Contenu principal

Cours : AP®︎/College Statistics > Chapitre 8

Leçon 4: Somme ou différence de variables aléatoires

Somme ou différence de variables aléatoires normales

La somme ou la différence de deux variables aléatoires normales indépendantes est aussi une variable aléatoire normale.

Exemple 1 : Masse totale de bonbons

Dans une usine, chaque paquet de bonbons est rempli successivement par

4

machines. La première machine remplit le paquet de bonbons bleus, la deuxième de bonbons verts, la troisième de bonbons rouges et la quatrième de bonbons jaunes. La masse de bonbons versés par chaque machine dans un paquet peut être modélisée par une variable aléatoire normale de moyenne

50 g

et d'écart-type

5 g

. On suppose que les masses de bonbons versés par chaque machine sont indépendantes les unes des autres.

On désigne par

T

la variable aléatoire égale à la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard.

Calculer la probabilité que la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard soit inférieure à $178 g$ ‍.

Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.

Exercice A (Exemple 1)

Calcul de l'espérance de $T$ ‍.

E (T) = μ_{T} =

grammes

Exercice B (Exemple 1)

Calcul de l’écart-type de $T$ ‍.

σ_{T} =

grammes

Exercice C (Exemple 1)

Quelle est la forme de la courbe de la fonction de densité de $T ?$ ‍

Exercice D (Exemple 1)

Calculer la probabilité que la masse totale de bonbons dans un paquet choisi au hasard soit inférieure à $178 g$ ‍.
Arrondir la réponse au dix millièmes.

P (T < 178) \approx

On donne un extrait de la table de la loi normale centrée-réduite donnant la probabilité

P (Z < z_{a})

qui correspond à l'aire sous la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée-réduite à gauche de la droite d'équation

z = z_{a}

Exemple 2 : Différence de scores au bowling

Adam et Marc jouent au bowling tous les samedis soirs. D'après les données, le score de Adam peut être modélisé par une variable aléatoire

A

normale d'espérance

175

points et d'écart-type

30

points et le score de Marc par une variable aléatoire

M

normale de d'espérance

150

points et d'écart-type

40

points. Ces deux variables sont indépendantes.

On note

D

la variable aléatoire égale à la différence entre le score de Adam et le score de Marc.

D = A - M

Calculer la probabilité que le score de Marc soit supérieur à celui de Adam lors d'une partie choisie au hasard.

Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.

Exercice A (Exemple 2)

Calcul de l'espérance de $D$ ‍.

E (D) = μ_{D} =

points

Exercice B (Exemple 2)

Calcul de l’écart-type de $D$ ‍.

σ_{D} =

points

Exercice C (Exemple 2)

Quelle est la forme de la courbe de la fonction de densité de $D ?$ ‍

Exercice D (Exemple 2)

Calculer la probabilité que le score de Marc soit supérieur à celui de Adam lors d'une partie choisie au hasard.
Arrondir la réponse au dix millièmes.

P (score de Marc soit supérieur) \approx

Indice : Calculer $P (D < 0)$ ‍.

On donne un extrait de la table de la loi normale centrée-réduite donnant la probabilité

P (Z < z_{a})

qui correspond à l'aire sous la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée-réduite à gauche de la droite d'équation

z = z_{a}

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.