Défi trigonométrique : système d'équations avec un paramètre

quel est le nombre de valeurs possibles teta dans l'intervalle 0 pis pour lequel le système d'équations celui ci admet une solution x0 y 070 avec y 0 x 0 différentes 0 alors là ça peut faire un petit peu peur parce qu'effectivement le système qu'on nous propose ici est très compliqué déjà bon ce qui est important de bien voir c'est que on cherche en fait l'intersection de trois surfaces ici chaque équation représente une surface bidimensionnel dans un espace à trois dimensions donc les inconnues de ce système c'est x y et z mais on nous demande pas de résoudre ce système nous demandent en fait de déterminer les valeurs possibles de teta pour lequel ce système va avoir une solution c'est pas du tout la même chose alors autre chose ce que si tu veux pour te simplifier la vie tu pourrais faire un changement de variables et par exemple poser que hu est égal à 3 teta remplace étroite est apparu ça simplifie un petit peu l'écriture mais ça pas tellement d'intérêt en soi donc ça je vais pas le faire ce que je vais faire par contre c'est regarder ce système ce que je peut remarquer déjà c'est que dans la première et la troisième équation en fait j'ai la même chose d'un côté du signe égal x y z fois sinus 3 teta que je retrouve ici et là donc ça ça va déjà être intéressant et puis autre chose c'est que dans cette équation l'ag des fractions et ça c'est pas très pratique alors je vais essayer de me débarrasser des fractions et pour ça je peux par exemple je peux x y z où je vais le faire je vais multiplier des deux côtés pas y z donc à gauche je vais avoir y z x x x sinus droite et à ce qui est pas mal parce que je retrouve encore une fois ce terme là et puis de l'autre côté alors ce terme là je vais avoir deux fois caussinus 3 teta x y z / y donc ici les grecs vont simplifier et je vais avoir un z là ensuite ce terme là je vais avoir deux fois y z sinus 3 teta / z les aides vont se simplifier et je vais avoir un y alors je vais réécrire ce système en utilisant des couleurs pour chaque équation donc là la première je vais la réécrire comme ça x y z sinus 3t tard égale y plus z fois caussinus 3 teta deuxième je vais la réécrire comme ça x y z sinus 3 teta je leur ai écrit avec les modifications que je viens de d'exécuter tout à l'heure donc ça me donne deux aides fois caussinus 3t tard + 2 y x sinus 3 tu es tu as et enfin la dernière je l'écris renvers x y z fois sinus 3 teta égal alors j'ai y plus deux aides fois caussinus droite état + 2 y sinus trois étapes pardon c'est pas plus d'eux y c'est plus y x sinus 3 teta je me suis trompé en recopiant donc c'est voilà c'est comme ça alors là on voit peut-être un petit peu mieux ce qu'on veut on peut faire une fois qu'on a écrit le système comme ça puisque en fait on a trois expressions de la même quantité x y z fois sinistre watts et a donc je vais pouvoir combiner des choses alors ici par exemple je peux essayer de combiner la deuxième et la troisième équation ça va être pas mal ça puisque ici j' y plus de z cause trois étalages et deux aides cooke aus 3 teta et ici j'ai deux y sinus 3t tard et ici y sinus 30 étages vais faire ça je vais combiner la deuxième et la troisième donc ça me dit que deux fois z caussinus trois états + 2 y sinus 3 têtards est égal à alors je vais et réécrire ce que cette expression là mais on la développe ans y caussinus 3 teta plus deux aides deux aides caussinus 3 teta plus y sinus droite et à l'ag juste réécrit ça en développant alors là j'ai des termes que je peux éliminer puisque j'ai deux aides cause trois teta ici de z causse 3t thala et puis j'ai 2 y sinus 3 teta et un y s'illustre watts et a donc je vais pouvoir soustraire y s'illustre watts et à des deux côtés et j'obtiens cette équation là que je vais maintenant écrire en blanc y sinus 3 teta égale y caussinus 3 tu es tu as et donc on obtient une relation intéressante et est ce qui est important c'est qu'on nous précise dans l'énoncé que l'on cherche des solutions de ce système là dont le produit y 0 x 0 doit être non nul ce qui veut dire que l'ordonné x la cote et non nul donc l'ordonné y des solutions de ce système ne doit pas être égal à zéro donc ici on peut diviser par y est on obtient sinus droite état égale caussinus trois états donc ça c'est une première contrainte sur les valeurs de teta pour que ce système là est une solution il faut que sinus 3t taille soit égal à caussinus droite et a alors là on peut réfléchir sur les valeurs de teta qui satisfont cette équation moi je préfère même / caussinus 3 teta je vais l'écrire comme ça en fait tangente 3 teta égal 1 oui si g / caussinus 3 teta des deux côtés ça peut te faire peur puisque on peut risquer de / 0 mais en fait c'est pas possible puisque le cosinus et le sinus d'un angle