Sous-espace vectoriel

donc je pense que maintenant grâce aux vidéos précédentes on a suffisamment d'éléments pour comprendre que c'est un souhait espace de rn donc sous espace sous espace de on a dit de rnl l'idée c'est qu'on arn du cookie et qui est un ensemble est infiniment grand de vecteurs et je vais dit finir maintenant ce que c'est un souhait espace on appelle aussi espace vectoriel parce que c'est un espace qui comprend des vecteurs donc qu'est-ce que c'est un souhait espace 2 et rennes alors pour ça je vais prendre v un ensemble et je dire que wc en fait c'est une partie wc une partie de de rnb si une partie 2 et rennes et je vais voir quelles conditions il faut avoir sur v pour que v soit un sou espace 2 et rennes du coup si on regarde rnl rennes on l'a vu c'est en fait c'est tout les l'ensemble de tous les vecteurs donc rn du coup ça va être des vecteurs de dimension humaine du coup ils vont et de la forme x1 et serra jusqu'à x n c'est l'ensemble de tous ces facteurs tels que les xxi tels que les xxi appartiennent à m et ça c'est vrai pour tout petits pour tout y inférieur à n est supérieur ou égal à 1 donc ça c'est ça c'est mon et rennes c'est tous les vecteurs x1 xn telles que lille qui appartiennent r alors maintenant la question qu'on se pose c'est quelle sont les conditions pour que v soit un sou espace pour que v soit un sou espace de haine juste oublié normalement on met un tir et il fit entre sous les espaces donc les conditions pour que v soit un sou espace de 2 et rennes à lorient nayana 3 on va les voir donc si v est un sou espace de rn ça implique que la première condition c'est que le vecteur le vecteur 0 le vecteur nu ce vecteur là il faut qu'ils soient qu'ils appartiennent il faut qu'ils appartiennent avait ça c'est ma première condition il faut que le vecteur nuls soit inclus dans v donc si je vais jouer je vais dessiner ici par exemple il fige et ce morceau là c'est on va dire que cnn ça c est reine et j'ai du coup v qui est wc on a dit une partie de mnv ça c'est une partie de rennes et du coup alors la première condition qu'on vient voir ces il faut que le vecteur nul il faut que le vecteur nuls soit inclus dans v ça c'est ma première condition la deuxième condition ça va être que si si on a un vecteur on va appeler le vecteur x qui appartient à v si on a un vecteur viii ix qui appartient avait alors on doit avoir que le vecteur cx avec c'est une constante réel le vecteur ses x x doit appartenir avait donc ce que ce que j'ai dit ici c'est si on a le vecteur x qui est d'enlever alors donc si on a ce x là qui devait alors on doit avoir que le vecteur ses x x doit être inclus dans v le vecteur 6 x x il est compris dans v donc ça c'est une condition qu'on appelle la stabilité cette condition là c'est ce qu'on appelle la stabilité par multiplication scalaires je vais l'écrire ici stabilité stabili t parent multiplication ce cas l'air finalement c'est un mot un peu barbare pour dire que pour définir l'idée très simple que si x est enlevée alors c'est x x doit aussi être dans v donc on a on a la première condition que 0 appartient avait la deuxième condition que le la partie doit être stable par multiplication scalaires et on a une troisième condition qui est que si on a un vecteur à qui appartient avait est un vecteur b qui appartient avait donc on a deux vecteurs différents qui appartiennent avait alors on doit avoir que le vecteur a + b il doit aussi ce vecteur doit aussi appartenir avait donc ici si on a un vecteur aïssi plus un vecteur b ici et deux sont compris dans v alors on doit avoir que le vecteur a + b ce vecteur a + b doit aussi être dans v et cette condition c'est ce qu'on appelle la stabilité la stabilité par addition la stabilité par addition donc voilà donc on a nos trois conditions 0 doit le vecteur nul doit être compris dans v on doit avoir la stabilité par la multiplication scolaire et la stabilit et habilités par addition est en fait ce qu'on a c'est que donc si v est un seul espace on a ces trois