Déterminant de la transposée

thormann ans qu'on a vu ce que c'était qu'une transposer une question qu'on peut avoir c'est s'y prendre la transposer d'une matrice change sont déterminants et c'est ça qu'on va regarder dans cette vidéo donc d'abord on va regarder ce qui se passe pour une matrice de 2 donc je définis à est égal à a b c d et si je prends donc le déterminant de a donc le déterminant de à qu'est ce que ça va être ça va être ad - c'est b maintenant si je prends la transposer de a donc je vais avoir a b c d et donc quel va être le déterminant de la transposer ça va être ad - cv donc là pour un cac en tout cas en dimensions d'eux il semblerait que et bien le déterminant d'une matrice à est égale à e déterminant de sa transposer maintenant on va regarder si c'est vrai pour n'importe quel matrice quelle que soit sa dimension et pour ça et bien on va faire une démonstration par récurrence et donc pour faire une démonstration par récurrence et bien on a déjà fait la première étape ici on a montré que et bien la propriété qu'on veut démontrer donc ça va être celle ci la propriété paix c'est à dire que le déterminant d'une matrice à est égal aux déterminants de sa transposer donc on a déjà montré cette propres que cette propriété là était vrai pour un cas très simple cas de dimension 2 et maintenant on va montrer que c'est vrai pour des dimensions plus élevé et pour ça et bien ce qu'on va faire c'est qu'on va on va déjà on va supposer que cette propriété est vrai pour une matrice n x n donc si j'ai b qui est n fois -n -l ligne n colonnes eh bien je suppose que le déterminant de bay est égal aux déterminants de sa transposer donc je suppose que cette propriété là est vrai et étant donné ça eh bien on va regarder si c'est vrai et donc si cette propriété là est vrai pour une matrice qui a pour dimensions end plus aligné n + 1 colonnes et cie ont tant fait que c'est vrai pour une matrice avec en plus un linéaire +1 colonnes alors on aura démontré la propriété puisqu'on sait que la propriété vrai pour une matrice 2 x 2 donc ce sera vrai pour une matrice 3 x 3 4 x 4 etc voilà le raisonnement donc maintenant on va poser donc donc on va poser une maîtrise on va dire on va rappeler a ici qui va être avec elle plusieurs lignées n + 1 colonnes donc pour un peu de simplicité ce qu'on va faire ici c'est que n + 1 je vais appeler ça m c'est juste pour la notation et mi6 donc alors cette matrice là ça va être égal à quoi eh bien ça va être égal comme d'habitude j'ai écrit mes petits coefficients donc à 1,1 à 1,2 cetera et cetera à 1 m ensuite à 2,1 à 2,2 à 2 m jusqu'à ici à m un am2 et cetera et cetera à mm voilà ma matrix a maintenant quelle va être la transposer de ma matrice à et bien ça va être aussi une maîtrise avec emeline ème colonne puisque la matrice est carré on va juste et bien juste transposer les lignes en colonnes donc je vais avoir ici à 1 1 à 2 un pardon à 1-2 et cetera et cetera à 1 m ensuite ici à 2,1 à 2,2 et cetera et cetera am2 je continue jusqu'à la dernière ligne qui va devenir ma dernière colonne am1 am2 et cetera et cetera à mm donc voilà la transposer de matrice à et maintenant ce que je vais faire c'est calculé et bien les déterminants de ces deux matrices et regarder s'ils sont égaux donc quel est le déterminant de ma matrice aa ici donc dead 2 à coup j'ai noté jusque là avec avec des barres sur le côté 1 c'est la même chose alors qu est ce que c est bien ce que je fais c'est que je vais prendre ici la première ligne est utilisé les coefficients la première ligne dans ce qu'on a vu c'était que eh bien on prend le premier coefficient à 1 1 on le fait le produit avec la matrice qui reste si on enlève on ignore la ligne et la colonne de ce premier coefficient donc il nous reste déterminant ici déterminant de d'une maîtrise qu'on va appeler grand aa1 donc cette matrice là c'est quoi c'est celle ci ici la voilà cette maîtrise là qui est une matrice n ligne et n colonnes ça va être intéressant