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Cours : Physique en secondaire > Chapitre 6

Leçon 3: Mouvement Rectiligne Uniformémement Accéléré (MRUA)

Quelles sont les équations cinématiques du MRUA ?

Toutes les formules utilisables pour analyser le Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré.

Quelles sont les équations cinématiques du MRUA ?

Les équations cinématiques du MRUA sont les équations qui relient les cinq variables cinématiques ci-dessous :

Δ x Déplacement

t Intervalle de temps

v_{0} Vitesse algébrique initiale

v Vitesse algébrique finale

a Accélération constante

La variable

t

représente bien l'intervalle de temps pendant lequel l'objet se déplace d'une distance

Δ x

. Il serait bien entendu plus rigoureux de l'écrire

Δ t

, mais comme les équations cinématiques sont déjà bien encombrées, on laisse en général de côté le signe

Δ

devant le

t

pour plus de clarté.

Il est important, en tout cas, de garder en tête que lorsqu'on écrit

t

, cela signifie l'intervalle de temps

Δ t

Lorsqu'on connait trois de ces cinq variables cinématiques -

Δ x, t, v_{0}, v, a

- pour un objet soumis à un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré, on peut utiliser une des équations cinématiques ci-dessous pour exprimer une des variables inconnues.

Les équations cinématiques du MRUA sont les quatre équations suivantes :

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Ces équations cinématiques n'étant valables que lorsque l'accélération est constante sur l'intervalle de temps considéré, il faut bien faire attention à ne pas les utiliser lorsque l'accélération varie. De plus, le mouvement étant rectiligne, elles supposent que toutes les grandeurs concernent une seule et même direction : horizontale selon

x

, verticale selon

y

, etc.

Si on introduit une vitesse algébrique initiale horizontale

v_{0 x}

dans une équation cinématique, les autres variables de l'équation -

Δ x, v_{x}, a_{x}

- doivent être, elles aussi, selon la direction horizontale.

Si on introduit une vitesse algébrique verticale

v_{0 y}

dans une équation cinématique, les autres variables de l'équation -

Δ y, v_{y}, a_{y}

- doivent être, elles aussi, selon la direction verticale.

Autrement dit, les équations cinématiques associées à une direction donnée - par exemple,

x

- doivent être écrites avec une lettre en indice qui précise clairement cette direction :

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

\frac{v_{x} + v_{0 x}}{2} = \frac{Δ x}{t}

Comme utiliser toutes ces lettres en indice est assez fastidieux, il est courant qu'elles soient omises dans les livres et les cours. Il faut simplement bien se rappeler que les équations cinématiques ne sont applicables qu'à un mouvement rectiligne—qui peut avoir lieu dans n'importe quelle direction, même une diagonale—dès lors que l'accélération est constante. On écrit alors dans les équations seulement les variables qui sont dans la direction considérée.

Qu'est-ce que le mouvement de chute libre ?

On pourrait penser qu'imposer une accélération constante limite considérablement le champ d'application des équations cinématiques. En fait, un mouvement très souvent rencontré, la chute libre, se trouve être un mouvement uniformément accéléré c'est-à-dire à accélération constante.

Tous les objets en chute libre sur la Terre, quelle que soit leur masse, sont soumis à une accélération due à l'attraction gravitationnelle de la Terre sur l'objet. Cette accélération peut être, dans une très bonne approximation, considérée comme constante au voisinage de la Terre. On l'appelle alors accélération de la pesanteur : elle est orientée selon la verticale vers le bas et sa norme vaut

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (norme de l’accélération de la pesanteur)

Par définition, un objet est dit en chute libre s'il n'est soumis qu'à l'accélération de la pesanteur. Si on suppose que l'influence de la résistance de l'air est négligeable, n'importe quel objet lâché ou lancé peut être considéré comme un objet en chute libre soumis à une accélération constante orientée verticalement vers le bas de valeur

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Cela peut paraitre assez étrange dans la mesure où un gros rocher est soumis alors à la même accélération vers le bas qu'un petit caillou, et s'ils sont lâchés de la même hauteur, ils atteindront le sol en même temps.

