Ensemble de définition et ensemble image d'une fonction affine par morceaux

alors on a ici une fonction définie par morceau en fait chaque morceau est un segment de droite donc la courbe représentative ici de cette fonction j'ai bien c'est une réunion de segment de droite différents alors là ce qu'on va faire c'est essayer de déterminer le domaine de définition et l'ensemble l'image de cette fonction j'ai donc le domaine de définition j'imagine que tu te souviens de ce que c'est en fait c'est toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est défini c'est à dire pour lesquels on peut calculer l'image par la fonction j'ai de la valeur de choisir donc on va l'écrire comme ça l'ensemble de définition donc c'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut déterminer l'image par la fonction j'ai alors ici on voit que si x est plus petit ou égal à -6 en fait y'a aucune manière de définir l'image de la valeur x puisqu'on a que cette possibilité la refête 6 est strictement supérieur à moi aussi c'est inférieur ou égal à moins 3 on peut déterminer l'image de x en utilisant cette défaite partie de la définition quand on dépasse valeur - 3 on se retrouve dans cette possibilité là entre -3 et 4 strictement pour une valeur de x strictement supérieur à -3 est strictement inférieure à 4 on peut effectivement calculé l'image en utilisant cette définition là et puis dès qu'on passe la valeur 4 on se retrouve 6 x est supérieur ou égal à 4 est inférieur ou égal à 6 on peut utiliser cette définition là pour calculer l'image voilà par contre ce que je disais tout à l'heure c'est que si x est inférieur ou égal à -6 et bien on ne pourra pas définir l'image de jets puisque on sera dans aucun de ces trois cas l'un en fait la g est défini dans les trois cas qui sont ici un donc ce que je lis ici c'est la borne inférieure de du domaine de définition de la fonction j'ai donc x doit être supérieur strictement à moins 6 alors pour déterminer la la borne supérieure bien on est tenté d'aller tout de suite lire ce qui se passe ici mais en fait il faut quand même vérifier que n'y a pas d'interruption entre cette valeur la moins 6 et 7 valeurs 6 ici et là c'est à dire qu'en fait chaque borne qui est ici est reprise dans l'intervalle suivant alors ici on ax sub strictement supérieur à -6 quantix est égal à moins 3 on est dans cette définition là et dès qu'on passe sa valeur - 3d qu'on a un tout petit peu supérieur - 3 on passe à cette définition qui est ici à la deuxième ligne deuxième clause et on y reste jusqu'à être un tout petit peu inférieur à 4 dès qu'on arrive à la valeur 4 on se retrouve dans la 3e klose qui est ici cette partie là de la définition jusqu'à la valeur x égale à 6 donc effectivement là on a en fait bien recouvertes ou l'intervalle qui va de -6 exclu à 6 inclut 1 donc ça ce que je jean tour ici c'est bien effectivement la borne supérieure de l'intervalle de définition alors maintenant on a déterminé en fait le domaine de définition je vais l'écrire d'une manière un peu rigoureuse mathématiques donc c'est l'ensemble des valeurs x appartenant à air donc des nombres réels x tel que x alors x doit être supérieur strictement à moins 6 et puis ça c'est ce que je lis ici et puis inférieur ou égal à 6 voilà donc ça c'est l'ensemble de définition en fait ça veut dire que x peut être n'importe aide n'importe quel nombre réel strictement supérieur à -6 est inférieur ou égal à 6 voilà alors maintenant on va essayer de déterminer l'ensemble images de cette fonction j'ai alors en fait pour ça ce qu'il faudrait arriver à faire c'est déterminer un encadrement avoir entre quelles valeurs là le nombre g2x pourra se trouver et en fait ce