Construction d'un vecteur normal à une surface

maintenant qu'on a compris le concept de ce type d'intégrale de surface j'aimerais qu'on réfléchisse ici à comment construire un vecteur normal unitaire à chaque point de la surface et pour ça on va dire que on va dire que notre surface est paramétré on va dire que notre surface est paramétré par la fonction à valeur vectorielle de position air qui est une fonction de nos deux paramètres une et v donc avec ces paramètres on peut placer tous les points de cette surface mais je ne m'attarde pas là dessus puisqu'il ya déjà quelques vidéos sur la paramétrisation de surface et maintenant j'aimerais qu'on réfléchisse à la direction j'aimerais qu'on réfléchisse à la direction de deux vecteurs le vecteur formé par la dérivées partielles de cette fonction airs par rapport aux paramètres pu et aurait tort formé par la dérivées partielles de cette fonction par rapport aux paramètres v pour ça on va dire qu'on est à un point de cette surface alors ce que je vais faire c'est que je vais faire un petit peu de place fait effacer ce qu'il y a le remplissage de cette surface juste pour qu'on y voit un petit peu plus clair voilà j'ai face à rapidement donc on va dire qu'on est à un point de la surface alors pour 1 us et un vais donner cette fonction nous donne un vecteur de position cette fonction nous donne un vecteur de position qui nous amène à un point de la surface à ce point là maintenant on fait varier un petit peu eu donc on fait varier un petit peu oui ça nous amène à un autre point de la surface disons que ça nous amène à ce point est alors à quoi ressemble ce vecteur r1 dissuada dérivées partielles de r par rapport à hue et bien la norme de ce vecteur dépend de la vitesse avec laquelle on se déplace vers ce point et la direction de ce vecteur est bien sévère ce point le long de la surface c'est vers ce point le long de la surface on se déplace d'un point de la surface à un autre on se déplace d'un point de la surface à un autre c'est tangent à la surface en ce point alors je peux dessiner ça en plus grand ici on a ce hector là c'est le vecteur r1 dit lula dérivées partielles de r par rapport à eu et maintenant cette fois on va faire varier v un tout petit peu donc on va dire que ça nous amène on va dire que ça nous amène à ce point là donc cette fonction à valeur vectorielle de position nous donne un vecteur de position nous donne un autre vecteur de position qui nous amène à ce point là et donc à quoi est-ce que ressemble r indices bella dérivées partielles de r par rapport à v et bien pareil la norme de ce vecteur dépendent à quelle vitesse on se déplace mais cette direction est bien c'est de ce point là à ce point la direction c'est de ce point là à ce point là c'est aussi tangent à la surface et en plus grand et bien ça donne en plus grand et bien ça donne à peu près quelque chose comme ça donc ça a c'est le vecteur r1 10v donc que la dérivées partielles de r par rapport à v et ses vecteurs ne sont pas forcément orthogonaux d'ailleurs comme je les dessine et ils ne sont pas vraiment orthogonaux mais ils sont tous les deux tant gens à la surface et il nous indique à ce point la pente quelle est la pente en direction de v et quelle est la pente en direction de u et ces deux vecteurs forme d'un plan ces deux vecteurs forme d'un plan qu'on peut tracer comme ça à peu près comme ça donc ces deux vecteurs forme d'un plan avec une combinaison en linéaire de ces deux vecteurs on obtient un plan maintenant et on a déjà vu ça mais je vais revenir un petit peu dessus que se passe-t-il si on fait le produit vectorielle de ces deux vecteurs de ces deux dérivées partielles et bien ça nous donne un troisième vecteur ce produit vectorielle ça nous donne un vecteur orthogonale à ces deux vecteurs donc aux vecteurs r1 d'issue et aux vecteurs air indices mais ça nous donne un troisième vecteur orthogonale à ces deux vecteurs et on peut aussi voir sa d'une autre façon ce plan ici et tant gens à notre surface donc un vecteur orthogonale à ces deux vecteurs est normal plan est donc normal à notre surface et donc ça se produit vectorielle le vecteur issus de ce produit vectorielles et bien c'est un vecteur normal c'est un vecteur normal alors ce n'est pas le vecteur normal puisqu'on peut avoir des vecteurs normaux de différentes normes donc ici c'est seulement un vecteur normal et on peut même réfléchir à la direction de ce vecteur quand on a un produit vectorielle comme ça on a un moyen facile de savoir dans quelle direction va ce troisième vecteur ans l'idée c'est de pointer ton pouce droit dans la direction du premier vecteur celui là lorsque je vais faire c'est que je vais essayer dessine ça je vais dessiner ça ici d'abord je vais dessiner et ton pouce droit d'abord mon pointe notre pouce droit en direction du premier vecteur donc voilà à peu près le pouce droit donc on pointe le pouce droit en direction du premier vecteur ensuite dû pointe son index ensuite tu pointes ont un index en direction du deuxième vecteur c'est ton index en direction du deuxième vecteur et enfin tu tonton majeur enfin tu tentons majeur et ça te donne la direction et ça te donne la direction du troisième vecteur de ce produit vectorielle alors ensuite les deux doigts restant donc on a eu deux doigts restants qui sont pliés comme ça voilà les deux doigts qui restent sont pliés comme ça puis ici j'ai ma main comme ça et donc voilà la direction de ce troisième vecteur voilà la direction de ce produit vectorielle donc ce vecteur est orienté vers le haut il sort du plan par ici il sort de la surface comme ça et il ya donc plus ou moins deux directions possibles pour un vecteur normal à cette surface orienté vers le haut ou vers le bas mais dans ce qu'elle a et bien ce vecteur normale est orienté vers le haut il est orienté vers le haut il sort de la surface en direction du haut mais maintenant pour passer d'un vecteur normale au vecteur unitaire puisque c'est ce qu'on veut faire ici on a dit qu'on voulait voir comment on construit un vecteur normal unitaire et bien pour ça on va normaliser ce vecteur normal c'est à dire on va le / sa norme donc donc le vecteur normal le vecteur normal unitaire c'est une fonction de nos paramètres e et v et c'est égal au produit vectorielle de l'eau dérivées partielles c'est égal au produit vectorielle de nos dérivées partielles alors ça à ce produit vectorielles et bien c'est un vecteur normal mais ce n'est pas encore le vecteur normal unitaire maintenant pour ça on divise ce produit vectorielle par sa norme par la norme du produit vectorielle de nos dérivées partielles et voilà comment est ce qu'on construit un vecteur normal unitaire dans la prochaine vidéo on verra ça dans un exemple un petit peu plus concret