Dérivation implicite - exemple

alors je te donne cette relation là qui est assez étrange entre les nombreux x et y de puissance x y au carré est égal à x - y alors pour te montrer à quel point cette relation là est assez étrange j'ai tracé ici l'ensemble des solutions de cette équation là c'est à dire en fait c'est l'ensemble des points xy qui vérifie cette relation e puissance xy au carré égale x - y alors ici ce qu'il faut pas perdre de vue c'est que en fait quand je note y est bien je peut le considérer comme une fonction de x donc ici y en fait c'est y 2 x et dans cette vidéo ce qu'on va essayer de faire c'est de calculer la dérive et y primes de x donc la dérive et y prime qui est la dérive et de cette fonction-là y de x donc comme tu l'as remarqué probablement en fait ce qu'on doit faire et si c'est une dérivation implicite et on a vu que pour ça ce qu'il fallait faire ces dérives et chaque membre de notre équation ici alors comme tu le sais on l'a vu dans d'autres vidéos il ya eu notre notation qui est très utile et qui est assez intéressante c'est cette notation la de dérivés parce que ici en dérive la fonction y par rapport à x et on le note comme ça des sur des x 2 y donc ici tu auras reconnu que ce qu'on va essayer de faire c'est une dérivation implicite 1 et on a vu dans d'autres vidéos que pour faire ça ce qu'il fallait faire ses dérivés chaque membre de la relation qu'on a ici donc on va dériver ici par rapport à x ce membre là et on va dériver aussi ce membre là par rapport à x voilà je l'écris comme ça et en fait ici comme tu le vois on va dériver tout par rapport à x donc ce qu'on peut faire c'est d'écrire un petit peu plus simplement comme ça avec l'annotation habituel on va dériver ça par rapport à x et ça par rapport à x donc je l'écris comme ça il faut savoir que quand on va dériver y par rapport à x évidemment il ne faut pas considérer que y est une constante c'est une fonction de x qu'on ôte y mais qu on devrait noter en fait y de x alors je vais commencer maintenant le travail de dérivation donc je dois dérivés cette fonction-là par rapport à x et comme ici on a une fonction exponentielle et bien finalement la dérive et par rapport à x de cette expression là et bien c'est eux élevés à la puissance x y au carré x la dérive et 2 x y au carré voilà ça c'est pour le membre de gauche et maintenant on va faire la même chose avec le membre de droite donc ici en fait j'ai la dérive et 2x par rapport à x - la dérive et de y par rapport à x alors là ça c'est tout simplement un qui est la dérive et 2x par rapport à x - la dérive et de y par rapport à x c'est-à-dire moins y prime je l'écris tout simplement comme ça ça c'est pour le membre de droite qui est assez simple maintenant il faut qu'on avance un petit peu pour le nombre de gauche alors j'ai eu puissance x y au carré pour lequel je ne peux rien faire et puis ensuite il faut que je dérive ce produit là en fait comme je viens de le dire c'est un produit donc je vais appliquer la règle de dérivation d'un produit donc ça ça me donne la dérive et 2 x c'est-à-dire un x y au carré donc ça je peux l'écrire directement comme ça y au carré plus x fois la dérive et de y au carré par rapport à x est là pour faire ça et bien il faut utiliser la règle des fonctions composé en fait ici en à y de x au carré donc quand je dérive ça eh bien ça me donne deux fois y 2 x x y primes de x donc j obtiens ici + x x 2 dont + 2 x x y x y primes et ça c'est égal à 1 - y prime maintenant je vais tout simplement développer le terme de gauche donc je vais multiplier depuis 106 y au carré par y au carré ça ça me donne y au carré x e puissance x y au carré plus le deuxième terme qui ai eu puissance xy hocquart f x 2 x y/y prime donc ça ça me donne plus 2 x y/y prim x e puissance x y au carré et donc ça c'est égal à 1 - y prime alors maintenant il faut pas oublier notre butin notre but c'est de trouver une expression de la fonction dérivés de y donc ce que je vais faire c'est mettre tous les y prime d'un côté et tous les termes sans y prime de l'autre donc pour ça je vais soustraire y aux caresses x e puissance xy au carré des deux côtés donc ça va me faire passer ce terme-là aux membres de droite et puis je vais ajouter y prime des deux côtés donc ça va me faire passer ce mois y prime de l'autre côté alors je vais obtenir ça je vais arrêter d'utiliser les couleurs ça va me donner y primes + 2 x y poids y prit une fois le puissance x y au carré égal à 1 - y au carré x e puissance x y au carré alors maintenant je vais remonter un petit peu parce que j'ai plus beaucoup de place en fait ici j'ai un facteur commun qui est nôtre y prime ici donc je vais le mettre en facteurs ça me donne y prime facteur 2 un + 2 x y x e puissance x y au carré et ça c'est égal à 1 - y au carré sur eux puissance x y au carré et là j'ai presque terminé puisque maintenant si je veux une expression de y prime eh bien il me reste plus qu'à diviser par ce terme là tous cette entité là et ça me donne du coup y prime égale alors le numérateur c1 - y au carré x e puissance x y au carré et jeudi visent tous à part cette quantité l'a donc un + 2 x y eu puissance x y au carré voilà et là on a terminé ça c'est la dérive et de la fonction y compte cherchait alors effectivement elle est très compliqué mais fondamentalement la méthode ne diffère pas du tout de ce qu'on a fait dans les vidéos précédentes