conditions et si on a de ces trois conditions qu'ils ont respecté alors v est un sou espace donc en fait c'est une équivalence dans les deux sens donc tout ça c'est peut-être un peu un peu trop théorique du coup je vais je prendre des exemples très simple pour essayer de mieux comprendre ce que ça veut dire donc on va commencer je vais descendre on va commencer par un v on va définir v qui est une sous partie 2 qui est pendant une partie de herret de m2 est reine on va dire que v c'est un ensemble très simple mais c'est un ensemble qui comprend uniquement le vecteur nul voilà donc nos v il comprend un seul élément qui est le vecteur nul et on va pour la simplicité on va se placer dans r3 du coup on va dire que en fait le vecteur nul c'est le vecteur 000 donc là j'ai une partie de r3 qui est valide et qui comprend un seul élément qui est le vecteur nul et la question c'est est-ce que v est ce que c'est un souhait espace de r3 parce que c'est un souhait espaces 2 r 3 ça c'est la question que je me pose alors pour répondre à cette question comment va faire exactement ce qu'on a dit au dessus c'est à dire qu'on va vérifier que les trois conditions sont remplies alors la première c'est assez évident est ce que le vecteur nul et est compris dans v bah oui le seul élément de wc le vecteur nul donc le vecteur le vecteur nul est compris dans v ça c'est bon c'est une condition qui est bien rempli la deuxième condition c'est la stabilité par multiples multiplication par un scalaire alors ça aussi c'est assez évident j'ai mon vecteurs mon vecteur nul 0 0 0 si je le multiplie par un scalaire on va appeler un scalaire si quelconque ça donne quoi donc gcc fois 0-0 c'est x 0 0 c'est x 0 0 donc j'obtiens le vecteur nul qui est bien compris dans v donc mon ma partie v et bien stable par multiplication scalaires j'écris stable par multiplication scalaires donc ça c'est aussi une condition qui est bien rempli voilà et maintenant il faut que je finisse par la dernière condition la dernière condition c'est la stabilité par addition donc maintenant alors ici j'ai qu'un seul élément du coup j'ai pas le choix je vais prendre si je prends deux éléments devaient donc je prends mon premier vecteur 0 et il faut que j'additionne à un deuxième élément devait bien ici j'ai pas le choix je vais prendre aussi mon vecteur nul donc je fais zéro plus zéro là encore c'est pas très compliqué zéro plus zéro à chaque fois c'est égal à zéro du coup bien sûr je veux obtenir mon vecteur nul ici donc si je prends si je fais l'addition de deux éléments devaient j'obtiens bien un élément qui est compris dans vais donc v et bien stable v est stable par addition v est stable par addition de vecteurs donc mes trois conditions sont remplies et je peux affirmer que v et bien un sou espace 2 à 3 sa gelée vérifier c'est bon parce que les trois conditions ont été bien remplies ok donc ça c'était un des exemples les plus simples possibles presque maintenant on va voir un petit peu plus de façon graphique ce que ça donne donc je vais récupérer ici voilà mais mes graphes et alors je vais prendre un nouvel à nouvel ensemble une nouvelle partie je vais l'appeler l'ensemble eux et je vais dire que c'est l'ensemble je vais me placer dans r2c l'ensemble des vecteurs x1 x2 j'ai deux éléments tels que et je vais poser une condition je dire que x 1 doit être forcément supérieur ou égal à zéro voix là est la question que je me pose c'est encore une fois est-ce que eux est un sou espace est ce que eux est un sou espace de r2 ce que eux est un sou espace un sou espace de r2 ça c'est la question à laquelle je vais essayer de répondre est bon alors encore une fois un jeudi sous l'espace c'est un souhait espace vectoriel parce que les éléments deux sont des vecteurs alors on va commencer par essayer de voir déjà graphiquement à quoi ça correspond cet ensemble eux donc si je regarde pour x 1 x est on a dit qu'ils pouvaient prendre des valeurs positives donc ça veut dire qu'en fait x1 il va varier il va être ici