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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va supposer que tu a désespérément besoin d'un euro et donc tu me racontes ça mais ce que tu ignores c'est que moi je suis un requin de la finance et que j'ai des outils très efficaces pour traiter ce genre de choses et donc le te propose de prêter un euro et tu me remboursera avec 100 % d'intérêts au bout d'un an c'est à dire que voilà je dessine la période de 1 an comme ça et au bout d'un an donc tu me rembourse cette somme là de 1 euro avec 100 % d'intérêt donc ici c'est sur un an et donc au bout d'un an ce que tu dois me rembourser c'est l'euro que j'étais prêté au départ plus les intérêts c'est à dire plus 100% 2 7 euros 100 % x 1 alors ça évidemment on peut l'écrire un peu mieux parce que 100% c1 est donc 100 % x 1c un aussi donc les intérêts en fait c'est un heureux donc en tout tu dois me rembourser 2 euros peut-être que cette paraîtra beaucoup je te prête un euro et en fait tu dois me rendre 2 au bout d'un an donc c'est peut-être pas très intéressant pour toi et donc tu me demandes de trouver une solution et tu me dis mais moi je peux te rembourser au bout de six mois en fait dans ce cas là si tu veux tu te prête un euro mais tu me le rend au bout de six mois donc six mois c'est la moitié d'un an est ce que je vais faire cette donnée un taux d'intérêt diminué en fait je vais te donner la moitié du taux d'intérêt donc au bout de six mois donc ça c'est pour le taux d'intérêt au bout de six mois donc au bout de six mois tu dois me rembourser la valeur initiale la somme que j'étais prêté au début plus 50% cinquante pour cent de cette somme là donc 50 % x 1 alors 50% c'est 0.5 x 1 donc ça fait un demi donc ce que tu dois me rendre finalement au bout de ces six mois c'est un plus 0.5 donc 1,5 1,5 euro alors imaginons qu'au bout de ces six mois tu ne puisse pas rembourser 7 euros et 50 centimes donc moi je te dis ben écoute ci a aucun problème est ce qu'on va faire du coup c'est supposer que j'étais prêté 7,50 que tu m'as pas encore remboursé et je te permet de me le rembourser dans six mois toujours au même taux d'intérêt donc dans les mêmes conditions donc ici tu vas avoir une deuxième période avec encore une fois 50 % d'intérêt donc pour les six prochains mois donc finalement ce que tu dois me rembourser au bout de cette deuxième période de six mois eh bien c'est la somme qui avait au bout de la première période de 6 mois donc 1.5 plus la moitié de cette somme donc 0,75 donc 1.5 +0 75 ça fait 2,25 alors on aurait pu trouver cette valeur là aussi de manière différente en se disant que la somme qu'on a placé au départ au bout d'une période elle a été multipliée par 1,5 puisque ce qu'on fait c'est prendre la somme de départ et ajouter les 50 % d'intérêt donc on se confesser prendre 100 % + 50 % de la somme de départ c'est-à-dire 150 % ce qui correspond à x 1.5 donc ici sur la première période qu'on a fait c'est multiplier la somme de départ par 1,5 et sur la deuxième période on fait exactement la même chose on multiplie la somme de départ qui est donc celle au début de la deuxième période où la fin de la première comme tu veux et on l'a multiplie par 1,5 puisque là aussi ce qu'on fait c'est prendre 100 % de cette somme et lui ajouter 50 % de cette somme alors ça c'est intéressant de voir les choses de cette manière là parce que finalement quand on part de la valeur initiale ici qu'est un euro et bien pour obtenir la somme due au bout des deux périodes donc au bout d'une année eh bien on va multiplier une fois par 1.5 et une deuxième fois par 1,5 donc on va écrire c'est de cette manière là en fait c'est un x 1,5 élevée au carré ici en fait si on regarde il s'est passé exactement la même chose on part d'une somme de 1 euro et au bout d'une période cette somme a été augmenté de 100% c'est à dire que en fait elle a été multipliée par 2 100 % c'est 100% de la somme plus 100 % d'intérêts donc c'est 200 % de la somme c'est à dire comme aïssi multiplié par deux ici c'est une multiplication par 2 et du coup la somme au bout de la période de 1 an et bien c'est un fois de élevé à la puissance 1-2 élevé à la puissance alors je vais utiliser des couleurs parce que ici qui est intéressant c'est qu'on a une période et qu'on obtient cette expression la 1 x 2 élevé à la puissance inquiets la période et ici on a deux périodes et la somme qu'il faut rembourser à la fin c'est un x 1.5 qui est le facteur multiplicatif ici exposé en deux qui est ici le nombre de périodes donc ici ce qui est intéressant c'est qu'on a des expressions qui font apparaître le nombre de périodes pour rembourser la somme totalement et tu vas