Dérivées partielles - Introduction

alors disons qu'on a une fonction de plusieurs variables tu sais ce que c'est je vais prendre une fonction particulière je vais prendre un exemple donc disons f 2 x y donc x et y sont les deux variables et donc cette fonction là elle est donnée par l'expression disons x au carré fois y plus sinus de y donc tu vois c'est une fonction qui part du plan les deux variables ici on peut considérer que ce sont les coordonnées d'un point du plan et qui renvoie un nombre réel alors la question est comment est ce qu'on peut trouver la dérive et de cette fonction là est ce que ça a un sens et quel sens on peut lui donner si ça en main alors il ya une méthode qui consiste à calculer ce qu'on appelle les dérivées partielles de la fonction f alors on va se rappeler un petit peu de ce qu'on a fait avec les dérivés normal d'une fonction d'une seule variable et en particulier de la notation qu'on a employé alors on va prendre par exemple cette fonction la f2 x égale x au carré et puis on va considérer sa dérivée et on va là noté comme ça alors il ya plusieurs notation à celle ci qu'on a commencé à utiliser dès le lycée en première et puis on a une autre en fait qui consiste à dire que ça c'est on note comme ça cdf sur des x alors tu vas voir que cette notation là elle montre vraiment ce qui se passe enfin le donne vraiment une idée de ce qui se passe alors disons que par exemple on veut calculer le nombre dérivés de cette fonction là pour x égal 2 donc ça veut dire qu'on cherche à calculer df sur des x pour x égal de donc en deux voilà lorsqu'on avait fait avec ses dérivés de fonctions classiques on avait représenté ça sur un graphique donc je peut tracer un petit croquis voilà l'axé des abscisses lax dx et puis ici c'est là que skipper les images de x par la fonction f donc c'est ce qu'on appelle la kz désordonnée ce sont les y voilà ici c'est l'origine et puis une autre fonction bon c'est une parabole elle fait donc voilà son allure générale c'est ça je sais la courbe d'équations y égale x carré alors ici disons que ça c'est x égal 1 et donc x égal 2 c'est la voilà alors qu'est ce que suggère cette notation l'a en fait le dxy si le dx est une toute petite variation des abscisses donc si je me mets en ce point là qui est sur la courbe qui appartient la courbe et dabs 6 2 eh bien je vais considérer un tout petit augmentation une toute petite variation de la variable x alors ça je peux leur présenter comme ça disons que la variable x varie un tout petit peu donc c'est vraiment une variation tout petit ce qu'on appelle une variations infinitésimales et l'edf qui est là et bien c'est la variation correspondante désordonnée ici l'edf voilà je vais le placer ici ça c'est l'edf c'est à dire que on fait varier d'une toute petite quantité infinitésimale les abscisses et au regard du coût de combien varie les ordonner au cours de cette variation des abscisses bon ça c'est l'interprétation qu'on faisait sur notre courbe mais en fait on peut aussi interpréter ça différemment et pas en passant par une courbe et par plant repéré puisque ici ce qu'on a en fait c'est le dx il est ici voilà et le d y est bien il est là voilà et la variation dfl et on peut la représenter ici voilà comme ça donc si tu veux en fait ce qu'on pourrait faire c'est tout simplement prendre deux copies de la droite donc je vais prendre une première droite comme ça sur laquelle je vais représenter la variable x donc ici je vais mettre le zéro ça c'est donc les x et puis ici donc j'ai le point d'apsys 1 et puis le point d'absys de ici est ce que j'ai dit c'est que je faisait subir à la variable x une variation vraiment tout petit infinitésimale que je représente comme ça voilà ça c'est mon dx ici est en fait maintenant je vais regarder non pas dans le plan mais je vais regarder juste ce qui se passe avec les images donc pour les images je vais tracé aussi une droite donc ici je peux placer mon origine et donc ça c'est un autre axe sur lequel je vais placer la variable y donc les images de x et en fait ce que je vais me demander c'est quelle influence cette petite variation de la variable x va avoir sur la fonction donc sur la variation des images donc je vais regarder maintenant ici et on va s'apercevoir par exemple que dans ce cas là est bien la variation des images va être quatre fois plus grande je la représente comme ça ici c'est ce que j'appelle l'edf et ça sera quatre fois le dx alors pourquoi je te donne cette deuxième interprétation baisse parce qu'en fait quand on a une fonction de deux variables on peut presque penser en ces termes là parce qu'effectivement dans ce cas là on pourrait très bien écrire ça df sur des x et se dit ah bon de quelle manière un tout petit changement dans la direction des x va influencer ma fonction donc un tout petit changement ici mon jeu l'écrit comme ça un tout petit changement de la variable x dans la direction des xv a influencé la fonction elle même mais en fait on va faire à peu près la même chose sauf que dans ce cas là ce dont on parle c'est non pas un point sur la droite une seule variable ces deux variables donc ce qu'on va faire c'est partir du plan donc je vais tracer un repère du plan voilà donc ici j'ai l'origine ici c'est