je peux pas aller vers les valeurs négatives pour x a donc x1 ils varient sur cette partie de lax et si je regarde pour donc ça c'était x1 j'ai dit si je regarde pour pour x 2 x 2 par contre je n'ai aucune gêne aucune condition sur x 2 du coup x2 en fait ils varient ce soit pour les grecs que positif ou négatif ici en vertical je peux aller là où je veux et quel que soit le nom ex je peux aller là où je veux ici donc si je regarde mon ensemble eu en fait il comprend ce cadran ici et ce cadre ici les deux cadrans définissent mon monde mon la partie e alors maintenant la question c'est est-ce que les trois conditions qu'on a défini avant est ce que ces trois conditions là sont respectés pour que donc la première question c'est est-ce que le vecteur qui en est derrière 2 est ce que le vecteur nul d'en rire d'eux donc c'est à dire le vecteur 0 0 est inclus dans e ça c'est la question que je me pose et la réponse c'est assez simple un ici il est où le vecteur le vecteur nul c'est le vecteur qui est ici et ce vecteur nul il est bien inclus dans e on le voit on le voit graphiquement et ici on voit que si on replace 6-1 par 0 on n'a pas de problème c'est bien qu on veut du coup cette première condition elle est bien vérifier 0 est inclus dans le la deuxième question c'est on va dire que la stabilité par addition du coup si je prends deux vecteurs qui sont inclus dans e s que la somme de ces deux vecteurs est aussi incluse dans le donc pour voir ça j'ai commencé par prendre des exemples graphique même si c'est pas une démonstration pour un peu voir ce qui se passe du coup si je prends un premier vecteur comme ceci est un deuxième vecteur comme ceci je fais la somme montre mon vecteur final c'est ce vecteur ici en rouge et du coup les deux premiers vecteurs était dans hull le troisième facteur est bien en vie je peux prendre un vecteur comme se fit un autre vecteur comme ceci je fais la somme je vais arriver quelque part ici et du coup mon vecteur final c'est ce vecteur l'a donc encore une fois mais deux vecteurs initiaux étaient eux m'ont vecteur finale et dangereux alors si je fais ça de façon un peu plus un peu plus rigoureuse et un peu plus mathématique je prends deux vecteurs je vais prendre un premier vecteur à b qui est dangereux donc là la condition c'est que ça soit positif je prends un deuxième vecteur on va dire le vecteur c'est des qui est dans le haut si donc c est positif si je fais la somme de ces deux vecteurs qu'est ce que j'obtiens j'obtiens en a plus c'est ambages obtient b plus d et la question c'est est-ce que ce vecteur est inclus dans e et en fait on vient de dire que a et c était positif parce que les vecteurs sont inclus dans l est du coup à plus c est forcément c'est forcément un nombre positif et en fait on n'a pas de conditions sur b plus d 1 comme on attend et on a on a aucune condition sur x 2 ici on n'a pas de conditions sur b plus d et on a que a plu c est bien positif du coup ça nous dit que le la partie e et bien stable par l'addition donc je vais marquer eux est stable par addition stable par à dix sion ça la deuxième la deuxième condition est bien vérifier on l'a vérifié de façon rigoureuse et mathématiques eux et bien stable par addition est alors la dernière la dernière condition à vérifier c'est la stabilité par multiplication scalaires et alors là ce qu'on va faire c'est que du coup on prend par exemple j'ai commencé graphiquement et ensuite on verra mathématiquement ce que ça donne si je prends un vecteur ici qui est inclus dans des oeufs donc si le multiplie par un scalaire positif je vais arriver quelque part par exemple ici donc je vais bien mais c'est dangereux par contre si je multiplie pas un scalaire qui est négatif par exemple si le multiplie par - un seul vecteur je vais arriver ici et on voit bien que ce vecteur la lui il n'est pas incluse en eux donc si je fais ça de façon mathématique qu'est ce qui va se passer si je prends mon vecteur mon vecteur ab je reprends un vecteur ab convecteurs ab si je les