Exemple résolu : trouver les extremums locaux d'une fonction

déterminés les maximums locaux de la fonction g2x égale x puissance 4 - x puissante cinq donc cette fonction j'ai c'est une fonction qui est définie pour tous les nombres réels x donc on n'a pas de problème de domaine de définition et avant de répondre à cette question on va essayer de se rappeler un petit peu de ce que ça veut dire que un maximum locale un maximum locale et pour ça ce que je vais faire c'est vraiment dessinée comme ça à main levée la représentation graphique d'une fonction donc quelque chose comme ça voilà alors les maximums locaux de cette fonction que je viens de tracer ici eh bien ce sont les ordonner maximale atteinte par la fonction donc j'en ai un ici un là et un là est ce qu'on peut remarquer en regardant un peu plus précisément ce que je viens de dessiner ici c'est que ici la fonction est croissante ensuite elle est décroissante là c'est pareil aux alentours de ce point là elle est d'abord croissante puis décroissante et là c'est pareil elle est croissante puis décroissante c'est que le sens de variations d'une fonction est lié au signe de sa dérive et donc on peut interpréter ça en termes du cygne de la dérivée de notre fonction ici la dérive et est positive la dérive et est positive ensuite elle est négative ça c'est ce qui se passe aux alentours de ce maximum ici locale ici c'est la même chose on a d'abord une dérive et qui est positive et ensuite une dérive et qui est négative et là c'est exactement la même chose on a une dérive et qui est positive et qui change de signe qui devient négative voilà donc un maximum locale d'après ce que je viens de rappeler ici un maximum locale c'est un point oula dérivés j'ai pris mon passe d'une valeur positive alors positive à une valeur négative change de signe mais dans cet ordre là évidemment si on regarde les points où j'ai prime passe d'une valeur négative à une valeur positive en fait on obtiendrait un minimum local tu peux réfléchir à ça de ton côté donc maintenant ce qu'il faut faire c'est déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles j'ai prime passe d'une valeur positive à une valeur négative alors maintenant tu peux mettre la vidéo sur sur pause et essayer de le faire de ton côté alors bien sûr on va commencer par calcul et la dérive et de j'ai donc j'ai primes de x alors c'est la dérive et 2x puissance 4 qui est une fonction puissance sa dérive et ses 4 x puissance 3 - la dérive et 2x puissance inquiète aussi une fonction puissance dont la dérive et et 5x puissance 4 alors je vais factoriser cette expression je peux mettre en facteur ix au cube et donc j'ai primes de x et x au cube facteur de 4 - 5 x alors il s'agit donc d'étudier le signe de jets primes de x et de déterminer les poids pour lequel elle passe d'une valeur positive à une valeur négative alors pour faire ça ce que j'aime bien faire c'est un tableau de signes c'est très pratique tu vas voir je vais le faire ici voilà alors je fais plusieurs lignes je vais t'expliquer pourquoi voilà donc ici sur la première ligne je vais mettre les valeurs de x donc on va de moins l'infini à + l'infini et puis ici sur ces deux lignes je vais m en fait les facteurs qui constituent des primes de x donc d'abord j'ai x au cube et puis le deuxième facteur c 4 - 5 x et donc dans la troisième ligne je vais mettre le produit kg primes de x alors en fait maintenant je vais me servir de ces lignes juste pour déterminer le signe de jets primes de x alors sur cette première ligne je vais mettre le signe de xo pub il est une valeur particulière qui est x et gagnent 0,1 je vais le noter ici et pour x égal zéro x au cube est égal à zéro et par contre quand hicks est négatif x inférieur à 0 est bien x au cube est négatif aussi donc le signe de xo cube c'est négatif sur cet intervalle l'amour infini 0 et c'est positif sur l'intervalle zéro + l'infini voilà alors sur la deuxième ligne je vais mettre le signe de 4 - 5 x alors on peut résoudre cette équation la 4 - 5 x supérieur à 0 pour se demander quand est-ce que 4 - 5 x est positif ça c'est vrai 6 4 est plus grand que 5x et donc 6 x est plus petit que quatre cinquièmes donc j'ai une valeur particulière qui est 4/5 x égale 4/5 je vais le mettre ici et donc ici pour x égale 4/5 et bien 4 - 5 x est égal à zéro voilà et d'après ce qu'on vient de voir 4 - 5 x est positif 6 x est inférieure à 4/5 donc surtout cet intervalle à moins l'infini 4/5 quatre mois 5 x est positif ici j'ai un plus est par contre si x est plus grand que quatre cinquièmes et bien 4 - 5 x sera négatif donc là je vais mettre un mois c'est ce que je vais faire en fête s'est prolongée c'est très là pour voilà bien déterminé les intervalles où il ya des changements de signe donc là pour x plus grand que 4 5m x au cube est positif aussi est ici pour x plus petit que 0,4 moins 5 x est positif voilà est maintenant bien je vais pouvoir déterminer très facilement le signe de jets primes de x puisque j'ai primes de x est le produit de xo cube x 4 - 5 x donc sur cet intervalle là c'est le produit d'une quantité négative par une quantité positive donc c'est négatif et puis ici pour x égal 0 bien la dérive et s'annule ici g10 ensuite entre 0 et 4 5e donc pour x compris entre 0 et 4 5e les deux facteurs sont positifs donc j'ai prime est positive pour x et 4/5 ce facteur là ça nul donc la dérive et s'annule aussi et enfin pour x plus grand que quatre cinquièmes et bien j'ai des facteurs qui sont deux signes contraires donc la dérive et elle est négatif voilà hélas dans ce tableau là on a en fait tout ce qu'il nous faut pour répondre à cette question puisque on voit que le seul point où la dérive et passe d'une valeur positive à une valeur négative et bien sûr le point d'absys x égale 4/5 c'est celui là donc on a un maximum mum locale pied atteint pour x égale 4/5 donc là il faut faire attention parce que très souvent on confond le maximum locale avec cette valeur là en fait c'est pas tout à fait ça c'est la valeur de x pour laquelle on atteint le maximum locale et le maximum locale le maximum local c'est g de 4/5 donc j'ai de 4/5 les quatre cinquièmes élevé à la puissance 4 - 4/5 élevé à la puissance 5 voilà je te laisse calculer cette expression là la simplifier ce serait un peu long pour cette vidéo donc je te laisse le faire à bientôt