La force gravitationnelle s'exerçant sur le rocher est plus importante que celle qui s'exerce sur le caillou, ce qui tend à accroître son accélération. En revanche, l'inertie du rocher - c'est-à-dire sa résistance à l'accélération - est aussi plus importante que celle du caillou, ce qui tend à réduire son accélération.

Ces deux effets se compensent exactement, c'est pourquoi la masse d'un objet n'affecte pas son accélération due à la pesanteur.

C'est aussi une chance puisqu'il n'est donc pas nécessaire de connaitre la masse de l'objet pour appliquer les équations cinématiques puisque son accélération sera toujours

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

quelle que soit sa masse, tant que la résistance de l'air est négligeable.

Il faut bien noter que

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

est juste la norme de l'accélération de la pesanteur. Si l'axe vertical est orienté positivement vers le haut, la valeur algébrique de l'accélération de la pesanteur dans les équations cinématiques est négative

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Attention : l'oubli du signe moins est une des erreurs les plus fréquentes lors de l'application des équations cinématiques à la chute libre.

Comment choisir et appliquer une équation cinématique ?

En choisissant l'équation cinématique qui contient à la fois la variable inconnue et trois des variables cinématiques connues, on peut exprimer l'unique variable inconnue directement à partir de l'équation cinématique choisie.

Par exemple, on suppose qu'on donne un coup de pied dans un livre posé sur le sol de telle sorte que sa vitesse algébrique initiale vaut

v_{0} = 5 m/s

. Pendant la durée

t = 3 s

, le livre glisse sur le sol en parcourant la distance

Δ x = 8 m

. En supposant que le mouvement est rectiligne uniformément accéléré, on peut utiliser ici l'équation cinématique

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

pour déterminer l'accélération du livre

a

- supposée constante - puisque les trois autres variables

Δ x, v_{0}, t

sont connues.

Astuce : dans chaque équation cinématique, il ne manque qu'une seule des variables cinématiques

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (dans cette équation il manque Δ x)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (dans cette équation il manque a)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (dans cette équation il manque v)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (dans cette équation il manque t)

Pour choisir l'équation cinématique qui convient au problème posé, il faut repérer la variable qui n'est ni donnée, ni demandée. Dans l'exemple ci-dessus, la vitesse algébrique finale

v

du livre n'est ni donnée, ni demandée, il faut donc choisir l'équation où elle n'apparaît pas. L'équation cinématique

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

ne contient pas

v

, c'est donc la bonne équation pour déterminer l'accélération

a

Oui, en effet.

5. Δ x = v t - \frac{1}{2} a t^{2} (dans cette équation il manque v_{0})

La cinquième équation cinématique ressemble à la troisième

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

sauf que la vitesse algébrique initiale

v_{0}

est remplacée par la vitesse algébrique finale

v

et le signe plus est remplacé par un signe moins. On peut la retrouver en incorporant la première équation cinématique dans la troisième.

Cette cinquième équation cinématique est souvent moins utile que les autres dans la mesure où la vitesse algébrique initiale est donnée/connue dans la plupart des situations.

Démonstration de la première équation cinématique $v = v_{0} + a t$ ‍

Cette équation cinématique est probablement la plus simple à démontrer puisqu'il s'agit seulement d'une version réarrangée de la définition de l'accélération. On part donc de la définition de l'accélération :

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Oui ça l'est. Si l'intervalle de temps

Δ t

est suffisamment grand, la formule

a = \frac{Δ v}{Δ t}

est l'accélération moyenne sur cet intervalle de temps.

Dans la démonstration, il faut donc vraiment que

a

corresponde à l'accélération moyenne

a_{m o y}

. En fait, comme l'accélération est supposée constante, l'accélération instantanée

a_{i n s t}

est bien égale à l'accélération moyenne

a_{m o y}

. Et dans ce cas, il n'y a pas de problème, il n'est pas nécessaire d'être plus précis, on peut simplement la noter

a

Donc, pour pourvoir démontrer cette équation cinématique de cette manière, l'accélération doit être constante. Sinon, le

a

de la formule fait bien référence à l'accélération moyenne et non à l'accélération instantanée.

