Oscillateur harmonique : Grandeurs caractéristiques

on va revenir une dernière fois sur nos histoires de ressort donc je rappelle l'exercice on avait un ressort qui est posé sur une surface qui n'est pas représentée ici et ce resort est attaché un muret à une masse de l'autre côté on étire le ressort par rapport à sa position d'équilibré sa longueur d' équilibre donc on amène cette masse en a et on a vu dans une première vidéo comment faire pour deviner la forme de la courbe de la position de x en fonction du temps et cette masse des places entre une position à et moins a comme ceux ci selon une sinusoïde halle et on avait plus ou moins deviner la forme de cette fonction x de thé comme étant à la fois caussinus d'un facteur x tu es et dans une deuxième vidéo on avait établi une équation différentielle du mouvement de la masse donc l'équation différentiel de x en fonction du temps pour pouvoir déterminer le coefficient ici qui étaient à l'intérieur de la parenthèse par lequel on multiplie y était et donc dans cette vidéo on va arrêter les équations différentielles enfin s'intéresser à la période est aussi à la fréquence on va essayer de déterminer la période d'oscillation de ce resort puisque finalement c'est ce qui est fait cette masse grâce à son ressort elle oscille autour d'une position d'équilibré on va déterminer donc cette période et on va parler aussi un petit peu de dimension alors la première question à se poser pour pouvoir déterminer la période ça va être de savoir à quel moment le cosinus de teta est égal à 1 pourquoi parce qu'on va s'intéresser simplement au caussinus et ensuite on a le coefficient multiplicateur à mais lorsque le cosinus est égal à 1 on se trouve en x est égal à a d'accord on est un ces points-là donc bien évidemment caussinus 2 0 c'est égal à 1 donc cité-etat est égal à zéro on a caussinus 2 0 qui est égal à 1 mais si tu fais un tour complet du cercle trigonométriques tu vas retourner à caussinus de teta qui est égal à 1 et le tour complet correspond à 2 pi donc on va avoir et à qui va être égal à 2 pi et caussinus de de pigalle à 1 et ainsi de suite 4 pi et c'est d'accord avec à chaque fois en ajoutant depuis on appelle çà mau du lot de pi2 pisser la période d'oscillations du coup sinus de la fonction caussinus t ça va être la période qui correspond au temps pour lequel x est égal à a autrement dit je vais leur écrire comme ceci pour être un peu plus clair x2 grant et est égal à a donc pour que x de grands et gala il faut caussinus de racines de cassure m x t soit égal à 1 donc racine de cassure ème fois tu es est égal à 2 pi pour tes est égal à grant et donc on va réécrire sa comme ceux ci at et donc petit et est égal à grant et ça implique que caussinus caussinus de racines de cas sur m x grant et est égal à 1 c'est équivaut à dire que ça équivaut à dire que racine de cas sur m x grant et est égal à 2 pi parce qu'on connaît la fonction caussinus donc maintenant il suffit de faire une juste une opération tout simple et d'écrire que on a grand est qui est égal on multiplie par l' inverse de racines de cassure m donc autrement dit racines de m sur cas et on obtient que grant est égal 2 pi depuis x racines de m / k et voilà on a obtenu tout simplement la période d'oscillation de notre ressort et qui dépend simplement de la masse donc de la masse qui est attaché à notre sort et la constante de raideur de notre sort qu'à et donc lorsqu'on lâche la masse qu'on étire notre sort et qu'on lâche la masse depuis une position à il faut de pie x racines 2ème sûr qu'à secondes pour que la masse reviennent en sa position initiale à c'est le temps qu'il faut pour que la masse reviennent dans sa position mais c'est pareil si on lâchait en moins assez le temps qu'il faudrait pour que la masse reviennent une position - a donc c'est une période complète de notre fonction ici qui est une fonction périodiques alors à partir de la période on peut déterminer une deuxième grandeur intéressante c'est la fréquence la fréquence fff qu'est ce que c'est et bien la fréquence est tout simplement un / thé la fréquence on va être bien clair la fréquence est une grandeur qui nous donne le nombre de cycles une oscillation complète on va appeler ça un cycle c'est le nombre de cycles par seconde donc la dimension l'unité de fc 1 / un temps donc c'est un temps moins un cycle par seconde 6 c'est pas une unité physique un cycle c'est une oscillation mais s'il n'y a pas d'unité physique c'est pas une grandeur donc la grandeur de l'unité de la fréquence c'est des seconds - 1 tout simplement tandis que la période est bien c'est le temps nécessaire pour faire pour faire un cycle donc comme cdu comme si une unité de temps et bien c'est des seconds donc on voit bien que relater en seconde et f en seconde - on divise simplement par un sûreté donc pour avoir la fréquence on va prendre linverse de la période autrement dit 1 / 2 pi x linverse 2ème sûr qu'à soi qu assure m et on peut noter une chose maintenant c'est que aussi bien la période que la fréquence sont indépendants de l'amplitude à c'est-à-dire sont indépendants de l'écartement initiale du ressort par rapport à sa position d' équilibre donc ici on a juste une un téké dépens de m et deux cas ça dépend uniquement de la masse de l'objet qui attachés aux ressorts et de la constante de raideur ça veut dire que si on admet que les tiny un instant initial on avait déplacé la masse à une grandeur mettons b eh bien je ressors aurait oscillé entre b et moimbé on avait une courbe qui ressemblerait à ça voilà en gros donc avec un ressort qui oscille entre la position b et moimbé mais une période qui reste la même donc bon en soi c'est assez récent c'est pas nécessairement intuitif bon et puis on va essayer de finir cette vidéo assez rapidement maintenant parce que je voudrais pas donc donner trop d'informations je voudrais qu'on puisse déterminer l'unité de cas l'unité de car on n'a pas parlé tellement d'unités sauf quelques périodes de fréquences on va réfléchir aux unités autour de l'équation de x alors x qu'est ce que c'est x c'est une longueur c'est une unité de longueur puisque c'est une position sur un axe c'est on va prendre unités du système international les mettre d'accord donc x 7 ans m qu'est ce qui porte la longueur dans l'expression de x à x caussinus de racines de cassure m x t et bien c'est à tout simplement à c'est ce qu'on a appelé l'amplitude et donc l'amplitude s'est positionné sur x c'est bien également m donc caussinus de racines de cassure ème fois tu es en soit tout le cosinus n'a pas d'unité puisque l'unité dans l'équation est déjà porté par a donc là il faut qu'on multiplie par quelque chose qu'ils aient 100 unités mais on va regarder ce qui en a un à l'intérieur et bien à l'intérieur on a quelque chose on a du temps qui est donc en seconde donc on va devoir pour ne pas avoir d' unité à l'intérieur du caussinus on va devoir multiplier t par quelque chose qui est en seconde - 1 pour pouvoir simplifier les seconds et donc ça veut dire je vais aller un petit peu vers le haut ça veut dire que racine de cas sur m c'est en seconde - 1 l'unité de racines de cassure m et en seconde manche et je connais l'unité de m unité de mi6 et une masse donc l'unité de masse c'est dans le système international le kg donc on va essayer de réfléchir on à racine de cas / m qui est en seconde - 1 sachant que m étant kg on va écrire une équation dimensionnelle c'est plus ou moins rigoureuse mais on va le faire quand même on a une unité l'unité de cas à la racine / des kilogrammes et c'est égal à des seconds ici c'est une équation avec des unités donc pour pouvoir avoir des seconds - 1 en face il faut ici qu'on ait des kilogrammes déjà puisque on va devoir simplifiée par des kilogrammes et on va avoir des seconds - deux en haut on va avoir des seconds - 2 pourquoi parce que quand on va prendre à la racine on va enlever le le 2 dont ça va devenir secondes - 1 et on veut secondes - un gala seconde moisan donc ça veut dire que l'unité de cas commencent à être un petit peu je vais changer de couleur l'unité de cas et bien cédé kg par seconde - 2 voilà il faut le savoir puisque à chaque fois quand on va donner des valeurs et bien on parle toujours d'unités faut être au courant des unités puisque on traite des problèmes physiques donc voilà comment est ce qu'on fait lorsqu'on oublie par exemple tu peux très bien oublié l'unité de la constante de raideurs ne pas obliger t'es pas obligé de la connaître finalement puisque avec une méthode très simple puisque si tu connais l'équation de x en fonction du temps tu c'est son expression qui vaut à foix caussinus de racines de cassure m x tu es et bien tu peux retrouver très simplement comme on vient de faire l'unité de cas finalement lorsqu'on y réfléchit bien les trois vidéos qu'on vient de voir et bien on a pratiquement tous retrouvés nous mêmes tout ça pour dire que il faut pas il n'est pas toujours nécessaire d'utiliser l'espace de son cerveau à tout mémoriser l'important c'est de pouvoir retrouver ces résultats retrouvé ses résultats à partir de l'intuition à partir de l'intuition comme on a vu s'imaginer le ressort aussi les à partir d'une équation différentielle qu'on a établi et à partir de résolution très simples comme quel moment le cosinus était égal à 1 trouver la période à partir de la fréquence et déterminer les dimensions à partir d'une simple analyse dimensionnelle en réfléchissant aux unités donc voila moi je voudrais que tu sois capable de pouvoir faire cette gymnastique entre toutes des noms dans toutes ces notions qui finalement sont pas tellement complexe et on a plein de grosses expression qui ne sont bien sûr pas apprendre par coeur mais il faut toujours être capable de les retrouver