qu'on va faire c'est déterminer ça en fait un encadrement de g2x dans chacun des cas qui est ici en d'autres mots on va essayer d'écrire quelque chose comme ça j'ai 2 x inférieure ou égale à une valeur est supérieure ou égale à une supérieure ou supérieures ou égales on verra ça en fait en fonction de ce qui est des signes qui sont là donc voilà on va essayer de déterminer entre quoi et quoi dans chaque cas le nombre g2x et ai compris alors je vais d'abord m'occuper du premier quart de cette première clause qui est ici et elle est valable pour x compris enfin strictement supérieur - 6 est inférieur ou égal à moins 3 alors là ce qu'on va faire c'est manipuler c'est une équation là pour arriver à exprimer x plus est à trouver un encadrement 2x plus est si tu préfères est en fait la gx donc si je veux x plus est je vais ajouter 7 ici et donc je vais ajouter 7 en fait à chaque membre de cette inéquation donc va ajouter 7 ici je vais ajouter 7 là et je vais ajouter cette langue donc là en fait je vais si j'ajoute set je vais avoir ici x + 7 et le fait d'ajouter cette bien ça changerait un l'ordre donc je vais garder des signes comme ça alors ici qu'est ce que je vais avoir j'ajoute et 7 il faut que j'ajoute 7 ici aussi donc je vais avoir -6 +7 et puis de l'autre côté à droite je vais avoir moins 3 + 7 puisqu'il faut que j'ajoute 7 à tous les membres de cette inéquation alors maintenant je vais faire les calculs -6 +7 ça fait sept mois si ça fait 1 et ici alors ici ce que j'ai cgx plus est donc exclue cette cg 2x dans ce cas ci le cas dans lequel je me suis placé donc je vais avoir ici g2x qui est donc plus grands strictement que 1 est plus petit que -3 +7 alors moi trois plus est ça fait 7 - 3 ça fait 4 et là je garde un signe inférieur ou égal puisque c'est celui que j'ai depuis le début effectivement si x est égal à moins 3 peux tu peux calculer j'ai 2 - 3 g de -3 ça se calcule avec cette expression là ça fait moins trois plus est c'est à dire effectivement 4 donc voilà finalement je sais que dans ce premier cas dans le cas de cette première clause et bien en fait l'image elle va être compris entre 1 strictement strictement supérieur 1 est inférieur ou égal à 4 je vais l'écrire ici ça g2x être petit ou égal à 4 est strictement supérieur à 1 voilà alors maintenant on va faire la même chose pour l'autre côté alors il faut faire attention parce que c'est de la manipulation algébrique rien d'autre donc il faut bien faire attention à suivre les règles de manipulation algébrique donc là je vais me mettre dans la deuxième clause donc je sais que x est plus petit strictement plus petit que 4 est strictement plus grand que -3 et là je vais faire comme tout à l'heure je vais essayer de reconstruire cette cette expression là donc déjà je vais avoir la gx il faudrait que j'aie - x ici c'est moins x qui est là donc je vais multiplier tout parent - 1 alors si je multiplie x par -1 je vais avoir -6 c'est ce qui m'intéresse est ici quand je multiplie cette borne de la moins trois par moins en moins trois fois moins 1 ça fait 3 et puis là je vais avoir 4 x - ce qui fait moins 4 alors maintenant il faut que je fasse attention aux signes en fait quand tu multiplies par un nombre négatif les l'ordre change l'ordre est inversé donc on va avoir un signe comme ça 3 va être plus grand que moi zix qui va être plus grand que -4 strictement alors maintenant j'ai presque terminé en fait je vais ajouter un partout donc je vais avoir ici je vais faire plus un à chaque terme chaque membre ici donc je vais avoir ici 1 - 6 - x qui va être strictement supérieur à l'ag -4 1 déjà et comme j'ajoute un je vais avoir un - 4 + 1 - 4 et puis de l'autre côté ce terme