Par définition, on écrit

Δ v

comme la variation de vitesse algébrique

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

On en déduit l'expression de

v

v = v_{0} + a Δ t

Enfin, en écrivant

t

à la place de

Δ t

, on retrouve la première équation cinématique :

v = v_{0} + a t

Démonstration de la deuxième équation cinématique $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Une manière simple de démontrer la deuxième équation cinématique est de partir de la représentation graphique de la vitesse algébrique d'un objet subissant une accélération constante - c'est-à-dire, avec une pente constante - et ayant une vitesse algébrique initiale

v_{0}

comme illustrée ci-dessous.

L'aire sous la courbe de v(t) correspond au déplacement $Δ x$ ‍. Donc, l'aire sous cette courbe de v(t) donne le déplacement

Δ x

de l'objet.

Δ x = aire totale

Pour que l'aire soit plus simple à calculer, on la décompose en un rectangle bleu et un triangle rouge comme le montre le schéma ci-dessus.

La hauteur du rectangle bleu est

v_{0}

et sa largeur est

t

, son aire est donc

v_{0} t

.
La base du triangle rouge est

t

et sa hauteur est

v - v_{0}

, son aire est donc

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

L'aire totale est la somme des aires du rectangle bleu et du triangle rouge.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

En distribuant le facteur

\frac{1}{2} t

on obtient :

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

En regroupant les termes en

v_{0}

, on a :

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

On en déduit la deuxième équation cinématique :

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Cette formule est intéressante car si l'on divise les deux côtés par

t

, on obtient

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Cela montre que la vitesse algébrique moyenne

\frac{Δ x}{t}

, est égale à la moyenne des vitesses algébriques finale et initiale

\frac{v + v_{0}}{2}

. Cela est vrai uniquement lorsque l'accélération est constante puisque cette formule a été démontrée en partant d'une courbe de v(t) de pente constante.

Démonstration de la troisième équation cinématique $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Il y a différentes manières de démontrer l'équation

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

: une démonstration géométrique assez visuelle et une démonstration analytique plus calculatoire. Voici d'abord la démonstration géométrique.

Un objet, ayant une vitesse algébrique initiale

v_{0}

, est soumis à une accélération constante de manière à atteindre la vitesse algébrique finale

v

Puisque l'aire sous la courbe de v(t) donne le déplacement

Δ x

, on peut affirmer que à chaque terme de droite dans l'équation

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

est associée une aire sur la représentation graphique ci-dessus.

Le terme

v_{0} t

représente l'aire du rectangle bleu puisque

A_{r e c t a n g l e} = h a u t e u r \times l a r g e u r

Le terme

\frac{1}{2} a t^{2}

représente l'aire du triangle rouge puisque

A_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times b a s e \times h a u t e u r

En se rappelant que l'aire totale sous la courbe donne le déplacement, on retrouve la formule

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Il est important de remarquer que cette équation - comme les autres équations cinématiques - n'est valable que lorsque l’accélération est constante, c'est-à-dire lorsque la courbe de v(t) est une droite.

Voici maintenant la démonstration analytique. La troisième équation cinématique peut être démontrée en incorporant la première équation,

v = v_{0} + a t

, dans la seconde,

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

On part de la seconde équation cinématique :

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

On remplace

v

par

v = v_{0} + a t

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

On développe la partie droite de l'équation :

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

On regroupe les

\frac{v_{0}}{2}

de la partie droite de l'équation :

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

Enfin, on multiplie chaque terme de l'équation par

t

, ce qui donne la troisième équation cinématique :

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Bien entendu, les équations utilisées dans la démonstration n'étant valables que si l'accélération est constante, cette troisième équation n'est vérifiée que lorsque l'accélération est constante.

Démonstration de la quatrième équation cinématique $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Pour démontrer la quatrième équation cinématique, on part de la deuxième :

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

L'objectif est d'éliminer

t

de cette formule. Pour ce faire, on réécrit la première équation cinématique,

v = v_{0} + a t

, sous la forme

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. On utilise ensuite cette expression pour remplacer

t

dans la deuxième équation cinématique :

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

On développe la partie droite de l'équation :

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

En exprimant

v^{2}

, on obtient la quatrième équation cinématique :

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Quelles sont les difficultés majeures avec les équations cinématiques ?

On oublie souvent que ces équations cinématiques ne sont vraies que lorsque l'accélération est constante sur l'intervalle de temps considéré.