multiplie par -1 donc j'ai le droit 1 c'est bien réelle alors le vecteur que j'obtiens un seul vecteur - à - b est en fait vu que à 2 v est positif parce que ce vecteur là appartient à eux - ah c'est forcément un nombre négatif ça c'est forcément un nombre négatif ae - avait forcément négatif et du coup ce vecteur là ne respecte pas les conditions pour être dangereux ce vecteur n'est pas dans le et du coup ce n'est pas stable par multiplication je vais l'écrire hum hum n'est pas stable n'est pas stable par multiplication par multiplication sur ce qu'allait donc eu vérifie bien les deux premières conditions 0 est inclus dans e -e est stable par addition par contre eux n'est pas stable par multiplication cette troisième condition n'est pas respectée et du coup je peux dire que eux je peux conclure eux n'est pas eux n'est pas un sou espaces un sou espaces 2 r2 parce que eux vérifient deux conditions sur trois mais il faut qu'ils vérifient les trois pour être un sou espace voilà alors maintenant je vais prendre un autre exemple je vais descendre un peu je descende wifi je vais prendre un ensemble eu une je vais prendre une comme une partie de fn lui je veux dire qu'il est égal au vectes 2 par exemple v1 v2 v3 avec v1 et v2 v3 sont trois vecteurs de rng je vais pas définir leur taille donc est la question que je pose c'est toujours la même est-ce que hu est un sou espace de rn us ou espace 2 et rennes ça c'est la question que je me pose est alors pour répondre à cette question c'est toujours la même chose est ce que une vérifie les trois conditions qu'on a défini au début alors la première condition c'est est ce que le vecteur nul est inclus dans u mais pour ça c'est assez simple en fait si on prend comme combinaison lunaire donc levêque très bien toutes les combinaisons linéaire de v1 v2 et v3 est par exemple la combinaison linéaire qui dit 0 v1 dérober à un + 0 v 2 + 0 v 3 c'est bien ce vecteur là c'est bien un vecteur qui est inclus dans u ce que c'est une combinaison linéaire de v1 v2 v3 et c'est égal à quoi c'est égal aux vecteurs nul donc le vecteur nul est bien inclus dans u donc la première condition est bien respectée maintenant on va passer à la deuxième condition qui est là multiplie les stabilités par multiplication donc si on regarde ça on va avoir si on prend que x comprend x comme un vecteur de eu donc x peut s'écrire du coup sous la forme c'est un x v un plus ces deux fois v2 plus ces trois fois v3 par définition vu que x est inclus dans le texte devait un v2 v3 il peut s'écrire sous cette forme-là et du coup si maintenant on prend le vecteur c'est non je vais pas dire c'est à x x par exemple le vecteur ax avec akin constante réel il est égal à quoi c'est tout simple il est égal à a fois c'est un fait un plus à fois ces deux v2 plus à fois ces trois v3 est ici vu que c'est un c2 c3 ce sont de réels et que a été l on peut très bien réécrire ça ça c'est assez un ac2a c3 ce sont aussi des réelles ne qu'on peut très bien les écrire comme des 1 v1 plus des 2 v2 plus des trois v3 et on voit bien ici que le vecteur ax qui s'écrit comme ceci est bien une combinaison linéaire de v1 v2 v3 donc il est bien inclus dans le texte de v1 v2 v3 donc la deuxième condition de stabilité par multiplication scalaires et bien vérifier ça c'est la stabilité stabilité par multiplication la stabilité par multiplication cette stabilité est bien vérifier donc la dernière chose qui nous reste à vérifier c'est la stabilité par addition alors comment on fait ça on a déjà du coup un vecteur qui appartient à une on va prendre un deuxième vecteur on va l'appeler le vecteur y qui appartient a eu du coup on va dire qu'il est de la forme b 1 v1 plus b2v 2 + b 3v 3 donc y est inclus dans u et la question c'est est-ce que le vecteur x plus y est ce que ce vecteur l'a donc avec l'x et qu'on a écrit ici y ici est-ce qu'il est inclus dans u alors à quoi il est égal du coup si organes c'est illégal à b1 plus c'est un fois le vecteur v1 je mets juste ici on a assez 1 v1 et