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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 4 

Leçon 4: Limite à l'infini d'une fonction polynôme
Mathématiques
5e année secondaire - 4 h
Étude d'une fonction : Limites et asymptotes
Limite à l'infini d'une fonction polynôme
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Limites à l'infini d'une fonction polynôme

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On étudie les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme dont on connaît soit la courbe représentative, soit l'expression.

Qu'appelle-t-on les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme ?

Étudier les limites à l'infini d'une fonction f, c'est étudier les valeurs de f(x) lorsque x s'approche des extrémités de l'axe des abscisses.
Donc c'est étudier f(x) pour les valeurs de x proches de l'extrémité droite de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers +∞ - et pour les valeurs de x proches de l'extrémité gauche de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers −∞.
Ci-contre la courbe représentative d'une fonction polynôme f. A l'extrémité droite de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs positives et de plus en plus grandes, f(x) prend aussi des valeurs positives et de plus en plus grandes.
Traduction en langage mathématique : si x→+∞, f(x)→+∞. En français : "si x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini" ou "la limite de f en +∞ est +∞".
A l'extrémité gauche de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue et se rapproche de −∞ (!), f(x) prend aussi des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.
Traduction en langage mathématique : si x→−∞, f(x)→−∞. En français : "si x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers moins l'infini" ou "la limite de f en −∞ est −∞".

À vous !

1) Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g.
Quelles sont les limites de la fonction g à l'infini ?
Choisissez une seule réponse :

Calculer les limites à l'infini

On peut déterminer les limites d'une fonction à l'infini par le calcul.
Calculer ces limites, c'est tout simplement étudier les valeurs de f(x) lorsque que l'on donne à x des valeurs positives et très grandes en valeur absolue ou des valeurs négatives et très grandes en valeur absolue.
Nous allons donc voir comment répondre à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f(x) si x→+∞ ?
  • Quelle est la limite de f(x) si x→−∞ ?

Le cas où le polynôme est un monôme

Une fonction monôme est une fonction qui à tout x réel fait correspondre y=axn, si a est un réel et n un entier positif ou nul.
On examine quelques exemples.
2) Soit la fonction f qui à tout x réel fait correspondre f(x)=x2.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

3) Soit la fonction g qui à tout x réel fait correspondre g(x)=−3x2.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

4) Soit la fonction h qui à tout x réel fait correspondre h(x)=x3.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

5) Soit la fonction j qui à tout x réel fait correspondre j(x)=−2x3.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Conclusion

Les limites à l'infini d'une fonction monôme f telle que f(x)=axn dépendent à la fois de son degré n et du coefficient a.
Si n est pair les limites de la fonction en −∞ et en +∞ sont les mêmes. Selon le signe du coefficient a, elles sont toutes deux égales à +∞ ou toutes deux égales à −∞.
Si n est impair les limites de la fonction en −∞ et en +∞ sont opposées. Selon le signe du coefficient a, l'une est égale à +∞ et l'autre à −∞, ou vice-versa
On peut rassembler ces résultats dans un tableau :
Limites à l'infini d'une fonction monôme définie par f(x)=axn
n est pair et a>0n est pair et a<0
Si x→−∞, f(x)→+∞, et si x→+∞, f(x)→+∞.
Si x→−∞, f(x)→−∞, et si x→+∞, f(x)→−∞.
n est impair et a>0n est impair et a<0
Si x→−∞, f(x)→−∞, et si x→+∞, f(x)→+∞.
Si x→−∞, f(x)→+∞, et si x→+∞, f(x)→−∞.

À vous !

Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f(x)=8x3?
Choisissez une seule réponse :

Limites à l'infini d'une fonction polynôme

Qu'en est-il pour les fonctions polynômes ? Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=−3x2+7x?
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré.
Donc quand x tend vers −∞ ou quand x tend vers +∞, les limites de −3x2+7x sont les mêmes que celles de −3x2.
Le degré de −3x2 est 2, donc il est pair et le coefficient −3 est négatif, donc : si x→−∞, g(x)→−∞, et si x→+∞, g(x)→−∞.

À vous !

7) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f(x)=8x5−7x2+10x−1?
Choisissez une seule réponse :

8) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=−6x4+8x3+4x2 ?
Choisissez une seule réponse :

Pourquoi est-ce que les limites à l'infini d'un polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré ?

C'est parce c'est le terme de plus haut degré qui a le poids le plus important pour les grandes valeurs de x en valeur absolue.
On va étudier de plus près les valeurs de g(x)=−3x2+7x pour des valeurs de x positives et grandes en valeur absolue.
On sait que si x tend vers +∞, −3x2 tend vers −∞ et 7x tend vers +∞.
Mais quelle est la limite de leur somme ? On calcule les valeurs de −3x2, de 7x et de leur somme pour quelques valeurs de x :
x−3x27x−3x2+7x
1−374
10−30070−230
100−30 000700−29 300
1000−3 000 0007000−2 993 000
On voit que −3x2 "l'emporte" sur 7x. A mesure que x augmente, la valeur de 7x est de plus en plus négligeable par rapport à celle de −3x2.
Et si le terme en x est 999x plutôt que 7x?
x−3x2999x−3x2+999x
10−3009 9909 690
100−30 00099 90069 900
1000−3 000 000999 000−2 001 000
10 000−300 000 0009 990 000−290 010 000
Le résultat est analogue. La somme se comporte comme −3x2.
Peu importe le coefficient du terme en x. Aussi grand soit-il, pour les très grandes valeurs de x la somme se comporte comme −3x2.

Un dernier exercice

9*) Laquelle de ces courbes peut être celle de la fonction h définie par h(x)=−8x3+7x−1?
Choisissez une seule réponse :

Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=(2−3x)(x+2)2 ?
Choisissez une seule réponse :

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