Parfois, une variable connue n'est pas explicitement donnée dans un problème, mais elle peut être évoquée implicitement avec des expressions spécifiques. Par exemple, "démarre au repos" signifie

v_{0} = 0

, "lâché" signifie

v_{0} = 0

la plupart du temps, et "s'arrête" signifie

v = 0

. De plus, la valeur de l'accélération de la pesanteur est

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, cette dernière est rarement donnée dans les problèmes qui concernent un projectile en chute libre.

On oublie souvent que toutes les variables cinématiques -

Δ x, v_{o}, v, a

—excepté

t

— peuvent être négatives. L'oubli d'un signe moins est une erreur très commune. Si la verticale est orientée positivement vers le haut, alors l'accélération de la pesanteur que subit un projectile en chute libre doit être négative :

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

La troisième équation cinématique,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, peut nécessiter l'utilisation des solutions d'une équation du second degré (voir dans l'exemple 3 ci-dessous).

On oublie souvent que bien que l'on puisse choisir n'importe quel intervalle de temps dès lors que l'accélération est constante, les variables cinématiques utilisées dans les équations cinématiques doivent être cohérentes avec l'intervalle de temps considéré. Autrement dit, la vitesse algébrique initiale

v_{0}

doit être la vitesse algébrique de l'objet pour la position à laquelle il se trouve lorsque l'intervalle de temps

t

commence. De manière analogue, la vitesse algébrique finale

v

doit être la vitesse algébrique de l'objet pour la position à laquelle il se trouve lorsque l'intervalle de temps

t

se termine.

Exercices d'application sur les équations cinématiques :

Exemple 1 : Première équation cinématique, $v = v_{0} + a t$ ‍

Un ballon rempli de liquide est lâché du haut d'un gratte-ciel.

Quelle est la vitesse algébrique du ballon après $t = 2, 35 s$ ‍ de chute ?

En supposant que la verticale est orientée positivement vers le haut, les variables connues sont :

v_{0} = 0

(le ballon démarre au repos puisqu'il est lâché)

t = 2, 35 s

(intervalle de temps à la fin duquel on veut déterminer la vitesse algébrique)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(imposé par le mouvement de chute libre du ballon)

Oui, si l'on attend suffisamment de temps, mais dans ce cas on n'utilise pas cette supposition pour deux raisons.

D'une part, l'intervalle de temps considéré,

2, 35 s

, est a priori plus petit que le temps nécessaire au ballon pour atteindre le sol.

D'autre part, on ne peut appliquer les équations cinématiques que sur un intervalle de temps où l'accélération est constante. Lorsque le ballon touche le sol, son accélération change d'un coup à cause de la collision. Par conséquent, si l'on dit que l'accélération du ballon en chute libre est

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, on ne peut pas dire que sa vitesse algébrique finale est nulle car ce dernier n'est plus en chute libre sur la fin du trajet lorsqu'il touche le sol. Ce serait une contradiction.

Si l'on connaissait l'accélération au moment de l'impact, et si cette dernière était constante, on pourrait alors appliquer les équations cinématiques sur l'intervalle de temps de l'impact. Mais ce n'est pas l'énoncé de ce problème, et dans la majeure partie des problèmes de chute libre, on considère les instants juste après le lâcher de l'objet et juste avant son impact au sol.

Dans cette situation, le mouvement est vertical, on utilise donc

y

comme variable de position plutôt que

x

. Le symbole choisi a peu d'importance dès lors qu'on reste cohérent, mais en pratique, c'est très souvent

y

qu'on utilise pour décrire les mouvements verticaux.

Puisqu'on ne connait pas le déplacement

Δ y

et puisque le déplacement

Δ y

n'est pas non plus demandé, on utilise la première équation cinématique

v = v_{0} + a t

, dans laquelle

Δ y

n'apparaît pas.

v = v_{0} + a t (on utilise la première équation cinématique puisqu’elle ne contient pas le terme Δ y)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) \times (2, 35 s) (on remplace les grandeurs connues par leurs valeurs numériques)

v = - 23, 1 m/s (on fait l’application numérique et on précise les unités)

Remarque : La vitesse algébrique finale est négative puisque le ballon se dirige vers le bas.

