Limite de la composée de deux fonctions - exemples

soit la courbe représentatives de la fonction gsl de la fonction h sur l'intervalle -4 4 donc ici c'est la courbe de j'ai hélas la courbe 2 h et on nous demande de calculer si elles existent la valeur de la limite quand x envers trois de la fonction j'ai de h2x donc d'une fonction composé alors pour faire ça on va utiliser le théorème de la limite de fonctions composaient qui nous dit que la limite quand x temps vers 3 de g de h2x et bien c g 2 la limite quand x temps vers 3 de h2x ça c'est notre théorème qui va nous permettre de calculer le cette limite là mais il faut faire quand même très attention parce que ce théorème là évidemment il n'est pas toujours vrai il faut vérifier que les conditions d'application de ce théorème sont vérifiées alors je vais les rappeler ici et on va les vérifier la première condition c'est que cette limite là soit un nombre fini qu'elle existe et que ce soit un nombre fini donc il faut que la limite quand x temps vers 3 de h2x gal un nombre réel donc un nombre fini ce qui veut dire que la fonction h ne peut pas attendre à plus ou moins l'infini quand x temps vers 3 et puis enfin la deuxième condition c'est qu'on puisse calculer la limite de la fonction j'ai quand x envers ce nombre-là elle donc il faut que la limite quand x temps vers elle 2 x east alors quand je dis existe c'est que ça peut être soit un nombre fini soit plus ou moins l'infini mais il faut que les limites à droite et à gauche coïncident alors évidemment si la fonction j'ai continuant elle est bien on sera sûr qu'à aucun problème donc ça sera le cas le plus simple alors on va vérifier la première condition en fait on va calculer la limite quand x envers trois de h2x on va essayer de voir si elles existent donc la fonction achats elle est ici est ce qu'on peut voir c'est que l est pas défini pour x égal 3 mais ça c'est pas forcément gênant pour la limite c'est pas parce qu'une fonction n'est pas défini en un point qu'elle n'a pas de limites fini en ce point là et d'ailleurs on va regarder on va commencer par regarder la limite à gauche donc quand x temps vers 3 par valeurs négatives comme ça enfin par valeur inférieure à 3 alors ici en fait la fonction est constante sur ce tronçon là donc on va assez facilement au revoir que la limite 2 h temps x temps vers 3 par la gauche eh bien ces deux effectivement h2c 2h de 2,5 c 2 au 6 h de 2,9 ça sera deux et h de 2,99 ça sera 2h de 2 9 9 9 9 9 9 9 ça sera de aussi donc la limite à gauche quand x temps vers 3 de la fonction h c'est eux et quand on regarde ce qui se passe quand on fait tendre x à 3par valeur supérieure à 3 donc en venant de la droite eh bien c'est exactement la même chose h24 ces deux âges de 3,5 c 2 h de 3,1 ces deux âges de 3,01 c2 et h de 3 000 001 ça sera toujours deux donc ici on voit que les limites à gauche et à droite de la fonction h quand x temps vers 3 elle coïncide elles sont toutes les deux égale à 2 ce qui veut dire que cette limite là et bien ces deux alors maintenant ce qu'on doit donc vérifier c'est la deuxième condition il faut que j'aie soit continu en x égal 2 et là on voit que c'est tout à fait le cas la fonction j'ai n'est pas défini pour x égal moins trois mais elle est tout à fait défini et continue en x égal 2 et le point x égal 2 il est ici et donc l'image de deux par la fonction j'ai c'est zéro donc j'ai 2 2 est égal à zéro ce qui nous permet finalement de conclure la limite quand x temps vers 3 2 g de h2x et bien cg22 c'est-à-dire 0 allez on va faire encore un ou deux exemples du même genre alors celui ci déjà ici on a la courbe représentatif d'une fonction h la courbe représentative d'une fonction j'ai ici toutes les deux sur un intervalle moins 4,4 et on nous demande de calculer la valeur si elles existent de la limite quand x temps vers -1 de h2g2 x alors comme tout à l'heure on va déjà vérifier si la première condition est vérifié c'est à dire qu'on va essayer de calculer la limite quand x temps vers -1 2 g2x dès la courbe représentatif de jets qui est ici est en fait ici en x égal moins on a une asymptote vertikal-1 priori c'est une asymptote verticale on a donc une discontinuité ici effectivement si je tends vers la valeur - un par la gauche comme ça en venant de la gauche ici et bien a priori on se rapproche comme ça on descend vers moins l'infini donc la limite à gauche de la fonction j'ai en x égales - 1 eh bien ça semble être moins l'infini alors que si je tends à -1 en venant de la droite comme cela et bien on a l'impression que les images elles dans le vert plus l'infini ici vers le haut ce qui correspond fait qu'on a eu des symptômes verticale ici donc la limite quand x d'anvers moins un à droite de la fonction g et bien c'est plus l'infini finalement ce qui est important c'est que les deux limites à gauche et à droite de la fonction j'ai un x égales - 1 et bien elle ne coïncide pas et donc cette limite là elle n'existe pas elle n'existe pas puisque les limites à gauche et à droite ne coïncident pas et donc il y a aucun moyen de calculer cette limite là cette limite là en fait n'existe pas non plus voilà pour cet exemple on en fait un autre celui ci alors on nous demande de calculer la valeur de limites quand x temps vers -3 2 h de fgx h2x est ici eve 2 x est là alors on va commencer par calcul et la limite quand x temps verts - 3 de f 2 x parce que la fonction f elle est définie en moins trois sa valeur ces quatre un f2 moins trois c4 mais ça ne coïncide pas avec la limite quand x temps vers -3 2 f 2 x puisqu'en fait ici à la fonction n'est pas continue en moins 3 donc il faut qu'on calcule cette limite il faut qu'on calcule la limite à droite et la limite à gauche donc la limite à gauche c'est celle ci un camp x anvers - 3 en venant de la gauche eh bien on se rapproche comme ça sur la courbe on se rapproche comme ça de cette valeur-là un donc la limite à gauche de f quand x temps vers moins trois c1 et quand on tend vers 3 ans venant de la droite par valeur supérieure à moins 3 eh bien on se déplace comme ça sur la courbe tu vois que on se rapproche aussi de la valeur 1 donc les limites à gauche et à droite en x égal moins 3 de fgx est bien elle coïncide elles sont toutes les deux égal à 1 ce qui veut dire que la limite quand x temps vers -3 2 f 2 x et bien c'est un et du coup maintenant on doit regarder quelle est la limite quand x temps vers 1 de h2x alors ici on a comme tout à l'heure une asymptote verticale en x égal enfin d'équations x égal 1 c'est cette droite là donc a priori la limite quand x tend vers un an venant de la gauche c'est moins l'infini et la limite quand x tend vers un an venant de la droite et bien c'est plus l'infini ce qui veut dire que la limite quand x tend vers un 2 h en fait elle n'existe pas cette limite là en fait elle n'existe pas non plus