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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 10

Leçon 6: Calculer une intégrale définie

Analyser des problèmes faisant intervenir des intégrales

L'interprétation des intégrales définies comme la somme des variations d'une grandeur nous permet de résoudre différents problèmes concrets.

Les problèmes d'accumulation (ou somme de variations) sont des problèmes concrets dans lesquels le taux de variation instantané d'une quantité étant donné, il faut trouver la valeur de la quantité accumulée sur une période donnée. Nous résolvons ces problèmes en utilisant les intégrales définies. Voyons comment procéder.

Les problèmes relatifs à la somme des variations sont résolus à l'aide d'intégrales définies.

On vous donne la situation suivante :

La température d'une soupe mise à réchauffer augmente à un taux $r$ ‍ défini par la fonction $r (t) = 30 e^{- 0, 3 t}$ ‍ dégrés par minute (ou $t$ ‍ est le temps exprimé en minutes). À $t = 0$ ‍ (au moment où on commence à réchauffer la soupe), la température de la soupe était de $23$ ‍ degrés.

Supposons qu'il vous est demandé de déterminer l'augmentation totale de la température entre $t = 0$ ‍ et $t = 5$ ‍ minutes. Comme la fonction modélise un taux de variation instantané d'une quantité, son intégrale sur un intervalle fini représente une somme des variations de la quantité. On additionne les variations de cette quantité sur un intervalle de temps donné.

Pour toute quantité dont le taux de variation instantané est

r

, l'intégrale définie

\int_{a}^{b} r (t) d t

correspond à la variation totale de cette quantité entre

t = a

t = b

Donc, ici, l'augmentation totale de la température entre

t = 0

t = 5

minutes est déterminée par

\int_{0}^{5} r (t) d t

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77, 7

degrés

Supposons à présent qu'il vous est demandé de déterminer la température de la soupe au bout de cinq minutes ( $t = 5$ ‍). On ne cherche plus à une variation mais la valeur observée de la température de la soupe au bout de

5

minutes. Pas de problème ! Vous pouvez répondre à cette question à l'aide de l'intégrale définie, il ne vous manque que la valeur de la température de la soupe à

t = 0

, la valeur initiale.

Dans l'énoncé, il est dit que la température de la soupe avant de la réchauffer, à

t = 0

, était de

23

degrés. Si on additionne cette valeur initiale et la variation de la température entre

t = 0

t = 5

, on obtient la température à

t = 5

\underset{température à t = 0}{\underset{⏟}{23}} + \overset{variation de la température de t = 0 à t = 5}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

En remplaçant

\int_{0}^{5} r (t) d t

par sa valeur calculée à l'étape précédente, on peut en déduire la température de la soupe à

t = 5

minutes :

23 + 77, 7 = 100, 7

degrés. C'est chaud bouillant !

Exercice 1

Soit le problème suivant :

La population d'une ville croît au taux de $r (t) = 300 \times e^{0, 3 t}$ ‍ personnes par an ( $t$ ‍ désigne le temps exprimé en années). À $t = 2$ ‍, la population de la ville était de $1 200$ ‍ habitants. Déterminer le nombre d'habitants de cette ville à $t = 7$ ‍.

Quelle expression pouvons-nous utiliser pour résoudre le problème ?

Erreur fréquente : utilisation inappropriée de la condition initiale

Il vous est parfois demandé de calculer la variation totale dans un intervalle de temps. D'autres fois, vous devez déterminer la valeur observée à un instant donné et dans ce cas seulement, vous devez prendre en compte la valeur intiale.

Une erreur fréquente est de prendre en compte la valeur initiale dans le calcul d'une somme de variations ou de ne pas la prendre en compte dans le calcul d'une valeur observée.

Erreur fréquente : utiliser la dérivée de la fonction au lieu de l'intégrale

Les problèmes d'application sont courants dans le calcul différentiel et intégral. Lorsqu'on nous donne un problème, nous devons décider si la solution implique des dérivées ou des intégrales. Une mauvaise décision se traduira bien sûr par une mauvaise réponse.

Les dérivées sont utilisées si une grandeur est modélisée par une fonction $f (x)$ ‍ et que l'on doive déterminer son taux de variation instantané en un point $a$ ‍ : $f^{'} (a)$ ‍. Les intégrales sont utilisées si un taux de variation d'une grandeur est modélisé par une fonction $f (x)$ ‍ et que l'on doive déterminer la valeur observée de la grandeur à un instant donné, ou la somme des variations entre deux valeurs $x = a$ ‍ et $x = b$ ‍ : $F (b) - F (a)$ ‍.

	Ce qui est donné	Ce qui est cherché	Ce qu'il faut utiliser
Calcul différentiel	Quantité	Taux	Dérivée
Calcul intégral	Taux	Quantité (ou variation de la quantité)	Intégrale

Exercice 2

Soit le problème suivant :

Le niveau d'eau, dans un réservoir qui fuit, diminue à la vitesse $r (t) = 0, 3 t$ ‍ centimètres par minute (où $t$ ‍ représente le temps en minutes). Quand le réservoir commence à fuir (à $t = 0$ ‍), le niveau d'eau est de $35$ ‍ centimètres. Quelle sera la variation du niveau de l'eau durant la quatrième minute ?

Quelle expression pouvons-nous utiliser pour résoudre le problème ?

Erreur fréquente : mauvais choix de l'intervalle d'intégration

Comme vous venez de le voir, le choix de l'intervalle d'intégration correct est crucial pour obtenir la réponse exacte. Assurez-vous de ne pas choisir les mauvaises bornes, en particulier pour la borne initiale.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire cet exercice.

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