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Limites à l'infini d'une fonction polynôme

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On étudie les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme dont on connaît soit la courbe représentative, soit l'expression.

Qu'appelle-t-on les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme ?

Étudier les limites à l'infini d'une fonction f, c'est étudier les valeurs de f(x) lorsque x s'approche des extrémités de l'axe des abscisses.
Donc c'est étudier f(x) pour les valeurs de x proches de l'extrémité droite de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers + - et pour les valeurs de x proches de l'extrémité gauche de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers .
Une fonction polynomiale légendée y égal f de x est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est croissante en passant par l'axe des abscisses négatives, décroissante en passant par l'origine du repère, et croissante en passant par l'axe des abscisses positives. Une flèche horizontale pointant vers la droite est légendée augmente en valeur absolue et il est de signe plus. Une flèche verticale pointant vers le haut est légendée f de xaugmente en valeur absolue et est de signe plus.
Ci-contre la courbe représentative d'une fonction polynôme f. A l'extrémité droite de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs positives et de plus en plus grandes, f(x) prend aussi des valeurs positives et de plus en plus grandes.
Traduction en langage mathématique : si x+, f(x)+. En français : "si x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini" ou "la limite de f en + est +".
Une fonction polynomiale légendée y égal f de x est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est croissante en passant par l'axe des abscisses négatives, décroissante en passant par l'origine du repère, et croissante en passant par l'axe des abscisses positives. Une flèche horizontale pointant vers la gauche est légendée augmente en valeur absolue et il est de signe moins. Une flèche verticale pointant vers le bas est légendée f de xaugmente en valeur absolue et est de signe moins.
A l'extrémité gauche de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue et se rapproche de (!), f(x) prend aussi des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.
Traduction en langage mathématique : si x, f(x). En français : "si x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers moins l'infini" ou "la limite de f en est ".

À vous !

1) Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g.
Une fonction polynomiale est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est décroissante en passant par l'axe des abscisses négatives et croissante en passant par l'axe des abscisses négatives. Elle est décroissante en passant par l'axe des abscisses positives.
Quelles sont les limites de la fonction g à l'infini ?
Choisissez une seule réponse :

Calculer les limites à l'infini

On peut déterminer les limites d'une fonction à l'infini par le calcul.
Calculer ces limites, c'est tout simplement étudier les valeurs de f(x) lorsque que l'on donne à x des valeurs positives et très grandes en valeur absolue ou des valeurs négatives et très grandes en valeur absolue.
Nous allons donc voir comment répondre à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f(x) si x+ ?
  • Quelle est la limite de f(x) si x ?

Le cas où le polynôme est un monôme

Une fonction monôme est une fonction qui à tout x réel fait correspondre y=axn, si a est un réel et n un entier positif ou nul.
On examine quelques exemples.
2) Soit la fonction f qui à tout x réel fait correspondre f(x)=x2.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

3) Soit la fonction g qui à tout x réel fait correspondre g(x)=3x2.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

4) Soit la fonction h qui à tout x réel fait correspondre h(x)=x3.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

5) Soit la fonction j qui à tout x réel fait correspondre j(x)=2x3.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :

Conclusion

Les limites à l'infini d'une fonction monôme f telle que f(x)=axn dépendent à la fois de son degré n et du coefficient a.
Si n est pair les limites de la fonction en et en + sont les mêmes. Selon le signe du coefficient a, elles sont toutes deux égales à + ou toutes deux égales à .
Si n est impair les limites de la fonction en et en + sont opposées. Selon le signe du coefficient a, l'une est égale à + et l'autre à , ou vice-versa
On peut rassembler ces résultats dans un tableau :
Limites à l'infini d'une fonction monôme définie par f(x)=axn
n est pair et a>0n est pair et a<0
Si x, f(x)+, et si x+, f(x)+.
Une fonction cubique est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la courbe est décroissante en passant par l'origine, point d'inflexion, avant d'être décroissante à nouveau. La partie supérieure des deux côtés de la parabole est pleine. Le milieu de la parabole est en pointillés.
Si x, f(x), et si x+, f(x).
Une parabole est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la courbe est croissante en passant par l'origine avant d'être décroissante. La partie supérieure des deux côtés de la parabole est pleine. Le milieu de la parabole est en pointillés.
n est impair et a>0n est impair et a<0
Si x, f(x), et si x+, f(x)+.
Une fonction cubique est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la courbe est croissante en passant par l'origine, point d'inflexion, avant d'être croissante à nouveau. La partie supérieure des deux côtés de la parabole est pleine. Le milieu de la parabole est en pointillés.
Si x, f(x)+, et si x+, f(x).
Une fonction cubique est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la courbe est décroissante en passant par l'origine, point d'inflexion, avant d'être décroissante à nouveau. La partie supérieure des deux côtés de la parabole est pleine. Le milieu de la parabole est en pointillés.

À vous !

Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f(x)=8x3?
Choisissez une seule réponse :

Limites à l'infini d'une fonction polynôme

Qu'en est-il pour les fonctions polynômes ? Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=3x2+7x?
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré.
Donc quand x tend vers ou quand x tend vers +, les limites de 3x2+7x sont les mêmes que celles de 3x2.
Le degré de 3x2 est 2, donc il est pair et le coefficient 3 est négatif, donc : si x, g(x), et si x+, g(x).

À vous !

7) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f(x)=8x57x2+10x1?
Choisissez une seule réponse :

8) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=6x4+8x3+4x2 ?
Choisissez une seule réponse :

Pourquoi est-ce que les limites à l'infini d'un polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré ?

C'est parce c'est le terme de plus haut degré qui a le poids le plus important pour les grandes valeurs de x en valeur absolue.
On va étudier de plus près les valeurs de g(x)=3x2+7x pour des valeurs de x positives et grandes en valeur absolue.
On sait que si x tend vers +, 3x2 tend vers et 7x tend vers +.
Mais quelle est la limite de leur somme ? On calcule les valeurs de 3x2, de 7x et de leur somme pour quelques valeurs de x :
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
10030 00070029 300
10003 000 00070002 993 000
On voit que 3x2 "l'emporte" sur 7x. A mesure que x augmente, la valeur de 7x est de plus en plus négligeable par rapport à celle de 3x2.
Et si le terme en x est 999x plutôt que 7x?
x3x2999x3x2+999x
103009 9909 690
10030 00099 90069 900
10003 000 000999 0002 001 000
10 000300 000 0009 990 000290 010 000
Le résultat est analogue. La somme se comporte comme 3x2.
Peu importe le coefficient du terme en x. Aussi grand soit-il, pour les très grandes valeurs de x la somme se comporte comme 3x2.

Un dernier exercice

9*) Laquelle de ces courbes peut être celle de la fonction h définie par h(x)=8x3+7x1?
Choisissez une seule réponse :

Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g(x)=(23x)(x+2)2 ?
Choisissez une seule réponse :

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