Méthode d'Euler

bonjour alors ce que je te présente ici c'est une équation différentielle très simple que tu connais déjà que tu sais de résoudre on cherche une fonction y 2x qui est égal à sa propre dérivés avec une condition initiale qui est que l'image de zéro est égal à 1 alors on sait que dans ce cas là la solution de cette équation différentielle solution particulière avec cette condition initiale eh bien c'est la fonction exponentielle y 2x égal depuis 106 alors là j'ai tracé ici à côté la solution du coût de cette équation différentielle alors évidemment ici c'est une équation différentielle qui est simple à résoudre puisque on peut la résoudre simplement en cherchant une primitive par exemple mais comme tu le sais où comme tu le découvrira plus tu avanceras dans ta carrière de mathématiciens liait de très nombreuses équations différentielles qui sont très difficiles à résoudre et même dans certains cas c'est absolument impossible à résoudre par des méthodes analytiques donc imaginons la situation tu à modéliser un phénomène est comme très souvent dans la modélisation de phénomènes tu débouche sur une équation différentielle avec une condition initiale et tu te trouve dans l'impossibilité dans l'incapacité totale de la résoudre par des méthodes analytiques qu'est ce que tu fais dans ce cas là est ce que tu abandonnes est ce que tu cherche d'autres moyens alors évidemment la réponse à cette question tu imagines bien que c'est surtout il faut pas abandonner il faut chercher une autre méthode pour au moins trouver une solution approché à ton problème alors la méthode que je vais te proposer ici c'est une méthode qui est très importante sur le plan conceptuel et qui est aussi extrêmement utilisé à la base d'ailleurs de plein d'autres méthodes de recherche de solutions d'équations différentielles c'est ce qu'on appelle la méthode de l'ère du nombre du grand mathématicien de l'air méthode de l'air et en fait elle est d'autant plus c'est aujourd'hui qu'on a des ordinateurs qui ont une puissance de calcul très importante beaucoup plus importante que le cerveau humain et donc grâce à ces ordinateurs on peut appliquer cette méthode et trouver des solutions approcher de plus en plus proche de la solution réelle maintenant qu'on a dit ça ce que je vais faire évidemment là je vais te montrer cette méthode là sur le cet exemple là qui est très simple mais tu vois voir que conceptuellement en fait tu peux la reproduire pour n'importe quel type d'équations différentielles où on a un lien entre la fonction et sa dérive et alors ce que je vais faire pour commencer c'est un petit tableau de valeur donc ici je vais prendre quelques valeurs de la variable x ensuite quelques valeurs de l'image de la variable x par la fonction et puis quelques valeurs du coup de les valeurs de la dérive est correspondante je vais remplir ce tableau petit à petit alors je vais commencer évidemment par la seule chose que je sais pour l'instant c'est que ma solution y de x elle passe par le point de coordonnées 0 1 donc elles passent par ce point là ici voilà ça c'est la première indication donc ce que je vais faire évidemment c'est de commencer par la valeur x égal 0 et je sais que dans ce cas là donc y est égal à 1 est ce que je sais aussi c'est que en ce point là la pente est égal à 1 puisque y prime de 1 est égal à y de 1t la propriété fondamentale de ma fonction y 2x qui est solution de l'équation voilà donc ici je peux tracé si tu veux la tangente un bout de la tangente elle va être comme ça voilà et là je vais faire une approximation en fait je vais faire une supposition qui est évidemment assez lointaine de la réalité c'est que quand j'ai un crémant de la variable x disons de une unité eh bien au cours de cette incrémentation la pente de la tangente n'a pas varié bon évidemment ça c'est une grosse suppositions qui est pas du tout la réalité puisque à priori on sait evennou on ne sait la pente de la tangente va changer pour chaque valeur de x ici en chaque point de la course mais je vais quand même supposer ça et d'ailleurs je vais en fait travailler avec des incrémentation de la variable xfx 1 ici je vais prendre des variations de x toujours égal a donc là je pars de zéro j'augmente la variable x2 une unité et j'arrive donc à la valeur x égal je vais supposé donc au cours de cette incrémentation la tangente à regarder une pente constante toujours égal à 1 ce qui veut dire que finalement le point auquel j'arrive et bien sont ordonnés aura augmenté également de une unité donc partant de 1 je vais arriver à deux puisque j'ai supposé que au cours de cet ogre aimantation de une unité de la variable x la variable y a augmenté aussi de une unité qui est la pente de cet argent tu que j'ai supposé constante donc j'arrive finalement au point de coordonner 1 2 alors je vais le placer ici voilà c'est ce point là et en fait ce que j'ai fait ici finalement quand j'ai supposé que la pente de la tangente été constante au cours de cette augmentation là en fait ce que j'ai fait c'est remplacer la portion de courbes comprise entre x égal zéro mx égale 1-1 par un segment de droite qui est celui ci voilà je vais le tracé comme ça voilà je pense que là tu comprends probablement l'idée générale de cette méthode d'approximations je vais continuer comme ça lorsque je sais maintenant c'est que en ce point si la tangente pas varié en fait la pente de la tangente va varier elle va prendre une nouvelle valeur et je peux calculer cette nouvelle pente puisque je sais que y prime de 1 et bien c'est égal à y21 qui est égal à 2 donc la pente ici elle est égale à de la pente de la tangente ici est égal à 2 alors je peux faire comme tout à l'heure tracez un petit morceau de la tangente si j'augmente la variable de une deux mille unités et bien y va augmenter deux unités donc ben