Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs

La limite d'une fonction en un point correspond au comportement de la fonction au voisinage de ce point (vers quelle valeur tend la fonction). Lorsque la fonction n'est pas définie en ce point, les tableaux de valeurs prises par la fonction permettent d'étudier ce comportement. Il est alors parfois possible de donner une valeur approchée plus précise de la limite en ce point qu'avec l'étude de la représentation graphique de la fonction.

Si l'on veut utiliser un tableau de valeurs pour conjecturer une limite en un point, il est important de choisir des valeurs de $x$‍ qui s'approchent de plus en plus de l'abscisse de ce point.

On vous demande de donner une valeur approchée de cette limite :

Remarque : La fonction $f$‍ n'est pas définie en $2$‍ car le dénominateur est nul pour $x=2$‍. Le fait que $f$‍ ne soit pas définie en $2$‍ ne signifie pas que la limite de la fonction en $2$‍ n'existe pas.

Étape 1 : On calcule la valeur de $f(x)$‍ lorsque $x$‍ se rapproche de $2$‍ par valeurs inférieures (ce sont les valeurs "à gauche" de $2$‍). Commençons avec $1,9$‍ par exemple :

Étape 2 : On choisit des valeurs de $x$‍ de plus en plus proches de $2$‍ en restant à gauche de $2$‍.

Les valeurs de $x:$‍ $\{1,9,1,99,\mathrm{1,999}9\}$‍ sont de plus en plus proches de $2$‍. Il n'est donc pas pertinent de choisir des valeurs de $x$‍ qui varient d'un pas constant comme $\{-1,0,1\}$‍ car elles ne s'approchent pas assez de $2$‍.

Étape 3 : De la même manière, on choisit des valeurs de $x$‍ de plus en plus proches de $2$‍, mais supérieures à $2$‍ (valeurs à droite de $2$‍).

(Remarque : Nous avons supprimé la valeur $2$‍ du tableau uniquement pour gagner de la place, et puis cette valeur n'est pas utile pour l'étude de la limite.)

D'après le tableau de valeurs de la fonction créé, on peut dire que lorsque $x$‍ se rapproche de $2$‍ par valeurs inférieures et par valeurs supérieures, les valeurs de $f(x)$‍ se rapprochent de $0,25$‍. On peut donc conjectuer que la limite de $f$‍ en $2$‍ est $0,25$‍, mais ce n'est qu'une valeur approchée.

Voici les points à vérifier lorsque vous créez des tableaux de valeurs pour donner une valeur approchée d'une limite :

Supposer que la valeur de la limite est la valeur de la fonction : L'exemple ci-dessus illustre le cas où la fonction n'est pas définie en un point mais où la limite de la fonction en ce point existe. Évitez donc de tirer des conclusions hâtives sur la valeur de la limite en vous basant sur la valeur de la fonction.

Calculer les valeurs d'une fonction en des valeurs de $x$‍ éloignées de la valeur en laquelle on veut calculer la limite : Il faut déterminer les valeurs de la fonction pour des valeurs de $x$‍ qui s'approchent de plus en plus de la valeur souhaitée par valeurs inférieures et supérieures pour estimer la limite en ce point.

Ne pas approcher des deux côtés : N'oubliez pas d'approcher la valeur de $x$‍ souhaitée à la fois à gauche et à droite. Rappelez-vous que pour que la limite existe, les limites à gauche et à droite doivent être égales. Évitez de tirer des conclusions sur la valeur de la limite après avoir approché la valeur de $x$‍ uniquement par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures.

Croire que "à gauche" signifie "valeurs négatives" : Certains élèves croient à tort qu'ils doivent utiliser des nombres négatifs lorsqu'ils s'approchent à gauche d'une valeur. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons approché $2$‍ à sa gauche en utilisant des valeurs positives inférieures à $2$‍, comme $1,9$‍ et $1,99$‍. Ne partez pas du principe que vous devez utiliser des valeurs négatives de $x$‍ lorsque vous vous en approchez par la gauche.

Confondre la valeur de la limite et la valeur de la fonction : Rappelez-vous que la limite d'une fonction en un point n'est pas forcément la valeur de la fonction en ce point. Par exemple, dans l'exercice 2, $g(5)=6,37$‍ mais ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ est approximativement égale à $3,68$‍.

Penser que la limite est toujours un nombre entier : Certaines limites peuvent être un nombre entier. D'autres peuvent être un nombre décimal comme $0,25$‍ dans le premier exercice. Enfin, les valeurs des limites peuvent être approximées, comme dans l'exercice 2 où la limite de la fonction se situe autour de $3,68$‍.