Changement de variable trigonométrique

ok dans cette vidéo on va essayer de calcul et l'intégrale entre 0 et 3 racines de 2 sur 4 2 1 sur racine de 3 - 2 x car et dx hockey basse cette intégrale on voit pas de primitives qui apparaît évidemment sauf si on est très expérimenté danseurs de fonction on voit pas non plus de changement de variables traditionnel avec u égal quelque chose en fonction de x à faire parce qu'on voit pas un petit bout de fonction et sa dérive et qui apparaissent dans la même expression par contre lundi ce qu'on a c'est la racine carrée la soustraction sous la racine et le x carrés sous la racine et ça ça nous dit que le change le changement de variables par les fonctions trigonométriques va sans doute nous donner des résultats probants jeu je vais te rappeler quelle est la logique de ça eh bien on part d'une minoterie d'une identité trigonométriques très connus insinue ce carré de teta plus caussinus carette et à égal 1 ça c'est vrai pour tout angle d'état et on remarque cette identité se réécrit se réécrit en exprimant caussinus carré de teta par exemple en écrivant caussinus carré de tête à égal 1 - sinus carré de teta on peut aussi s'en tirer en exprimant sinus carette état mais en un petit peu moins de problèmes de signes en procédant dans ce sens là et donc en prenant à la racine des deux côtés on n'obtient que pour les valeurs positives du coc sinus le cosinus de teta est égal à racine de 1 - sinus carette état et quand je regarde racines de 1 - sinus carette état je me dis qu'il ya quand même des ressemblances avec la racine qui est dans l'intégrale racines de 3 - 2 caussinus carrey band à la soustraction on a le carré et donc l'idée ça va être trans de transformer un petit peu la fonction gesu l'intégrale pour pouvoir faire apparaître une racine qui va vraiment ressembler à celle de l'identité trigonométriques que je viens d'écrire du côté droit voilà donc on va essayer de travailler un petit peu pour résorber les différences entre ces deux racines car un première chose que je vois c'est que dans mon intégral g3 - quelque chose et dans mon identité trigonométriques g1 - quelque chose on pourrait peut-être s'arranger essayer d'arranger ça pour arranger ça on va tout simplement sous leur intégrale factoriser le 3 enfin factoriser par racine de 3 donc je réécris mon intégral jusqu'à présent je fais aucun calcul je me contente juste de factoriser j'aurais écrit mon intégral sous la forme intégrale de zéro à trois racines de 2 sur 4 2 1 sur et lâche factories racines de trois fois racines de 1 - 2/3 de x carré et je n'oublie pas de x dx al alagi juste factoriser le racine de droit et maintenant quand je regarde leurs racines de 1 - 2/3 de x car et je me dis que ça nous arrangerait bien que le deux tiers 2 x carré on puisse l'appeler sinus carita et c'est exactement l'esprit du changement de variables qu'on va faire on va tout faire pour que le deux tiers 2 x carré on l'heureuse puisse s'appeler sinus carette état et bien pour ça il faut poser que sinus l'état est égale à la racine de tout ceci c'est à dire à racine de 2 sur racine de 3 x x donc on s'arrange pour que notre changement de variables ce soit sinus l'état égale racines de 2 sur racine de 3 x x et bien donc là ce qu'on va faire c'est que on va essayer de réexprimer le dx et d'exprimer les bornes donc on sait que c'est plus commode à faire lorsque le x est tout seul exprimée en fonction de tes tu as donc là je vais juste faire une multiplication dans cette égalité pour obtenir x tout seul et j'obtiens x égale racines de 3 sur racine de 2 fascinus d'état ça c'est pas une ça c'est pas un problème ensuite ce qu'on fait en général c'est qu'on dérive le dx en fonction de l'état on écrit dx sur des états et or multiplie par dt ta voie lactée permission je vais faire ça d'un coup je vais dérivés x en fonction de tes tage 2 x dette et a en même temps c'est à dire que je vais écrire directement dx égale dx égale quoi dx égale la dérivée de la fonction racines de 3 sur racine de sinus et à ça c'est pas fou c'est pas difficile la dérivée du sinus et le cosinus c'est donc ses racines de 3 sur racine de de cosinus l'état et on n'oublie pas qu'on a remué x dette et a donc fois des états et donc monde et x quand je ré écrire l intégrale en fonction de l'état je le remplace par racine de 3 sur racine de deux caussinus tête-à-tête et à bien donc tu as compris que ce qu'on veut absolument c'est réécrire cette intégrale en fonction de tes ta peau pour qu'elles