bienveillant donc ça fait bien bien plus c'est un fois fait un plus b2 plus ces deux faux avait 2 plus b3 plus ces trois fois v3 donc voilà donc comme à caen avant ici bien et c'est un sondé réel du coup bien plus c'est un état réel pareil pour b de plus ces deux pareils pour b3 plus étroit du coup le vecteur x plus y est bien une combinaison lunaire de v1 v2 et v3 donc x plus y est bien un vecteur qui est inclus dans le vecteur de v1 v2 v3 donc ça ça nous dit que la dernière condition qu'ils aient la stabilité par multiplication et bien vérifier la stabilité par addition pardon ça c'est la stabilité stabilité par nadi par addition la stabilité par addition est bien vérifier donc on a vérifié les trois conditions le vecteur nul est bien inclus dans u le but est bien stable par multiplication scalaires eu est stable aussi par addition donc eu est un sou espace de r n est en fait on aurait pu même pu aller plus loin ici on a pris trois vecteurs mais en fait on aurait pu prendre 4 10 20 vecteur on aurait pu prendre un vecteur quel que soit m et levêque tu de un certain nombre de vecteurs et forcément un sou espace de rn avec haine le nombre d'éléments dans chaque vecteurs alors pour mieux que tu comprennes ça on va regarder un exemple sur un vecteur très simple donc on va dire que on va dire que huchon va dire que c'est le vecteur on va dire que c'est le vecteur d'un d'un seul élément d'un seul d'un seul vecteur un vecteur très simple en plus le vecteur 1 1 voilà donc on dit que du select 2 à 1 et la question c'est toujours la même est-ce que lui est un sou espace de r2 alors déjà le vecteur à 1 à quoi il ressemble c'est ce vecteur ici ça c'est le vecteur 1 1 et du coup le vecteur de 1,1 on l'a vu dans des vidéos précédentes c'est en fait cette droite qui qui passe par ici donc c'est cette droite ici ici dans les du côté des négatifs voilà donc le 22 du vecteur 1 1 c'est cette droite ici en bleu alors du coup est ce que ce vecteur bien et bien un sous-espèces de r2 on va faire comme avant on va vérifier les trois conditions du coup concernant le vecteur nul et ben si on prend 0 fois mon vecteur 1 1 ce vecteur là et bien inclus dans le texte et il est égal aux vecteurs aux vecteurs nul en fait illégal vecteur 0 0 donc la première condition est bien vérifier parce que ce vecteur 0-0 et bien inclus dans u la deuxième condition qu'ils aient la multiplication la stabilité par multiplication scolaire en fait si on regarde la définition de ce mec tu sais c'est tous les tous les éléments qui peuvent écrire comme ces fois le vecteur 1 1 donc par définition tous ces éléments là sont compris dans eu donc eu et bien stable par multiplication scolaire cette deuxième condition est bien vérifier si on garde la troisième condition de stabilité par addition donc on va prendre deux vecteurs on va prendre un vecteur à qui est compris dans u dont qaïs écrits de la forme c'est un fois le vecteur 1 1 et on va prendre un deuxième vecteur qui est aussi compris dans u donc le vecteur b qui s'écrit comme ces deux fois le vecteur 1 1 avec c1 et c2 qui sont de réels et si on gagne la somme de ces deux vecteurs ça donne quoi ça donne mais finalement on peut mettre c'est un plus c'est deux fois le vecteur 1 1 c'est un plus et deux fois le vecteur un sens on peut très bien l'écrire comme c'est c'est trois fois le vecteur un donc le vecteur a + b et bien inclus dans une dans le welt du vecteur 1 1 donc la condition de stabilité par addition encore une fois elle est bien respectée donc le vecteur de 1,1 et bien un sou espace ce cet ensemble est bien un sou espace un sou espace de r2 c'est ce qu'on a démontré en vérifiant que les trois conditions étaient bien respectées donc tout ça pour dire que finalement tous les vectes quel que soit levée quelles que soient les vecteurs à l'intérieur un mec t'es forcément un sou espace 2 et rennes voilà donc j'espère que cette idée dessous espace est maintenant plus clair pour toi et je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo