Chacun sait qu'un objet de masse importante placé en hauteur représente une situation potentiellement dangereuse pour la personne qui passe en dessous. Cet objet peut cependant être bien calé, et donc ne représente pas nécessairement un danger. Ce danger existe si le support exerçant la force qui s'oppose à la gravité n'est pas fiable. En physique, pour quantifier l'énergie de cette masse en hauteur, on parle d'énergie potentielle de pesanteur.

On peut associer une énergie potentielle à chaque force conservative et la pesanteur ne déroge pas à la règle. L'énergie potentielle de pesanteur est généralement notée $E_p$‍. Il s'agit du travail qu'un objet peut fournir du fait de sa position dans un champ de pesanteur.

Prenons un objet de masse $m$‍ soulevé à une hauteur $h$‍, comme représenté ci-dessous. L'objet est soulevé à la verticale via un système de poulie et de corde. La force exercée pour soulever la boîte et la force de pesanteur, $F_g$‍, sont donc parallèles. Si $g$‍ est l'intensité de l'accélération de pesanteur, on peut déterminer le travail effectué par la force sur l'objet en multipliant l'intensité de la force de pesanteur, $F_g$‍, par la distance parcourue verticalement par l'objet, $h$‍. Ce calcul suppose que l'accélération de la pesanteur est constante sur la hauteur $h$‍.

Si on supprimait la force exercée pour soulever l'objet, il retomberait sur le sol et l'énergie potentielle de pesanteur se convertirait en énergie cinétique lors de la chute. Vous trouverez dans l'article sur la conservation de l'énergie quelques exemples de problèmes résolus grâce au principe de transformation de l'énergie potentielle de pesanteur en d'autres formes d'énergie.

Ce qui est intéressant avec l'énergie potentielle de pesanteur, c'est que son niveau de référence est arbitraire. En d'autres termes, on peut choisir librement n'importe quel niveau sur l'axe vertical comme point où $h=0$‍. Dans les problèmes de mécanique simples, on considère souvent comme point zéro le sol ou la surface d'une table, car c'est ce qu'il y a de plus pratique. Toutefois, on pourrait choisir n'importe quel point de référence, parfois appelé référentiel. L'énergie potentielle de pesanteur pourrait même être négative si l'objet passait en dessous du niveau de référence, mais ce n'est pas gênant. Il suffit de veiller à garder le même référentiel tout au long du calcul.

Exercice 1a : Quelle énergie électrique doit fournir le moteur d'un ascenseur de rendement global égal à 25 % pour soulever une personne de 75 kg sur une hauteur de 50 m ? On suppose qu'un contrepoids permet de maintenir la cabine d'ascenseur en parfait équilibre lorsqu'elle est vide.

Exercice 1b (question subsidiaire) : Quel est le coût du trajet de l'ascenseur sachant que le coût de l'électricité est de $0,10{\displaystyle \frac{\text{€}}{\text{kW}\cdot \text{h}}}$‍ ?

Exercice 2 : L'énergie potentielle de pesanteur est l'une des rares formes d'énergie que l'on peut stocker facilement en très grande quantité. Pour stocker l'énergie électrique excédentaire issue de la production solaire ou éolienne, il est nécessaire de pouvoir stocker de grandes quantités d'énergie, qui pourront ensuite être transférées vers le réseau électrique lorsque la demande sera plus forte. Pour cela, on utilise des installations de pompage-turbinage (voir l'exemple représenté ci-dessous). Ces centrales hydroélectriques sont aussi appelées STEP (stations de transfert d'énergie par pompage). L'eau est pompée dans un réservoir supérieur grâce à l'excédent d'énergie, qui alimente un moteur actionnant une pompe-turbine. Lorsque la demande énergétique est plus forte, le processus est inversé. La pompe devient un générateur alimenté par l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau stockée dans le réservoir supérieur. L'eau peut être libérée très rapidement et fournir la puissance nécessaire pour couvrir les pics de consommation électrique d'une ville entière, voire de plusieurs villes.

La centrale hydroélectrique du comté de Bath est la STEP la plus puissante au monde. Elle dessert 60 millions de personnes et peut produire jusqu'à 3 GW ${}^1$‍. La hauteur de chute, $h$‍, est de 380 m. On suppose que le système a un rendement énergétique global de 80 %. Quel volume d'eau du réservoir supérieur doit traverser la turbine sur une période de 30 minutes pour fournir à une ville 3 GW d'énergie sur cette durée ?

À l'échelle planétaire (grandes distances), on ne peut plus supposer que le champ de pesanteur est uniforme. Comme on l'a vu avec la loi de gravitation de Newton, la force d'attraction entre deux masses, $m_1$‍ et $m_2$‍, diminue avec le carré de la distance $d$‍ entre les deux. Si $G$‍ est la constante gravitationnelle, on écrit :

À l'échelle planétaire, on parlera plutôt d'énergie potentielle gravitationnelle. Il est d'usage de prendre l'infini comme niveau de référence à cette échelle. On fixe ainsi la valeur de l'énergie potentielle à zéro lorsque la masse est infiniment éloignée du champ gravitationnel, bien que cela puisse paraître étrange. Par ce choix arbitraire, toutes les valeurs d'énergie potentielle gravitationnelle deviennent négatives.

Mais, en fait, c'est logique, car lorsque la distance $d$‍ augmente, la force gravitationnelle tend rapidement vers zéro. Un corps près d'une planète sera retenu par la pesanteur et il y faudra beaucoup d'énergie pour le libérer de ce champ. Théoriquement, le corps est libéré seulement si $d=\mathrm{\infty }$‍. Or, puisque l'énergie potentielle gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance $d$‍, elle admet l'axe des abscisses pour asymptote. Ainsi, lorsque $d$‍ tend vers l'infini, l'énergie potentielle gravitationnelle tend vers zéro. Imaginons un vaisseau qui quitte la Terre, et qui serait à environ $5\cdot {10}^7$‍mètres au-dessus de la surface terrestre, soit l'équivalent de quatre fois le diamètre de la Terre. À cette hauteur, l'accélération due à la pesanteur vaut à peine 1 % de sa valeur à la surface de la Terre.

Sachant que le travail effectué est égal au produit de la force et de la distance, en multipliant la force gravitationnelle ci-dessus par la distance $d$‍, on peut simplifier un $d$‍ au dénominateur. Ainsi, si le point zéro est l'infini, on peut exprimer l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de $d$‍ de la manière suivante :

Cette formule est très pratique pour déterminer l'énergie nécessaire pour se déplacer d'un corps à l'autre dans le système solaire. Imaginons un vaisseau se préparant à atterrir sur une planète. Tandis qu'il se rapproche, son énergie cinétique augmente. Comme l'énergie se conserve, cela signifie qu'il perd de l'énergie potentielle de pesanteur. En d'autres mots, $E_p$‍ devient plus négative.

Ce raisonnement permet de comprendre le concept de puits gravitationnel. Il s'agit de l'altitude qu'il faut « franchir » pour pouvoir passer d'un corps planétaire à un autre. La figure ci-dessous représente les puits gravitationnels de Pluton et de sa lune Charon, étalonnés pour un vaisseau de 1 000 kg.

Exercice 3 : En vous aidant de la représentation graphique ci-dessus, déterminez le travail devant être effectué pour lutter contre la pesanteur sur un trajet démarrant au repos à la surface de Charon et terminant à vitesse nulle à la surface de Pluton.