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6e année secondaire - 4 h

Les propriétés du logarithme

Les propriétés du logarithme et des exemples d'application.


Produit	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Quotient	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Puissance	$\log_{b} (M^{p}) = p \times \log_{b} (M)$ ‍

Ces égalités sont vraies pour tout

M

N

b

pour lesquels le logarithme est défini, c'est-à-dire pour tout

M

N > 0

et tout

0 < b \neq 1

[Pourquoi ?]

Prérequis :

Vous devez savoir ce qu'est un logarithme. Si ce n'est pas le cas, cliquez ici.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur trois propriétés des logarithmes.

On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.

[Voir un exemple numérique]

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant sous forme de somme.

Développer

\log_{6} (5 y)

5 y

est le produit de

5

par

y

. D'après la propriété du logarithme d'un produit :

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \times y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l'écrivant sous la forme d'un seul logarithme.

Réduire

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Comme les deux logarithmes ont la même base,

3

, on peut utiliser la propriété du logarithme d'un produit, dans l'autre sens :

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \times x) \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un produit, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.

Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un produit pour réduire

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

À vous !

1) Développer $\log_{2} (3 a)$ ‍.

2) Réduire $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.

[Voir un exemple numérique]

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer en utilisant la formule du quotient

Développer

\log_{7} (\frac{a}{2})

en l'écrivant sous forme de différence de logarithmes.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) \end{aligned}

Exemple : Réduire en utilisant la formule du quotient

Réduire

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Comme les deux logarithmes ont la même base,

4

, on peut appliquer la propriété du logarithme d'un quotient, dans l'autre sens :

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un quotient, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.

Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un quotient pour réduire

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

À vous !

3) Développer $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Réduire $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.

[Voir un exemple numérique.]

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant comme multiple d'un autre logarithme.

Développer

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \times \log_{2} (x) \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire un multiple d'un logarithme en l'écrivant sous forme d'un logarithme seul .

Réduire

4 \log_{5} (2)

D'après la propriété du logarithme d'une puissance :

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

À vous !

5) Développer $\log_{7} (x^{5})$ ‍.

6) Réduire $6 \ln (y)$ ‍.

Un dernier exercice

Dans ces exercices, il faudra utiliser successivement plusieurs propriétés.

7) $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍ est égal à :

8) $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍ est égal à :

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buatoispierre
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de buatoispierre «merci mais j ai eu du mal ... »
merci mais j ai eu du mal à utiliser les symboles la premiere fois qui apparaissent en bas de l exercice
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6e année secondaire - 4 h

Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 5

Prérequis :

Le sujet traité

Le logarithme d'un produit : logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Exemple : Développer

Exemple : Réduire

Remarque

À vous !

Le logarithme d'un quotient : logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Exemple : Développer en utilisant la formule du quotient

Exemple : Réduire en utilisant la formule du quotient

Remarque

À vous !

Le logarithme d'une puissance : logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Exemple : Développer

Exemple : Réduire

À vous !

Un dernier exercice

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Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