Exemple 2 : Deuxième équation cinématique, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Un léopard court à 6,20 m/s. En apercevant un mirage ressemblant à un vendeur de glace, il se met à accélérer pendant 3,3s jusqu'à atteindre la vitesse de 23,1 m/s.

Quelle distance le léopard a-t-il parcourue en passant de 6,20 m/s à 23,1 m/s ?

En supposant que le mouvement a lieu dans le sens positif, les variables connues sont :

v_{0} = 6, 20 m/s

(la vitesse initiale du léopard)

v = 23, 1 m/s

(la vitesse finale du léopard)

t = 3, 30 s

(l'intervalle de temps sur lequel le léopard accélère)

Puisqu'on ne connait pas l'accélération

a

et qu'elle n'est pas demandée, on utilise la seconde équation cinématique sur la direction horizontale

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, dans laquelle

a

n'apparaît pas.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (on utilise la seconde équation cinématique puisqu’elle ne contient pas le terme a)

Δ x = \frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2} \times 3, 30 s (on remplace les grandeurs connues par leurs valeurs numériques)

Δ x = 48, 3 m (on fait l’application numérique et on précise les unités)

Exemple 3 : Troisième équation cinématique, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Une étudiante lassée de travailler sur les équations cinématiques jette son crayon verticalement vers le haut à 18,3 m/s.

En combien de temps le crayon atteint-il le point situé à 12,2 m au-dessus du point où il a été lancé ?

En supposant que la verticale est orientée positivement vers le haut, les variables connues sont :

v_{0} = 18, 3 m/s

(la vitesse algébrique initiale du crayon, dirigée vers le haut)

Δ y = 12, 2 m

(on cherche l'intervalle de temps mis pour parcourir ce déplacement)

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(le crayon est un projectile en chute libre)

Puisqu'on ne connait pas la vitesse algébrique finale

v

et qu'elle n'est pas demandée, on utilise la troisième équation cinématique sur la direction verticale

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, dans laquelle

v

n'apparaît pas.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (on écrit la troisième équation cinématique)

Jusqu'à présent, on a pu déduire l'expression de la variable inconnue assez simplement à partir de l'équation cinématique. Ici, déduire l'expression de

t

si aucun terme ne s'annule est un peu plus ardu. En effet, comme on peut le voir en remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs numériques, on est en présence d'une équation du second degré :

12, 2 m = (18, 3 m/s) \times t + \frac{1}{2} \times (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) \times t^{2} (on remplace les grandeurs connues par leurs valeurs numériques)

On passe tous les termes du même côté de l'équation de façon à pouvoir résoudre cette équation du second degré plus simplement. En soustrayant 12,2 m des deux côtés, on obtient :

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) \times t^{2} + (18, 3 m/s) \times t - 12, 2 m (on met sous la forme d’une équation du second degré)

Il faut donc maintenant résoudre cette équation du second degré pour la variable

t

. Les solutions d'une équation de la forme

a t^{2} + b t + c = 0

sont de la forme

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. Ici, on a

a = \frac{1}{2} \times (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

, et

c = - 12, 2 m

Les solutions sont donc :

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 \times [\frac{1}{2} \times (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) \times (- 12, 2 m)]}}{2 \times [\frac{1}{2} \times (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Comme il y a un signe plus ou moins dans l'expression de

t

, il y a deux solutions possibles : une en utilisant le

+

et une en utilisant le

-

. Le calcul des solutions donne les intervalles de temps suivants :

t = 0,869 s

t = 2, 86 s

Il y a deux solutions positives puisqu'il y a deux instants pour lesquels le crayon se trouve à une hauteur de 12,2 m au-dessus du point de lancement. L'intervalle de temps le plus petit correspond à la montée du crayon, c'est-à-dire à un déplacement direct de 12,2 m. L'intervalle de temps le plus grand correspond au temps mis par le crayon pour monter, atteindre son altitude maximale, puis tomber en repassant par une altitude correspondant à un déplacement de 12,2 m.

Par conséquent, il faut choisir l'intervalle de temps le plus petit

t = 0,869 s

pour avoir la réponse à la question "En combien de temps le crayon atteint-il le point situé à 12,2 m au-dessus du point où il a été lancé ?".

