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La méthode la plus rapide pour obtenir les coefficients du binôme

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo tu vas apprendre une méthode encore plus rapide que celle du triomphe de pascal pour trouver les coefficients binôme you ici on l'appliquait un exemple x plus y à la puissance 7 alors d'abord j'ai préparé le terrain en décrivant tous les termes avec laure leur exposant mais sans les coefficients justement le but c'est de trouver ces six coefficient manquant au milieu on sait que le coefficient d expérience s est toujours un celui de y à la puissance cette c1 également et on sait que les exposants de x dont progressé de 7 jusqu'à 0 et ce 2 y 2 0 jusqu'à 7 donc voilà comment est ce que j'ai comment j'ai préparé ce travail ensuite j'ai eu six numérotés mais terme de 1 à 8 tout simplement g8 terme lorsque je développe x plus y à la puissance est et je les ai numéro terre en vert ici alors voici la méthode maintenant pour obtenir chaque coefficient je vais d'abord te l'expliquer bêtement et ensuite je vais te prouver comment ça se fait que ça marche pour trouver ce terme là il faut multiplier le coefficient du terme d'avant ici un par l'exposant 2x dans le tarn d'avant ici 7 et / le numéro du terme d'avant ici c'est un et voilà comment on obtient 1 x 7 / 1 on obtient 7 pour le coefficient de ce deuxième terme alors le coefficient du troisième terme et maintenant je vais un peu plus rapidement car j'espère que tu comprends comment ça marche ça va être cette fois ci ce ceci si si divisé par deux cette fois ci sur deux donc si sur deux c'est simplifier en trois 3 x 7 21 ce coefficient est égal à 21 ce quatrième coefficient je vais t'expliquer comment ça marche une fois de plus donc je prends le coefficient du tarn d'avant c'est à dire 21 que je multiplie par l'exposant 2 x dont le terme d'avant c'est à dire 5 et que je divise par le numéro du terme d'avant c'est à dire 3 21 / 3 ça simplifie c'est ça donne cette on obtient cette fois 5 est égal à 35 alors je pourrais continuer à appliquer cette méthode pour le reste des termes mais il est encore plus rapide c'est d'appliquer la propriété de symétrie donc on va faire ça si dans ce sens là j'obtiens les coefficients 1 7 21 et 35 eh bien je sais que dans l'autre sens j'obtins la même chose un set 21 et 35 et voilà une méthode extrêmement rapide pour trouver le développement du xviiie siècle à la puissance 7 alors maintenant c'est pas tout j'aimerais généraliser cette méthode un pas seulement à 7 mai à n'importe quelle puissance end et ensuite je vais utiliser la variable cas comme une manière généralisée de numéroter mais terme et à partir de ces variables n est qu à je vais pouvoir généraliser cela à n'importe quel cas et pas seulement celui de xp c'est vrai qu'à la puissance est et par exemple le quatrième terme alors justement intéressons nous à ce quatrième terme et étudions cet exemple d'un peu plus près d'abord comment est ce qu'on obtient ses coefficients avec la méthode officielle et qui a déjà été démontrée alors souviens toi il s'agit de combinaisons ici on a zéro parmi sept ici on a un parmi 7 qui nous donne cette ici on a deux parmi 7 qui nous donne 21 est ici trois parmi 7 qui nous donne 35 etc etc alors et exprimons maintenant ce 21 x 5 / 3 est égal à 35 à partir des briques de base qui sont 3 et 7 finalement ce 35 il est égal à 3 parmi 7 est maintenant exprimons chacun de ces nombres 21 5 et 3 à partir de ces deux briques de base qui sont trois et sept alors 21 ces deux parts bissett c'est le coefficient du terme d'avant et deux à partir de trois on l'obtient en faisant 3 - ou tout simplement ceux - exprime que ont effectué la combinaison