La fonction réciproque d'une fonction

donc mettons que j'ai une fonction f qui va de l'ensemble x dans l'ensemble des y donc ça qu'est ce que ça veut dire et bien donc je prends mon ensemble x ici que je dessine je prends un ensemble y ici est une fonction comme f va associer un des éléments de x ici à un des éléments de y voilà donc ça c'est par définition ce que c'est qu'une fonction donc par exemple si ici ce point-là j'appelle ça petit a donc à appartient x et bien ce point-là petit b et dans les dents y b appartient à y est dense que j'ai c'est que et bien f2 à est égal à b donc tout ça c'est des révisions et maintenant je vais définir plusieurs fonctions qui vont nous être utile là tout de suite par la suite mais qui sont pas d'une grande nouveauté pour toi maintenant donc la première fonction que je vais définir c'est la fonction identité donc la fonction identité on va définir en fait plusieurs fonctions identité fin tu verras que c'est la même chose donc la fonction identité bien je vais l'appeler grand ti 2 x donc ça c'est la fonction identité dans x est donc cette fonction là elle va de l'ensemble x est bien dans l'ensemble le x qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que l'image d'un point à dans x par la fonction est dit et bien ce sera a aussi donc c'est à dire que ça ça fait quelque chose comme ça voilà et ça c'est hideux x est donc maintenant qu'est ce que ça peut être pop si je te dis hideux y donc y de y je met en une autre couleur donc y de grecs c'est la fonction identité qui prend un élément dans y et qui redonne un élément dans y tels que eh bien il 2 y 2 b soit égal à b pour tout élément b2 y donc c'est une fonction comme ceci donc ça s'est grandi de y est bien sûr en eau ici c'était grand petit 2 x 2 a été gala donc ça ça a l'air d'être des fonctions un peu inhabituel mais tu vas voir qu'elles vont nous être outil utile très très vite donc maintenant je vais introduire une nouvelle définition les annonceurs dire qu'est ce que c'est que l' inverse d'une fonction et on va dire que f ête inversible tu va tout de suite voir ce que c'est donc f ête inversible si et seulement si donc ça je fais un signe d'équivalence ici pour si et seulement si eh bien il existe il existe une fonction que je vais appeler f - 1 et que je vais appeler l' inverse de f donc il fait il existe f - 1 linverse linverse de f tels que tel que tel que f - 1 soit une fonction de y dans x est telle que la composition de f - 1 avec f nous donne ici et bien l'identité de x est que la composition de f avec f - 1 donne l'identité dans y donc voilà la définition de f et inversible maintenant on va voir ensemble qu'est ce que ça veut dire tout ça donc qu'est ce que ça peut être que la composition de f par f moins un qui est égal à l'identité mais je sais que f je les définit ici c'est une fonction qui va de x vers y donc j'ai x y et gf qui va donc de x ou y je sais que f - 1 va de y vx va de y vers x donc ce que j'ai en fait la composent est ici f - 0 fc bien une fonction qui va de x vers x et en plus ici ce qu'on nous dit c'est que c'est égal à l'identité donc mais non je prenne f - un rond f2 a donc acquis et dans x qu'est-ce que ça ça me donne eh bien ça ça me donne l'identité de x2 a par définition et ça donc c'est égal à donc qu'est ce que c'est qu'est-ce que cf - et bien en fait c'est l' inverse 2x qui va à partir ici domont point b ici me re donner mon point à ici c'est à dire que c'est égal donc à l'identité de hassaba réassocier ici b vert a donc si on décortique un petit peu l'équation que j'ai ici donc ça en fait qu'est ce que c'est c'est la même chose que décrire la composition ici f - 1 2 et bien f2 à d'accord et f2 à et bien je sais ici que c'est que cb d'accord et donc ça je sais que tout ça ça va être égal à a donc par définition ici de finalement de l'inverser ici et je vais avoir exactement la même chose pour et feront de f - 1 ça va être exactement la même chose si tu décortique ici donc voilà ce que c'est que l' inverse d'une fonction et maintenant ce que tu peux me demander c'est que mettons que j'ai une fonction f qui est inversible donc je vais je vais effacer un petit peu pour avoir un petit peu plus un petit peu plus de place donc ici on n'a pas forcément besoin de ça mettons que je devais plus besoin aussi de mes petits mais petit diagramme ici voir