Lorsque l'équation du second degré donne un intervalle de temps négatif et un intervalle de temps positif, l'objet en question, lui, ne réalise son déplacement qu'une fois, après avoir été lancé. On choisit donc l'intervalle de temps positif et on néglige la solution négative.

En effet, l'intervalle de temps négatif fait référence à un instant antérieur au lancement de l'objet où il aurait occupé la position finale. Autrement dit, cela reviendrait à considérer que l'objet était sur sa trajectoire avant d'être lancé et qu'il passe par le point de lancement avec la vitesse algébrique donnée comme vitesse initiale.

Exemple 4 : Quatrième équation cinématique, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Un motard roule à la vitesse de 23,4 m/s. Voyant qu'il s'approche d'un embouteillage, il décide de ralentir sur une distance de 50,2 m avec une décélération constante de valeur

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. On suppose que le mouvement du motard est rectiligne sur l'ensemble du trajet et qu'il avance continuellement.

Quelle est la nouvelle vitesse algébrique du motard après avoir ralenti sur 50,2 m ?

En supposant que le mouvement a lieu dans le sens positif, les variables connues sont :

v_{0} = + 23, 4 m/s

(la vitesse algébrique initiale du motard, dirigée dans le sens du mouvement)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(l'accélération est négative puisque le motard ralentit et que le sens du mouvement est compté positivement)

Δ x = 50, 2 m

(on cherche la vitesse algébrique atteinte par le motard à la fin de ce déplacement)

Puisqu'on ne connait pas l'intervalle de temps

t

et qu'il n'est pas demandé, on utilise la quatrième équation cinématique sur la direction horizontale

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, dans laquelle

t

n'apparaît pas.

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (on écrit la quatrième équation cinématique)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (on exprime la vitesse algébrique finale)

On remarque qu'en prenant la racine carrée, on obtient deux réponses possibles : l'une positive, l'autre négative. Puisque le motard avance continuellement dans le sens considéré positif, on choisit donc la réponse positive

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

On obtient donc l'expression numérique suivante :

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 \times (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) \times (50, 2 m)} (on remplace avec les grandeurs connues par leurs valeurs numériques)

v_{x} = 15, 0 m/s (on fait l’application numérique et on précise les unités)

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Sonia Florez
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Sonia Florez «Bonjour, à l'école nous ... »
Bonjour,
à l'école nous faisions pas mal d'exercices avec des voitures et les équations nous les appelions équations horaires. Je suppose que les équations présentées dans votre cours sont aussi applicables dans les problèmes que j'ai pu voir en cours ?
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Elwins Thélémaque
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Elwins Thélémaque «On a;s= (2vi+a×∆t)/2 ×∆t ... »
On a;s= (2vi+a×∆t)/2 ×∆t : la formule devient ;s=vi×∆t+½a×∆t² : or a×∆t ?=(est-il égal a)
a/2 ?
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Physique en secondaire

Cours : Physique en secondaire > Chapitre 6

Quelles sont les équations cinématiques du MRUA ?

Qu'est-ce que le mouvement de chute libre ?

Comment choisir et appliquer une équation cinématique ?

Démonstration de la première équation cinématique v=v0+at‍

Démonstration de la deuxième équation cinématique Δx=(v+v02)t‍

Démonstration de la troisième équation cinématique Δx=v0t+12at2‍

Démonstration de la quatrième équation cinématique v2=v02+2aΔx‍

Quelles sont les difficultés majeures avec les équations cinématiques ?

Exercices d'application sur les équations cinématiques :

Exemple 1 : Première équation cinématique, v=v0+at‍

Exemple 2 : Deuxième équation cinématique, Δx=(v+v02)t‍

Exemple 3 : Troisième équation cinématique, Δx=v0t+12at2‍

Exemple 4 : Quatrième équation cinématique, v2=v02+2aΔx‍

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Démonstration de la première équation cinématique $v = v_{0} + a t$ ‍

Démonstration de la deuxième équation cinématique $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Démonstration de la troisième équation cinématique $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Démonstration de la quatrième équation cinématique $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Exemple 1 : Première équation cinématique, $v = v_{0} + a t$ ‍

Exemple 2 : Deuxième équation cinématique, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Exemple 3 : Troisième équation cinématique, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Exemple 4 : Quatrième équation cinématique, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