du terme d'avant ensuite ce 5 il ya aussi une formule pour l'obtenir à partir de 7 et 2 3 ses 7 - 3 + 1 en fait c'est la différence entre 7 et 3 il ya un décalage de 1 dans notre numérotation relative donc il faut appliquer ce +1 voilà je vais pas expliquer davantage on va pas trop s'attarder sur ce problème et en bas on a tout simplement en trois ans on a la même chose que ce qu'on a ici donc maintenant ici on a préparé le terrain pour notre généralisation parce que maintenant donc ça je les ai exprimé pour un cas particulier mais maintenant j'aimerais démontrer que cette égalité marche pour n'importe quel k&n dans ce cas particulier qui a été égal à 3 et n est égal à 7 et dans le cas général voici légalité que j'aimerais y donneraient cac -1 parmi elles donc cette combinaison la fois ma formule bleues c'est à dire elle - cas + 1 / k est égal à cas parmi aide alors est-ce qu'on arrivera à réécrire cela de manière à obtenir cas parmi elles voyons voir donc on n'a qu'à moins un par mi n ça fait factorielle aide / factorielle aide - cas moins 1 fois factorielle cac -1 factorielle cas - angers faire ça mieux que ça et je vais garder mon aide - cac +1 et au dénominateur g1k qui apparaît alors prochaine étape on à simplifier davantage ses factorielle essayer de se rapprocher de quelque chose qui ressemble à cas parmi n donc mon factorielle elle je vais le garder parce que je sais que ça apparaît dans ma formule de cas parmi end alors par contre est de moins qu'à moins un facteur l2 est de -15 1 alors en fait la même chose déjà que factorielle aide ou un capucin je me débarrasse des parenthèses et factorielle deux aides - cac +1 segal à factorielle est de moins qu'à fois aide - capucins et ça je vais te démontrer pourquoi ça marche et factorielle de cas moins un an je vais leur écrire comme factorielle cas / k et ensuite j'ai toujours mon cas vers qu'il ne faut pas oublier et mon aide - cac +1 en bleu à m et là tu vas voir que des simplifications qui se font et qu'on va finalement obtenir cas parmi elles mais d'abord expliquons comment ça se fait que aide moi factorielle 2ème - cas plus un facteur l2 aide - cac +1 est égal à factorielle est de moins qu'à fois elle - cac +1 alors il suffit de réécrire facteur à l'aide - cac +1 en détail safed - cas + 1 x est de moins qu'à fois aide - cac -1 et et cetera jusqu'à 4 x 3 x 2 x 1 alors en fait tu te rends compte que facteur à l'aide - cas plus un bond à partir de lettres - cac +1 et ensuite on doit diminuer de 1 à chaque fois jusqu'à arriver à 1 et ont fait le produit de tous ces nombreux là et là on se rend compte que head moins qu'à foyers de moins qu'un -1 et cetera jusqu'à 1 bat ça c'est tout simplement factorielle est de moins qu'un est donc là on vient démontrer que factorielle aide - cac +1 ségala aide - cas + 1 x factor elle est de moins qu'à et en appliquant la même logique on peut démontrer que factorielle kabran un ségala factorielle cas / cas très bien donc là maintenant il ya des choses qui s'annulent il ya ce cas / cas et ce aide - cas + 1 / ce est moins qu'à +1 et qu'est ce qui me reste il reste exactement ce que je voulais obtenir c'est à dire factorielle est divisé par un facteur elle est de moins qu'un facteur est le cas ce qui est égal à cas parmi aide et voilà la méthode que j'étais détruite au début de la vidéo et bien je viens de te montrer qu'elle marche pour n'importe quelle puissance aide et que si on connaît le coefficient du terme numéro cas et qu'on connait aussi l'exposant 2 dans ce terme là et bien je peux utiliser ces trois en formation pour trouver le coefficient du terme numéro cac +1 c'est la méthode la plus rapide qu'on connaisse pour calculer mentalement les coefficients bino bio