on va juste garder en fait la définition de f inversible voilà donc mettons que j'ai une fonction f inversible d'accord qui va de x vert et risques et la question qu'on peut se poser maintenant c'est de savoir si la fonction inverse f - 1 est unique voilà donc c'est une question qu'on peut se poser est en fait pour répondre à cette question car on peut tout simplement fait démontré démontrez ça et on peut partir et bien de la l'hypothèse que f - n'est pas unique donc ce qu'on va faire c'est bon on va supposer qu'il existe et bien qu'il existe j'ai qui va de y vers x tel que est bien tel que giroud f est égal à l'identité de x et f rongé est égal à l'identité dans y donc ici j'ai et une fonction inverse de f par définition est ce qu'on va les supposés c'est que j'ai n'est pas la seule fonction inverse mais qu'il y en a une autre qui est donc h qui va aussi de y vers x est tel que h auront f est égal à l'identité dans x et f auront h est égal à l'identité dans y donc toutes les 2 g et h sondez inverse de f par définition ça en fait qu'est-ce que ça veut dire mais si je reprends mes petit diagramme donc si je reprends mes mon ensemble ici x mon ensemble ici y voilà donc je vais avoir ma fonction f qui va prendre un point dans x et l'associer à un point dans y ici et que va faire ma fonction j'ai ma fonction j'ai va reprendre ce point ce point là dans y eva leur est associé au point de départ ici dans dans x voilà ma fonction j'ai est en fait ma fonction h va faire exactement la même chose voilà ma fonction h donc toutes les deux sont des inverse de f notre question de départ c'était de savoir si on peut avoir deux fonction inverse distincts et donc pour voir ça et bien on va d'abord partir et bien d'une d'une équation c'est à dire que j'ai en fait c'est égal à quoi eh bien on sait que c'est égal à la composition de la fonction identité dans x part j'ai une manière assez simple de voir sa c2 tour dessinée encore mes petits mes petits ensembles x et y donc voici x voici y donc geva de y dans x c'est à dire que je prends un point dans les grecs et que j'associe ça à un point dans x donc ça c'est ce que je fais c'est que d'abord j'applique j'y vois là et après j'ai appris l'identité dans x dont c'est à dire que je vais tâcher faire une boucle de du point dans six dents lui met donc ici en fait ce que tu vois bien c'est que eh bien j'ai est égale à la composition aussi de l'identité par g le dire c'est la même chose ça change pas on retourne sur ce point là quoi qu'il arrive montrait très bien et maintenant on sait que et bien l'identité d'un x7 et galicie à h auront f donc on va remplacer ça donc je vais avoir ici à chaud f h or on f rond donc je vais reprendre la couleur rond j'ai douala par définition donc maman ce que tu as vu c'est que pour les compositions de fonction cen'est ça n'a aucune importance si je commence à composer haché avec f ou ici est fait avec j'ai donc je peux très bien changer de place ici mais parenthèses donc je vais me retrouver ici avec est bien ici toujours à ch dron et cette fois ci je vais me retrouver avec de l'autre côté f rond g et f ronger qu'est ce que c'est mais et franches et on l'a ici c'est l'identité dans y donc ce que je vais me retrouver avec ch rond identité bon je peux leur écrire maintenant aux verts identité dans y est ça qu est ce que c acheron l'identité de grecs bah c'est pareil je peux très bien me refaire un petit dessin alors le tout c'est de savoir où on va faire ça ici donc ici gx ici j'ai l'ensemble y donc eh bien tout d'abord j'applique lisant petit et de y un point ici dans y donc c'est à dire je boucle sur lui même et ensuite j'applique h qui va de y dans x c'est-à-dire que j'associe ce point là dans les grecs à un point dans x dans ce que tu vois c'est que ici acheron identité direct c'est la même chose qu'en fait h et donc bah qu'est ce que j'ai ici eh bien j'ai l'égalité j'ai été à la hache donc en fait qu'est ce que j'ai fait eh ben je suis parti de l'hypothèse qu'il existerait plusieurs fonctions inverse 2f et en fait je suis arrivé à l'égalité suivante j'ai été gala h ce qu'ils me montrent qu'en fait et bien l' inverse d'une fonction est unique donc ici tu peux rajouter ça dans les propriétés linverse donc f - un unique voilà donc ça fait partie des choses ici à obtenir et on l'a montré plutôt élégamment sur cette vidéo