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6e année secondaire - 4h

Cours : 6e année secondaire - 4h > Chapitre 5 

Leçon 2: Propriétés des logarithmes
Mathématiques
6e année secondaire - 4h
Les fonctions logarithmes
Propriétés des logarithmes
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Les propriétés du logarithme

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Les propriétés du logarithme et des exemples d'application.
Produitlog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Quotientlog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Puissancelog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, times, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Ces égalités sont vraies pour tout M, N et b pour lesquels le logarithme est défini, c'est-à-dire pour tout M et N, is greater than, 0 et tout 0, is less than, b, does not equal, 1.

Prérequis :

Vous devez savoir ce qu'est un logarithme. Si ce n'est pas le cas, cliquez ici.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur trois propriétés des logarithmes.
On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

Le logarithme d'un produit : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant sous forme de somme.
Développer log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
5, y est le produit de start color #11accd, 5, end color #11accd par start color #1fab54, y, end color #1fab54. D'après la propriété du logarithme d'un produit :
log⁡6(5y)=log⁡6(5×y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\times \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y) &&{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l'écrivant sous la forme d'un seul logarithme.
Réduire log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Comme les deux logarithmes ont la même base, 3, on peut utiliser la propriété du logarithme d'un produit, dans l'autre sens :
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10×x)=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\times \greenD x)&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un produit, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un produit pour réduire log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

À vous !

1) Développer log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.
 

2) Réduire log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
 

Le logarithme d'un quotient : log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer en utilisant la formule du quotient

Développer log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis en l'écrivant sous forme de différence de logarithmes.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple : Réduire en utilisant la formule du quotient

Réduire log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Comme les deux logarithmes ont la même base, 4, on peut appliquer la propriété du logarithme d'un quotient, dans l'autre sens :
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un quotient, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un quotient pour réduire log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

À vous !

3) Développer log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.
 

4) Réduire log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.
 

Le logarithme d'une puissance : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant comme multiple d'un autre logarithme.
Développer log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log⁡2(x3)=3×log⁡2(x)=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\times \log_2(x)&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire un multiple d'un logarithme en l'écrivant sous forme d'un logarithme seul .
Réduire 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
D'après la propriété du logarithme d'une puissance :
4log⁡5(2)=log⁡5(24)=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

À vous !

5) Développer log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.
 

6) Réduire 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.
 

Un dernier exercice

Dans ces exercices, il faudra utiliser successivement plusieurs propriétés.
7) log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis est égal à :
Choisissez une seule réponse :

8) 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis est égal à :
Choisissez une seule réponse :

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