la variable x ici c'est la variable y alors attention là je fais pas du tout ça pour tracer une courbe je fais tout simplement ça pour repérer en fait les points du plan parce que les coordonnées de ces pros du plan ce sont les deux variables de ma fonction donc en fait ça c'est une fonction des points du plan dans l'ensemble des nombreux réel alors disons que on ait envie d'évaluer cette dérive est là donc je parle comme ça d'une manière un peu informelle en ce point là de coordonnées 1,2 alors je vais le placer voilà disons que ça c'est un passer d'eux voilà donc le point que je considère c'est celui ci et donc si on se pose c'est si je prends un tout petit changement dans la direction des x donc parallèlement à laax des abscisses ici un tout petit changement dx quelle influence cela va avoir sur ma fonction rappelle toi que cette fonction l'état valeur réelle donc ce que je peux faire c'est dessiner comme j'ai fait tout à l'heure les images et pour faire ça je vais juste tracer une droite sur laquelle je vais représenter les images exactement comme j'ai fait tout à l'heure donc ici on va dire que c'est l'origine est là donc c'est ce que je peux appeler zzt les images de points du plan par la fonction f donc ce qu'on fait en fait c'est associer un point du plan un point de la droite des réelles et donc ici on va regarder le changement que cette petite variation dans la direction dxva avoir va entraîner sur notre fonction donc peut-être cette fois-ci ça va être une variation négative donc je vais la représenter comme ça avec une certaine longueur ça c'est mon df donc une certaine importance est un signe ça c'est ce qu'on fait dans la direction dx mais on peut tout à fait faire ça aussi dans la direction de la variable y en fait clairement on pourrait faire ça dans n'importe quelle direction du plan mais comme tu imagines si je prends par exemple une variation dans cette direction là je peux la décomposer en une variation horizontal et une variation verticale c'est pour ça que ici on va prendre en fait deux directions privilégiées des variations dans la direction des x et des variations dans la direction d y donc en tout cas on peut tout à fait considérer une variation dans la direction d y est dans ce cas là parce qu'on va écrire c'est df sur des y voilà pour dire qu'on fait une variation de la variable y et ça comme tout à l'heure on peut l'évaluer ici en un point dans celui ci par exemple 1 2 et du coup ça on peut l'interpréter exactement de la même manière c'est à dire que ici je vais vous faire un petit variations de la variable y un donc dans la direction de y voilà tout petit infinitésimale comme tout à l'heure donc ici je vais l'écrire comme ça et puis je peux constater l'effet de cette variations infinitésimales de la variable y sur la droite l'ibérique et disons par exemple que cette variation de la variable y a une plus grande influence sur les variations de la fonction et du coup voilà par exemple on obtient ici cette variation là sur la fonction f donc ça serait un df aussi qui induit par cette variations infinitésimales des de la variable y alors ça on appelle ça des dérivées partielles puisqu'en fait ici on regarde une variation dans une direction donnée ici aussi dans une autre direction donnée alors on va voir tout à l'heure comment calculer effectivement des dérivées partielles et quand même quelque chose avant ça qu'il faut savoir c'est que on utilise en fait pas cette notation là on utilise une autre une notation qui est celle ci je vais te la donne est tout de suite c delta f sur delta x donc ça c'est un petit delta un tel un minuscule tu vois ça fait penser à ceux des convard courbet un petit peu et donc ça c'est pour celle ci et l'autre c'est delta f sur delta y voilà alors la raison de ce changement de notation c'est que ce sont des dérivés différente de celle qu'on calcule dans le cas d'une fonction d'une seule variable qui n'explique chacune qu'en partie les variations de la fonction f bon maintenant on va essayer de calcul et quelques dérivées partielles enfin pour cette fonction là donc je vais enlever ça parce que je pense que ça servira plus à rien ça aussi ça fait un peu de place et maintenant ce que je vais faire donc on va essayer de calculer la dérivées partielles de f par rapport à x comme ça voilà calculé dans ce point là donc le point de coordonner 1 2 alors ici à quelque chose de très important comprendre c'est que si je fais un déplacement juin une variation de la variable dans la direction des x en fait lors données du point ne va pas changer donc ici le y va rester constante on peut le traiter comme une constante y sera toujours égale à 2 donc ce que je vais faire en fait déjà ses jeux peut réécrire cette expression là en remplaçant y par deux donc ce que je dois calcul et finalement c'est la dérive et par rapport à x du christ a comme ça de la fonction f mais avec y égal 2 alors je vais remplacer y par deux ici donc x au carré x 2 donc je vais l'écrire comme ça 2x au carré plus sinus deux de plus in us 2 2 bon ici il faut quand même garder l'indication qu'on va évaluer cette dérive est là au point x égal 1 donc ça je vais le noter comme ça pour x égal à 1 est donc maintenant on doit dérivés par rapport à