soient plus simples et pour qu'on puisse la calculer maintenant la seule chose à régler c'est le problème des bornes dans notre énoncé x varie entre 0 et 3 racines de 2 sur 4 dans quel intervalle varie t ta et pour le savoir il faut exprimer cette fois l'état en fonction de x pour exprimer teta en fonction de x 20 on repart de l'égalité qu'on a un peu plus haut qui nous dit qu sinus et à ses racines de 2 sur racine de 3 x x et on va prendre l'arc sinus des deux côtés pour isoler et à et on obtient que tu es tu as c'est l'arc sinus de on va écrire plus simplement voulu écrire x racines de 2 sur racine de trois saveurs ça donne moins d'ambiguïté quand on parle ensuite donc est assez l'arc sinus 2x racines de 2 sur racine de trois et non qu'on se demande lorsque xv au héros combien vos états lorsque xo-3 racines de 2 sur 4 combien vote et a alors lorsque xo 0t tassé l'arc sinus 2-0 racines de 2 sur racine de droit c'est donc l'art sinus 2 0 et l'arc sims 2 0 c'est zéro et lorsque xv aux trois racines de 2 sur 4 eh bien tu est assez large l'arc sinus 2 écrivons le prudemment x c'est-à-dire trois signes de 2 sur 4 que je dois encore x racines de 2 sur racine de toi et bien cette expression la soul à cette expression là dans l'art sinus se simplifient c'est un petit calcul avec des racines racines de deux fois racines de deux ça fait 2 qui va simplifier avec le 4 3 sur racine de trois ça simplifie également toujours est il que l'on obtient arc sinus de racines de 3 sur deux ce qui te montrent que j'ai pas choisi la borne supérieure de l'intégrale par hasard je les choisis pour obtenir racines de 3 sur deux pourquoi parce que l'angle entre bout entre - pis sur deux épis sur deux dont le sinus vos racines de droit sur deux on le connaît bien si si tu as du mal à le voir je te conseille de faire un petit certes trigonométriques pour te pour voir de quel angle il s'agit tuèrent a tout de suite qu'il s'agit de l'anglais puis sur trois donc tu es tu à cépie sur trois donc en fait mon intégral quand je fais la réécrire en termes de teta elle va être entre 0 et puis sur trois d'un faisan le tout de suite donc non intégral en fonction de l'état devient l'intégrale entre 0 et pis sur trois de quoi là on avait le dx et le dx dans cet aperçu qui devient racines de droit sur racine de 2 continue stade et étagée déjà écrire ça donc on écrit le racing ii iii sur racine de deux fois caussinus teta fois des états ensuite on fait la barre de fractions qu'on avait sous l'expression d'intégrale et au dénominateur de cette fraction qu'est ce qu'on avait ben on avait un racines de trois et on multipliait sa part racines de 1 - 2/3 de x carré mais on a dit qu'on s'était arrangé pour que le deux tiers de litre carrés ce soit sinus carette et a donc je vais obtenir racines 2-1 - sinus carried d'état voilà et donc j'ai voit ici mon intégral en fonction de l'état et dans cette intégrale main tous simplifie tout se simplifient enfin bon presque tous se simplifient déjà on peut barrer les racines de trois les racines de 3 simplifie et quand on regarde la racine de 1,20 sinus carré de teta est bon on l'a écrit on l'a écrit là haut stoute cette racine sa elvo caussinus d'état donc cette intégrale peut se réécrire l'intégrale entre 0 et pis sur 3 2 on a ou on a barré les racines de 3 donc on les réécrit pas caussinus et assure il nous reste un racines de 2 est la racine l'autre racines c'est devenu caussinus teta fouad est et à l'est caussinus on les bars et qu'est ce qui nous reste n'at il ne reste plus grand-chose à il nous reste l'intégrale entre 0 et pis sur trois de dettes et assure racines de 2 autrement dit je dois prendre la primitive de la fonction constante 1 sur racine de 2 et la primitive d'une fonction constante la meilleure primitif c'est la fonction linéaire autrement dit et assure racines de deux jolies pacma variable s'appelle tête-à tête assure racines de 2 à prendre entre 0 et puis sur trois arrêts donc la grèce plus qu'à remplacer tea-party sur trois est en place était à part 0 et à faire la différence bon on va même faire moins que ça quand on remplace t ta part 0 on sait que ça fait zéro donc la seule chose à faire c'est de remplacer d'état directement par pi sur trois donc on remplaçait à partie sur trois et ça nous donne un résultat de pi sur trois racines de 2 et comme on aime pas trop laisser les racines au dénominateur mans multiplient en haut et en bas pas racine de deux ça nous fait lire à sin de 2 sur 6 comme résultat de cette intégrale