là j'avais 3 et j'ajoute un donc je vais avoir un plus 3 alors là je fais les calculs maintenant ici j'ai un +3 ça fait 4 qui est plus grand que 1 - x mais un moins 6 dans notre cas ici c'est g2x voilà qui doit être strictement supérieur à 1 - 4 1 - 4 ça fait moins 3 voilà alors du coup là je sais dans quel intervalle de valeur va se trouver l'image de x quand hicks est compris entre -3 et 4,1 alors je vais lire et écrire ici et dans l'ordre habituel -3 strictement supérieur inférieur pardon ag2i x qui est strictement inférieure à 4 alors il me reste maintenant ce dernier cas qui est là alors je vais faire ici je pars de cet intervalle là donc je vais x qui est supérieur ou égal à 4 et puis inférieur ou égal à 6 et là je vais essayer de reconstruire cette expression là donc que trouver un encadrement de 2x moins 11 alors je vais déjà multiplié par deux tous les termes tous les membres ici donc je vais avoir x6 je multiplie par 2 g2x et qui va être supérieur ou égal à 4 x 2 parce que je multiplie pas un nombre positif de ces positif donc les l'ordre ne change pas et ici je vais avoir 4 x 2 4 x 2 ça fait 8 de l'autre côté je vais multiplient g6 je multiplie par 2 donc je vais avoir 6 x 2 ça fait 12 donc je récapitule 6 x est supérieur ou égal à 4 alors 2x est supérieur ou égal à 8 et 6 x inférieur ou égal à 6 2 x est inférieur ou égal à 12 alors maintenant je vais enlever 11 soustraire 11 à chaque terme donc je vais avoir ici 2x je vais lire et écrire comme sahin 2x je vais écrire ça comme ça g8 là je vais écrire 12 et je vais soustraire à chaque membre 11 donc je vais faire ici 2x moins 11 là je vais avoir 8 - 11 et la 12 - donc là je soustrais un nombre ça ne change pas l'ordre dans lequel sont rangés laissé nombre 6 alors je fais les calculs 8 - 11 ça fait moins trois ici qui est inférieur ou égal à 2 x - 11 mai 2 x - 11 cg 2x quand on est quand six est compris entre 4 et 6 dans cet intervalle l'a donc là j'ai g2x qui est inférieur ou égal à 12 - 11 12 - ça fait 1 voilà alors là j'ai déterminé du coup l'intervalle des valeurs images dans ce cas-ci m dans le cas de cette troisième partie de la définition je vais leur écrire la g2x alors ça va être supérieur ou égal à -3 et puis inférieur ou égal à 1 voilà alors maintenant bon je vais effacer tous les calculs qui sont là tout ça j'en ai plus besoin et je vais on va déterminer maintenant l'ensemble image alors et donc l'ensemble images c'est l'ensemble des valeurs que peut prendre la le nombre g2x est en fait l'ensemble images ici on va pouvoir l'obtenir en combinant ces inégalités qui sont là enfin ses encadrements de la valeur g2x un plus tôt ici on dit que j'ai 2 x et plus grands strictement que 1 est inférieur ou égal à 4 l'ag g2x qui est strictement supérieur supérieur à -3 est strictement inférieure à 4 donc si je combine ces deux là en fait je vais pouvoir dire que j'ai 2 x il sera strictement supérieur à -3 est inférieur ou égal à 4 ça c'est en combinant ces deux sets de l'encadrement là et puis ici g2x qui est supérieur ou égal à -3 donc g2x peut prendre la valeur - 3 et puis un serveur ou égal à 1 ce qui était déjà compris dans ce que j'avais ce qu'on a dit tout à l'heure donc finalement je vais l'écrire comme ça l'ensemble des l'ensemble images c'est l'ensemble des nombres y appartenant à air je peux l'écrire de cette manière là tels que y est supérieur ou égal à moins 3 donc je vais l'écrire comme ça y est supérieur ou égal à -3 et puis inférieur ou égal à 4 voilà alors ici j'ai écrit y j'aurais pu très bien écrire g2x ici ça se lit y en fait c'est on peut l'exprimer comme g2x c'est à dire que ce y c'est l'image d'une certaine valeur x par la fonction j'ai voilà