hic cette expression là qui ne dépend que de x donc on fait ça exactement comme dans le cas d'une fonction d'une seule variable ça c'est une fonction d'une seule variable donc je vais le dérivé alors ça va donner la dérive et de 2,6 au carré par rapport à x c'est-à-dire 4x 4x plus la dérive et de sinus de 2 par rapport à aix innus de deux ici c'est une constante donc sa dérive est nuls donc ce que j'obtiens finalement c'est ça 4 x que je dois évaluer en x égal 1 donc finalement j'obtiens 4 va faire exactement la même chose avec la dérivées partielles de f par rapport à y qui s'écrit comme ça dérivées partielles de f par rapport à y on va l'évaluer au point de coordonner 1,2 et ici ben en fait je fais une variation dans la direction des grecs ce qui veut dire que c'est x qui reste constant et qui reste égal à 1 donc ça ça me donne en fait ça revient à calculer la dérivées partielles par rapport à y de cette fonction là où je vais remplacer x par un donc je vais avoir un au carré fois y ça ça fait y plus sinus de y et comme tout à l'heure ici je devais calculer cette dérive est là pour y égal 2 alors là comme tout à l'heure puisque x est resté constant là je me retrouve avec une fonction d'une seule variable qui y est que je dois dérivés par rapport à y donc ça je le fais comme d'habitude alors je vais dérives et y par rapport y ça ça me donne un plus la dérive et de sinus de y par rapport y ça c'est caussinus de y voilà donc je me retrouve avec cette expression là que je dois y avait évalué en y égal 2 donc ça ça me donne un plus caussinus 2 2 bon ça évidemment je vais la laisser comme ça parce que je sais pas quelle est la valeur de cosinus de deux tu peux le faire à la calculatrice mais ça c'est la valeur exacte c'est bien de la laisser comme ça voilà donc là on a calculé les dérivées partielles de la fonction en un point précis de coordonnées 1 2 en fait par analogie si tu veux on aurait calculé le nombre dérivés d'une fonction en un point précis et ce qui nous intéressera plus en général ces deux n'ont pas de calculer ça pour une valeur précise pour un point précis mais de trouver des formules générales qui vont donner les dérivées partielles pour n'importe quel point de coordonnées x y alors comment est ce qu'on peut faire ça on va faire exactement la même chose sauf que au lieu de donner une valeur à la variable x où la variable y il suffira de faire semblant qu'elle est constante ça je vais effacer tout ça voilà mais ça aussi et donc maintenant ce que je vais essayer de déterminer c'est une expression général de la fonction dérivées partielles de f par rapport à x donc calculé en 1.2 coordonnées x y est ce que je viens de te dire tout à l'heure c'est que en fait on va procéder exactement comme on l'a fait ici on dérive par rapport à x donc on fait varier x c'est-à-dire que y reste constante donc il suffit de regarder cette expression là mais en imaginant que y est une constante donc si tu veux je peux écrire ça comme ça pour que ce soit encore plus claire maintenant ce que je vais faire ses calculs et la dérivées partielles par rapport à x de cette fonction là alors je vais la ré écrire mais je vais utiliser des couleurs x au carré x y plus sinus de y alors je mets des couleurs justes pour qu'on on comprenne bien que ce qui est en rouge en fait c'est une constante il faut qu'on le considère comme une constante donc ici comme tout à l'heure on se retrouve avec une fonction d'une seule variable en fait puisque la seule variable cx donc maintenant je peux continuer en appliquant les règles de dérivation que je connais pour les fonctions d'une seule variable de la dérive et 2x au carré x y par rapport à x donc cx la variable et bien c'est 2 x x y et puis ensuite je dois ajouter la dérive et de sinus de y mes sinus de y c'est une constante puisque y on doit le supposé constants donc ça ça me donne zéro alors on va faire exactement le même travail pour trouver une expression de la dérivées partielles de f par rapport à y au point de coordonnées x et y quelconque et pour ça je vais dire que c'est la dérive et partielle par rapport à y cette fois-ci de cette fonction là et là je vais faire comme tout à l'heure et comme on dérive par rapport à y il faut qu'on suppose que x et constant donc ici x au carré c'est une constante ensuite j'ai la variable y plus sinus 2 y voilà et donc je me retrouve une fois encore avec une fonction d'une seule variable c'est la variable y est je dérive ça par rapport à y donc je vais d'abord dérivés x au carré fois y par rapport à y est ça me donne x au carré puisque c'est la dérive et de une constante x y donc c'est juste la constante qui reste ensuite je dois ajouter la dérive et de sinus y par rapport à y ça c'est caussinus y voilà hélas j'obtiens une expression de la dérivées partielles de f par rapport à y une fois que j'essaie deux expressions là quel que soit le point de coordonnées x et y je peux en calculer les dérivées partielles voilà donc tu vois c'est pas si compliqué que ça en fait vraiment l'idée c'est que tu dois calculé dérivées partielles par rapport à x il faut que tu supposes que y est constante et si tu doit calculer dérivées partielles par rapport à y tu doit fixer x donc la considérer comme constante