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Cours : Secondes professionnelles > Chapitre 13

Leçon 8: Factorisation d’expressions littérales

Diviser un monôme par un autre monôme

Google Classroom

Comment obtenir la décomposition maximale d'un monôme et le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme.

Les prérequis

Un monôme est une expression de la forme

a x^{n}

ou a est un nombre réel et

n

un entier naturel. Exemple :

3 x^{2}

. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple :

3 x^{2} + 6 x - 1

A = B \times C

, alors

B

C

sont des diviseurs de

A

, et

A

est divisible par

B

et par

C

. Reportez-vous éventuellement à la leçon Divisibilité d'un polynôme par un autre.

Le sujet traité

Dans cette leçon on va apprendre à décomposer un monôme en un produit de facteurs. Pour cela on va s'aider de ce que l'on sait déjà de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.

Qu'est-ce que décomposer un monôme ?

Décomposer un monôme consiste à l'écrire sous forme d'un produit d'au moins deux monômes.

Voici, par exemple, plusieurs décompositions possibles du monôme

8 x^{5}

$8 x^{5} = (2 x^{2}) \times (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) \times (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) \times (2 x) \times (2 x) \times (x^{2})$ ‍

On peut vérifier qu'en effectuant les produits donnés on retrouve bien

8 x^{5}

Une question

On a demandé à trois élèves, André, Ahmed et Arthur de décomposer le monôme

20 x^{6}

en un produit de deux monômes. Voici leurs réponses :

André			Ahmed			Arthur
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) Quels sont ceux qui ont donné une réponse exacte ?

Pour vérifier l'exactitude des réponses d'Arthur, d'Ahmed et d'André il suffit d'effectuer les produits.

On effectue le produit

(2 x) (10 x^{5})

pour vérifier la réponse d'André :

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \times 10 \times x \times x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

André a donné une réponse exacte.

On effectue le produit

(4 x^{3}) (5 x^{3})

pour vérifier la réponse d'Ahmed :

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \times 5 \times x^{3} \times x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Ahmed a aussi donné une réponse exacte.

On effectue le produit

(20 x^{2}) (x^{3})

pour vérifier la réponse d'Arthur :

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \times x^{2} \times x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

La réponse d'Arthur est inexacte.

André et Ahmed ont tous les deux donné une réponse exacte.

Décomposer un monôme au maximum

Rappel : décomposition d'un entier

Tout nombre entier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.

Par exemple

30 = 2 \times 3 \times 5

Et maintenant les monômes...

Pour décomposer au maximum un monôme, on décompose le coefficient numérique en un produit de facteurs premiers ET on écrit la partie littérale sous forme d'un produit de facteurs d'exposant égal à

1

Par exemple pour trouver la décomposition maximale du monôme

10 x^{3}

,on commence par décomposer le coefficient

10

en un produit de facteurs premiers

2 \times 5

puis on écrit

x^{3}

sous forme du produit

x \times x \times x

. Donc la décomposition maximale de

10 x^{3}

est :

$10 x^{3} = 2 \times 5 \times x \times x \times x$ ‍

À vous !

2) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de $6 x^{2} ?$ ‍

3) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de $14 x^{4} ?$ ‍

Retrouver le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme

Rappel : décomposition d'un entier

On sait qu'un entier

b

vérifie

56 = 8 b

. Comment trouver

b ?

Tout simplement en divisant

56

par

8

. On obtient

b = 7

Et maintenant les monômes...

On peut faire la même chose avec les monômes. Si, par exemple, on sait que le monôme

C (x)

est tel que

8 x^{5} = 4 x^{3} \times C (x)

on peut trouver

C (x)

en divisant

8 x^{5}

par

4 x^{3}

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = 4 x^{3} \times C (x) \\ on divise les deux membres par 4 x^{3} : \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{4 x^{3} \times C (x)}{4 x^{3}} \\ on simplifie : 2 x^{2} & = C (x) \end{aligned}$ ‍

On vérifie en montrant que le produit de

4 x^{3}

par

2 x^{2}

est bien égal à

8 x^{5}

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \times 2 \times x^{3} \times x^{2} = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

À vous !

4) Trouver le monôme $B (x)$ ‍ tel que :

28 x^{5} = 7 x \times B (x)

4) Trouver le monôme $C (x)$ ‍ tel que :

40 x^{9} = (4 x^{3}) \times C (x)

C (x) =

Unicité de la décomposition maximale

Il existe plusieurs façons de décomposer

12

sous forme d'un produit de nombres entiers. En voici des exemples :

$12 = 2 \times 6$ ‍
$12 = 3 \times 4$ ‍
$12 = 12 \times 1$ ‍
$12 = 2 \times 2 \times 3$ ‍

Mais la décomposition de

12

en un produit de facteurs premiers est unique et c'est

2 \times 2 \times 3

C'est la même chose pour les monômes. Il existe plusieurs façons de décomposer

18 x^{3}

en un produit de monômes. En voici quelques exemples :

$18 x^{3} = 2 \times 9 \times x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \times 6 \times x \times x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \times 3 \times 3 \times x^{3}$ ‍

Mais il n'y a qu'une décomposition maximale !

18 x^{3} = 2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x

Un dernier exercice

6) Trouver la décomposition maximale de $22 x y^{2}$ ‍.

22 x y^{2} =

Cette expression contient plusieurs variables. Cependant, on peut utiliser les mêmes méthodes que celles utilisées ci-dessus pour trouver sa décomposition maximale.

Ici il est important de voir que

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

Pour trouver la décomposition maximale de

22 x y^{2}

, on décompose

22

2 \times 11

et on écrit

y^{2}

sous la forme

y \times y

. Le facteur

x

est déjà écrit avec un exposant égal à

1

$22 x y^{2} = 2 \times 11 \times x \times y \times y$ ‍

7) L'aire du rectangle est égale à

24 x^{3}

mètres carrés et sa longueur est égale à

4 x^{2}

mètres.

Quelle est sa largeur $l$ ‍ ?

l =

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jeanchristophe13
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de jeanchristophe13 «La réponse Ahmed, André e ... »
La réponse Ahmed, André est marquée fausse par erreur.
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Merci de l'avoir signalé ... »
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