Distribution d'échantillonnage de la moyenne de l'échantillon : leçon

Voici le type de problème que vous pourriez rencontrer où vous devez utiliser la distribution d'échantillonnage d'une moyenne d'échantillon.

Exemple : Moyenne d'échantillon et contrôle de qualité

Un contrôleur de qualité dans une usine automobile doit vérifier l'épaisseur de la peinture de différentes pièces de la voiture. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, l'épaisseur de la couche de peinture d'une pièce est une variable aléatoire de moyenne

2 mm

et d'écart-type

0, 5 mm

et dont la courbe de distribution de fréquence est étalée à gauche (asymétrique à droite).

Le contrôle de qualité consiste à prendre aléatoirement

100

points de cette pièce et à calculer l'épaisseur moyenne de cet échantillon.

Calculer la probabilité que l'épaisseur moyenne de peinture sur l'échantillon de $100$ ‍ points soit comprise dans l'intervalle $[μ - 0, 1; μ + 0, 1]$ ‍.

Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.

Étape 1 : loi de la variable aléatoire d'échantillon

Quelle est la forme de la courbe de la distribution de l'épaisseur moyenne de l'échantillon $?$ ‍

Étape 2 : Calcul de la moyenne et de l'écart-type de la distribution d'échantillonnage

La distribution d'échantillonnage de moyennes

\bar{X}

admet comme moyenne et comme écart-type :

\begin{aligned} μ_{\bar{X}} & = μ \\ σ_{\bar{X}} & = \frac{σ}{\sqrt{n}} \end{aligned}

Note : Cette formule s'applique si on peut considérer le tirage au hasard des

n

individus de l'échantillon parmi

N

individus de la population comme un tirage avec remise, c'est-à-dire si les individus formant l'échantillon sont tous prélevés indépendamment les uns des autres. L'indépendance est admise si

n / N < 1 / 10

ou encore si la taille de l'échantillon est inférieure à

10 %

de la taille de la population.

Question A (Partie 2)

Quelle est la moyenne de la distribution d'échantillonnage de moyennes $\bar{X}$ ‍ $?$ ‍

μ_{\bar{X}} =

mm

Question B (Partie 2)

Quel est l'écart-type de la distribution d'échantillonnage de moyennes $\bar{X}$ ‍ $?$ ‍

σ_{\bar{X}} =

mm

Étape 3 : Calcul de la probabilité cherchée

Calculer la probabilité que l'épaisseur moyenne de peinture sur l'échantillon de $100$ ‍ points soit comprise dans l'intervalle $[μ - 0, 1 e x t; μ + 0, 1]$ ‍.

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