pour plus tard ensuite moi - à 1 2 et bien déterminant 2 à 1 2 et cetera et cetera jusqu'au dernier coefficient ici donc le dernier coefficient mais je connais pas son signe ce que je connais pas la parité de m dans ce que je vais faire c'est que eh bien je vais prendre je vais prendre un moins un que je vais m en fête en puissance un plus m pour pouvoir pour pouvoir avoir la valeur de ce dernier coefficient ici donc à 1m déterminant de la matrice à 1 m voilà le déterminant de ma matrix a maintenant pour le déterminant est bien de ma matrice de la transposer de la matrice donc azotés qu'est ce que ça va être et bien ce qu'on a vu dans les vidéos surdéterminant c'était qu'on n'était pas obligé d'utiliser ici la première ligne pour calculer ce déterminant on peut utiliser n'importe quelle ligne est aussi n'importe quelle cause donc la vue qu'on essaye de montrer l'égalité entre déterminant de hay déterminant de à 30 de la transposer de à et bien je vais prendre ici les mêmes coefficient mais qui sont maintenant ici en colonnes donc je vais prendre je prends c'est exactement les mêmes coefficient donc je vais la même chose ici c'est à dire que je prends le coefficient à 1 1 et je vais je vais aussi le x le déterminant de quoi et bien par le déterminant de la matrice ici qui me restent si j'ignore et bien la ligne et la colonne de à 1 1 donc c'est comme si en fait j'ignorais ces deux lignes heures donc qu'est ce que c'est que cette matrice là en violet par rapport à cette matrice la anvers et bien si je regarde bien ici c'est tout simplement la transposer de cette matrice l'a donc en d'autres termes c'est à 1-1 transpose voilà tu vois bien que ici ici la première la première ligne ici est devenu ici la première colonne d'accord donc c'est bien la transposer et en fait ça va être vrai pour toutes les sous maîtrise qu'on a utilisées ici donc je vais avoir mois à 1 2 déterminant 2 à 1 de transe la transposer 2 à 1 2 plus et cetera et cetera plus moins un an de plus puis à la puissance 1 + m à 1 m de déterminant 2 à 1 m la transposer de 1,1 m voilà ce qu'est le déterminant de la transposer de a donc maintenant qu'est-ce que je peux faire et bien en fait je vais j'ai utilisé ce que j'ai supposé vrai depuis tout à l'heure c'est à dire que ici j'ai supposé que le déterminant d'une matrice de dimension npa n était égal aux déterminants de sa france posait donc ici quelles sont les les dimensions de ces sous matrice ici eh bien je les ai évoqué tout à l'heure mais c'est sous matrice là en fait elles sont de dimensions n x n l on n ligne et n colonnes puisqu'ici cette matrice aaen plus à aligner n + 1 colonnes et donc on ignore une ligne et une colonne donc il nous reste plus que m me et m colonnes donc ça veut dire que dans ces cas là et bien là le déterminant de la transposer 2 à 1 1 et bien c'est égal aux déterminants 2 à 1 donc je peux tout simplement ici récrire que déterminant de la transposer de a ici été gala à 1-1 déterminant 2 à 1 1 - 1 à 1,2 déterminant 2 à 1 2 plus et cetera et cetera plus - impuissance un plus m à 1 m déterminant 2 à 1 et donc là qu'est ce qu'on a montré et bien on a montré exactement ce qu'on voulait on a montré que et bien on a déterminant déterminant de à est égal à déterminant de la transposer de à dans le cas où elle est une matrice à n + 1 ligne et n + 1 colonnes donc en supposant vrai l'intro propriété pour des matrices de dimension n x n eh bien on a montré que cette propriété là était vrai pour une matrice de dimension n + 1 x n + 1 et donc ça veut dire que cette propriété est vrai pour tout m puisque j'ai réussi à enfin au tout début j'ai montré que la propriété était vrai pour 1 4 il ya le cas deux fois 2 donc ça va peut-être propriété va donc être vrai pour le cas 3 x 3 pour le cac 4 x 4 pour le 47.5 etc etc jusqu'à n2 dimension infinie donc voilà on a montré une propriété très utile ici qui est que et bien le prendre la transposer d'une matrice ne change pas sont déterminants