la tangente peut le faire elle va être ça va être quelque chose comme ça alors maintenant je vais continuer comme tout à l'heure je vais augmenter la variable x encore une fois de une unité donc partant de 1 j'arrive à x égal 2 et puis je vais supposée comme tout à l'heure que au cours de cette encre et mentation de une unité est bien la pente de la tangente n'a pas varié les toujours égale à 2 ce qui veut dire que je vais arriver du coup un point de coordonnées de +2 c'est à dire 4 donc ma courbe ma solution de mon équation différentielle elle va passer par le point de coordonner 2,4 que je peux placer ici et je vais faire la même approximation que tout à l'heure c'est à dire que je vais remplacer la portion de courbes ici entre x égale 1-1 et x égal 2 par cette portion de droite voilà comme ça ici pour x égal 2 je sais que la pente de la tangente va varier à nouveau je peux calculer sa valeur puisque y de 2 est égal à 4 donc y prime de 2 est égal à 4 aussi voilà donc là je peux aussi comme tout à l'heure si tu veut tracer un petit bout de cette tangente en ce point si si j'augmente la variable x2 une demie unités les ordonner vont augmenter de 2 unités donc voilà ça va me donner quelque chose comme ça là je vais continuer alors agrandir un petit peu mon tableau et je vais continuer à incrémenté la variable x2 une unité donc la rive à 3 ici comme je suppose et qu'au cours de cette incrémentation de une unité la pente n'a pas varié elle est toujours égal à 4 j'arrive au point d'ordonner 4 + 4 c'est à dire 8 donc ma courbe va passer par le point de coordonnées 3,8 qui est celui ci voilà et là je vais remplacer la portion de courbes comprise entre x égal 2 x égal 3 par ce segment de droite là voilà tu vois que l'âge arrivent petit à petit quand même on s'en rend compte à une approximation qui est pas mal de la solution réelle de mon équation différentielle alors là tu peux me dire oui mais c'est pas génial comme approximations on est quand même assez loin alors je te répondrais que se fit en fait ça dépend de ce qu'on cherche déjà d'une part et puis surtout ce que j'ai fait ici c'est choisir un incrément de la variable x égale à une unité ce qui est assez gros là j'ai fait ce choix par simplicité parce que ça me faisait pas trop de calculs ça permet quand même de voir ce qui se passe sans faire trop de calculs mais si tu veux on peut regarder ce qui se passe en prenant un autre incréments de la variable donc là je vais je vais faire un autre tableau voilà ici je vais être x ici je vais m y 2x et puis y primes de x ici et là dans ce cas là je vais incrémenté la variable x 2 10 11 015 unités donc je pars toujours du point de coordonner 0 1 je sais que la tangente en ce point si elle a une pente égal à 1 donc là je suis dans la même situation que tout à l'heure et maintenant je vais augmenter la variable x de 0,5 unité j'augmente de 0.5 j'arrive donc ax égale 0.5 et je vais supposée comme tout à l'heure que au cours de cette incrémentation de la variable x 2 015 unités la pente est resté égal à 1 donc ici je vais augmenter la variable y de 0.5 aussi donc partant de 1 je vais arriver à y égale à 1,5 ce qui veut dire que ma courbe va passer par le point de coordonnées 0,5 1,5 qui est celui ci voilà donc là tu vois qu'on est à peu près comme tout à l'heure je vais remplacer cette portion de courbes par ce segment de droite ici comme ça et puis je vais continuer donc je vais calculer la pente de la nouvelle tangente en ce point d'apsys x égal 0 5 je sais que cette tangente est là pour pente y de 0.5 donc 1,5 et puis je vais continuer je vais incrémenté ici ma variable x de 0.5 donc j'arrive à x égal 1 je suppose que la pente n'a pas varié pendant cette incrémentation de 0,5 unité donc en jeu augmente x2 une unité la pente augmente de 25 unités donc si j'augmente que de 0,5 unité comme c'est le cas ici je vais augmenter de 0,75 donc ici je vais arriver à 25 donc pour x égal 1 le point de ma courbe à pourra ordonner 2,25 alors ici c'est 2,5 2,25 celle là voilà donc là je vais remplacer la portion de courbes ici par ce segment de droite voilà tu vois que là je suis déjà beaucoup plus proche de la courbe réelle que tout à l'heure tout simplement en ayant divisé par deux l'un crémant de ma variable x1 alors je continue on va regarder un petit peu où ça mène quand même la tangente ici en ce point là elle va avoir pour pente 2,25 ensuite je vais continuer à incrémenté ma variable x de 0,5 unité donc je vais arriver à x égale à 1,5 au cours de cette incrémentation je suis supposé que ma pente n'a pas varié donc elle est toujours égale à 2,25 donc ça veut dire que quand j'ai augmenté la variable x2 une demie unités la variable y va augmenter de la moitié 2,25 donc donc de 1,125 ce qui veut dire que l'ordonné de ce point ça sera 2,25 plus 1,125 ça fait donc trois virgules 375 donc la courbe va passer par ce point-là de coordonner 1,5 3,375 donc ces trois villes alors ici c'est 3,5 donc c'est à peu près disons à peu près ici et je vais donc remplacer ma courbe pas ce segment de droite ici voilà donc je vais pas continuer je te laisse si tu veux t'amuser à continuer comme ça mais tu vois que en fait on arrive en choisissant un incrément qui convient à nos exigences de la variable x on arrive à déterminer une solution approché de notre équation différentielle évidemment avec les ordinateurs aujourd'hui on peut prendre des incréments de la variable très très faibles qui nous donneront une solution approché vraiment très bonne voilà donc au va s'arrêter là j'espère que cette vidéo tu auras plus est quand même une méthode vraiment intéressante il ya beaucoup d'autres méthodes un peu différente inspirée de celle ci ou en tout cas qui utilise des méthodes numériques plutôt qu'analytique pour résoudre des équations différentielles voilà à bientôt