Les séries entières

nous avons vu dans des dans des vidéos précédentes les séries infinie et on a aussi vu la convergence ou la divergence de ces séries infinie et alors ce qui est intéressant c'est que ces série infinie on peut s'en servir pour définir des fonctions alors déjà des séries infinie là je vais t'en présenter une c'est la série de puissance donc la série puissance elle peut s'écrire comme la somme quand n va de zéro jusqu'à l'infini donc voilà pourquoi c'est une série infinie de am x x - ces puissances n et si cette fonction si cette série pardon convergent et donne un résultat eh bien on peut dire que du coup c'est une fonction qui va dépendre de la valeur de x dont kf2 x est égal à cette série de puissance si je la développe un peu je commence par le terme n égale zéro ça fait à 0 x x - ces puissances 0 le terme d'après ce pour un égal 1 ça va faire à un x x - ces puissances un teint d'après à 2x moins c'est au carré plus etc alors là ça te rappelle peut-être quand tu la regardes la série géométriques subi il ya des choses qui seraient simples comme par exemple cette histoire de x puissance n bon là il ya un c et puis un terme devant alors est ce que tu te rappelles exactement comment est défini la série géométriques la série géométriques si tu t'en rappelles tu t'aperçois qu'elle est très proche de celle ci alors je vais l'écrire comme ça ça va peut-être de sauter aux yeux la série géométriques c'est la somme quand n va de zéro à l'infini 2a a touours x puissance n donc là je peux écrire que c'est à quand un égal zéro ça fait ax puissance zéro c'est à dire à plus d'un est égal à 1 à x x plus à x x de plus et c'est donc en fait une série géométriques c'est un cas particulier de la série de puissance c'est quand à 1 10 n en faites vos tout le temps à et que c'est vos héros est donc là encore on a vu là pour le coup on l'a vu très précisément quand est ce que cette série convergent on a vu que cette série convergent si la valeur absolue de x est plus petit qu'un si elles convergent ça veut dire que la somme infinie vaut une certaine valeur et du coup je peux écrire que cette valeur jeu-là nommerait g2x puisqu'il ya x ici mais je peut la nommer alors ça converge si la valeur absolue de x est inférieur à 1 c'est à dire ça revient au même de dire si x est compris entre -1 et 1 et bien cet intervalle ici on l'appelle intervalle de convergence tout simplement parce que c'est l'intervalle sur laquelle si l intervalle sur lequel x permet à la série infinie de converger donc c'est l'intervalle de convergence voilà par définition et on comprend très bien alors du coup quand cette quand il appartient à cet intervalle de convergence on a vu que la série convergent vers à c'est-à-dire le premier terme / 1 - x la raison rappelle-toi x ici c'est la raison d'habitude je la note r mais là pour changer je la note 6 donc ça converge vers à moins x alors jusqu'à présent on était intéressé justement par comprendre que cette série convergent vers à moins-16 mais puisqu'il ya une égalité je peux aussi dire que la fonction assure 1 - x 6 x est compris entre - arias est égale à une série infinie est en fait tu vas voir que dans la suite de tes études mathématiques cette propriété va être très intéressante pour transformer des fonctions en verre des séries donc là jusqu'à présent on a surtout travaillé de la série vers la fonction et dans le futur tu travailleras aussi très souvent de la fonction vers la série alors avant de finir cette vidéo je veux juste introduire le rayon de convergence dans ce cas simples en tout cas c'est à dire quand x est un nombre réel est bien c'est tout simplement la moitié de l'intervalle de convergence tu peux tu imaginer que cet intervalle de convergence et bien c'est comme un le diamètre d'un cercle voilà qui va aller de -1 à 1 en passant par 0 donc est ce que c'est le rayon basse et la moitié du diamètre donc c'est juste cette partie là donc le rayon de convergence il est égal à 1 dans ce cas ci