ne peuvent pas être égal à zéro en même temps donc ça c'est possible on obtient cette relation la tangente droite et à égal 1 alors je vais faire mon cercle trigonométriques pour me rappeler de face et déterminer les valeurs de teta qui satisfont ça alors sur le sac trigonométriques la tangente d'un angle en fait c'est la pente de la droite donc si je met par exemple ce point ici j'ai cette droite là et effectivement la tangente donc le cosinus c'est l'abscisse de ce point et le sinus sela 6-2 ce point et la tangente c'est la pente de cette droite là donc si je la prolonge ici voilà donc on cherche les angles teta ici enfin l'angle droite et a plutôt dans notre cas tels que la tante de cette droite là est égal à 1 donc notre droite c'est la bissectrice de ce cadran ou de ce cadran si tu préfères et donc finalement ce qu'on peut avoir comme point c'est celui là pour un angle ici de pi sur 4 ou ce point là qui un angle deux pistes sur quatre puces pis donc en fait ici nos solutions c'est les angles trois états qui sont égaux api sur quatre plus un multiple de pi donc plus n fois puis je vais l'écrire comme ça on peut dire aussi droite et à égal puis sur quatre modules opi mais là je vais l'écrire comme ça tu vas voir que ça va nous être utile donc maintenant je vais / 3 des deux côtés et j'obtiens teta égale pis sur 12 plus n pis sur trois et je vais mettre ça absurde use pour pouvoir additionner enfin réduire la fraction donc je vais multiplier en haut et en bas par quatre ça va me donner puis sur 12 + 4 x n fois puis sur 12 et donc je vais l'écrire comme sa c 4 x n + 1 fois pis sur 12 voilà tu prends n'importe quelle valeur entière de n 1 n est un nombre relatif n appartiens à z on anti relatif donc si tu prends n'importe quel entier relatif et que tu remplaces ici dans cette valeur là tu obtiens un angle tels que tangente de trois fois cet angle est égal à 1 alors nous on a la contrainte supplémentaire qui est que notre angle doit être compris entre zéro et pire donc ici je vais regarder ce que j'ai comme angle alors si je prends une valeur de haine négative ici je vais avoir un angle négatif inférieures à zéro donc ça va pas être possible donc je vais regarder pour n égale zéro pour n égale zéro binger l'angle pis sur 12 pour n égale 1 j'ai 5 pi sur 12 5 pi sur 12 et puis pour n égale 2 j'ai 9 pi sur 12,9 pu sur 12 et je m'arrête là parce que la valeur d'après ça serait pour n égale trois ça serait très spi sur 12 qui est plus grand que pi donc ça c'est mes mes valeurs acceptables de pie et j'en ai 3 g iii valeur acceptable de pi donc voilà à priori j'ai au maximum trois valeurs possibles de teta pour lequel ce système d'équations va avoir une solution maintenant il faut quand même vérifier s'il n'y a pas d'autres contraintes qui viendraient éliminer une de ces valeurs là alors pour ça je vais par exemple regarder la première et la troisième équation va voir ce que ça me donne donc je vais écrire cette expression là en développant donc ça c'est la première et la troisième équation alors j'ai y caussinus 3t tard plus z caussinus 3 teta qui est égal à alors en dessous j'ai cette expression là que je vais redévelopper y caussinus 3 teta plus de z caussinus 3 teta on l'a déjà fait tout à l'heure plus y sinus 3 teta alors je vais voir si j'ai des simplifications j' y caussinus 3 teta ici y caussinus 3t thala ensuite j'ai z caussinus 3 thêta ii z caussinus droite et a donc je peux en soustraire z caussinus 3t tas de chaque côté et j'obtiens cette équation là qui est une seconde contrainte z caussinus 3 teta plus y sinus 3 teta égal 0 alors ben là il faut arriver à se débrouiller un petit peu puisque ici j'ai une équation qui est un peu difficile à déterminer en termes de contraintes mais par contre ce que je peut remarquer sexy je multiplie tout par deux je vais tout multiplié par 2 donc ça va me donner deux fois z caussinus 3 tu est à + 2 x y sinus 3 teta égal zéro et là en fait j'obtiens cette deuxième équation donc finalement si ça c'est égal à zéro et bien x y z sinus 3 teta est égal à zéro alors qu'est ce qu'on peut dire de ça on a vu que pour ces valeurs là sinus 3t taille n'est pas égal à zéro on sait aussi que y et z sont tous les deux non nul mais ça c'est quand même possible parce que x pourrait très bien être égal à zéro on n'a aucune contrainte sur la valeur de x sur l'app six de nos points d'intersection donc ça c'est tout à fait possible en fait c'est pas une contrainte supplémentaire pour la valeur de têtards donc finalement notre réponse c'est bien celle qu'on avait donné tout à l'heure il y a trois valeurs possibles de teta pour lequel ce système admet une solution avec cette contrainte la supplémentaire et on a même dit plus que ce qui était demandé puisqu'on a donné les trois valeurs en question de l'état