleu donc ce triangle là le triangle bce on va montrer qu'il est semblable au triangle bea des et on sait qu'ils sont semblables parce qu'ils ont tous les deux un angle droit ici donc le triangle abc et rectangle en a et le triangle b e c et rectangulaire et on sait aussi qu'ils ont un autre angle égale ici qui est l'angle adb égal à ac b et donc ça veut dire que le troisième angle de ces triangles donc c'est à dire je vais prendre une autre couleur ici en couleur rouge donc le troisième angle ici de ce triangle va être égal à l'angle ici de ce triangle donc on sait qu'ils ont leurs trois angles égaux donc ce que ça veut dire c'est que si je prends si je prends à b d ce triangle là est semblable à eux b c et donc on sait que ces triangles là sont semblables ce qui nous dit qu'il y a une relation entre les longues heures de ce triangle entre les côtés et la relation elle est la suivante donc on a avait sur bd qui va être égale à e b / b c'est ici et maintenant on va simplifier un petit peu cette notation donc on va regarder on va appeler abbaye si on va appeler cette longueur là à la longueur bc ici on va l'appeler c'est donc on a toujours je te rappelle cette longueur assez qui s'appelle b hockey et on a sept longueurs behe qui s'appelle h ici c'est juste un petit peu pour remarquer ça et on va appeler r le rayon du cercle air rayons du cercle voilà et avec cette notation là eh bien on va essayer de simplifier un petit peu cette écriture donc ab j'ai dit que c'était a donc à bd j'ai dit que c'était j'ai pas dit grand chose mais par contre je sais que bdc le diamètre du cercle donc c'est à dire que ces deux fois le rayon du cercle ici donc c'est deux r e bay alors eb je sais que c'est la hauteur de du triangle ici a b c et d cbc j'ai dit que c'était c'est ici donc voilà donc c'est intéressant ici puisqu'on commence à avoir une notation qui s'approche un petit peu de ce qu'on a défini pour euler dans cette formule donc maintenant en fait ce qui serait intéressant c'est de pouvoir exprimer h en fonction de l'air de abc dont claire de abc je vais appeler ça juste ici goran a majuscule comme ça je vais essayer d'exprimer h en fonction de ses terres de abc donc c'est à dire que dans cette formule là donc ici j'ai bien j'ai bien à eux deux est égal à 1,2 me 2 bh donc c'est la même chose que h égal ici à 2 r2 avc / b donc tu vois bien que ici en fait j'ai juste multiplié par deux et / b de chaque côté de l'équation pourrait obtenir cette égalité là et maintenant on va reprendre cette égalité là et là réinsérer dans notre deuxième égalité ici donc c'est à dire qu'on avait à sur deux aires est égal à h / c est maintenant je vais remplacer h par l'expression que j'ai obtenus donc ça c'est de la même chose que à sur deux aires est égal à donc je remplace h ici donc deux aires de abc d'accord / b et diviser encore par c'est donc ici x c'est au dénominateur une fois qu'on a ça eh bien on peut voir que abc abc est égal à 4 fois l'ère du triangle x x et comment j'ai obtenu ça eh bien j'ai juste multiplier multiplier ici par baisser donc de chaque côté ici x bc2 chaque côté multiplier aussi par deux aires de chaque côté multiplié à deux par deux airs ici de chaque côté donc ici les deux aires se sont annulées et je me suis retrouvé avec abc qui est donc le produit des côtés du triangle abc ici et de ce côté là donc ici ça m'a annulé baisser par multiplier avec bc et je me retrouve avec deux r de abc fois de verre qui est donc quatre airs de abc fois le rayon air ici et donc ça c'est super intéressant parce que ça nous montre qu'en fait le rayon ici le rayon de mon cercle que j'ai défini avant c'est en fait à baisser donc le produit des longueurs du triangle inscrits dans ce cercle divisé par quatre fois l'air de ce triangle là donc ça c'est une propriété assez jolie kylie a entre les cercles circonscrit à un triangle et le triangle lui même