voir que ce que je vais faire maintenant c'est montrer qu'en fait on peut réécrire ça en faisant aussi intervenir le taux d'intérêt alors dans le premier cas ici on a la somme initiale x et je vais essayer dans la parenthèse de faire intervenir le taux d'intérêt et pour ça je vais l'écrire comme ça ça va te paraître un petit peu artificielle peut-être mais plus on ira en avant plus tu comprendras pourquoi je fais ça ici donc je vais écrit que c'est un qui correspond à la somme initiale on va dire plus 100 % 100% divisé par le nombre de périodes 100% divisé par le nombre de périodes que je mets en bleu alors on va essayer de faire ça la même chose dans le cas de notre deuxième situation donc j'ai la valeur initiale la valeur emprunter x 1 plus 6 pour rembourser 100 % de la somme 100 % de la somme eh bien il m'a fallu deux périodes donc ici ce que je vais écrire c'est un plus 100% divisé par deux et je vais élever sa à la puissance 2 donc là aussi ça marche parce que 100% ça fait un don qui si on a un plus un demi qui est effectivement égale à 1,5 voilà donc ça c'est intéressant mais bon c'est des explications que je te donne mais toi tu es toujours pas convaincu parce que cette fois ci avec ma proposition tu dois me rembourser 2 25 euros donc c'est ça te plait toujours pas et tu me demandes si on pourrait pas avoir quelque chose du genre mais avec un remboursement mensuel par exemple sur une année alors je te dis oui bien sûr je peux faire ça si tu veux et je vais t'expliquer la situation du coup ici j'ai l'euro que je te prête et tu vas me le rembourser avec un taux d'intérêt par mois et ce taux d'intérêt en fait eh bien je vais tout simplement le calcul et en disant que c'est 100 % / 12 puisque je t'avais proposé un un taux d'intérêt de 100 % annuels si tu me remboursait en un an là je te propose un taux d'intérêt de 100 % / 12 mensuel mensuels 1 la première chose c'est de quelques finalement le taux d'intérêt qui serait appliqué sans / 12 donc ça je vais le faire sans divisés par 12 ça fait donc un taux d'intérêt de 8,33 on va arrondir à 8,33 8,33 % mensuel donc l'eau taux d'intérêt finalement c'est 8,33 % bon c'est détroit qui se répète je veux noter comme ça alors qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que à chaque période d'un mois la somme empruntée va être augmenté de 8 33% ce qui veut dire que tu vas avoir à rembourser la somme initiale +8 33% de cette somme donc finalement ce qui va se passer c'est que ici la somme que tu es emprunter va être multiplié par 1,0 83 bon avec détroit qui se répètent derrière du coup au bout d'une période je n'ai pas du tout fait les choses à l'échelle puisque ici je vais avoir douze périodes mais au bout de la première période d'un mois ce que tu dois me rembourser ces c 1,083 euros donc un peu moins d'un euro et 10 centimes ça c'est au bout du premier mois au bout du deuxième mois tu vas encore une fois multiplié cette somme par 1,083 et du coup la somme que tu dois me rembourser au bout de deux mois c'est 1,8 0,83 le tout au carré et là tu vois peut-être ce qui va se passer quand je continue de cette manière là sur les douze période pour arriver à un remboursement sur un an et bien ici donc j'ai douze fois ce mécanisme là à chaque fois je multiplie par 1,083 que j'écris comme ça toujours ici aussi donc pour la dernière période là j'ai douze périodes donc ici c'est la douzième période et la somme que tu me dois cette douzième période c'est la valeur que tu as emprunté au départ 1 euros multiplié par le facteur multiplicatif donc 1,083 alors avec une petite barre élevé à la puissance le nombre de période c'est-à-dire ici 12 alors ici on peut aussi exprimé cette somme là sur ce modèle là on va avoir la somme de départ x alors ici on aura un plus 100% 100% que j'ai remboursé sur 12 période d'un mois donc ici on aura un plus 100 % / 12 et tu vois que c'est tout à fait cohérent puisque ici 100 % / 12 en fait ça donne le taux d'intérêt mensuel donc ce facteur-là ici c'est bien le facteur 1,083 et bien sûr pour terminer il faut élever toute cette parenthèse à la puissance 12 on va calculer cette valeur je vais prendre la calculatrice donc ici j'ai un la somme initiale x entre parenthèses un plus alors 100% c'est la même chose que 1 100 % est égal à 1 / le nombre de périodes qui est 12 la parenthèse et puis j'élève tout ça à la puissance 12 voilà et on trouve 2,6 113 voilà je vais rebondir à sa 2 613 donc cette somme là finalement elle est égale à 2,6 en 13 voilà bon à ce stade là tu as complètement oublié l'euro que tu dois absolument emprunter et tu commences à être vraiment intrigué par ce qui se passe quand on compose des intérêts comme ça et tu me demandes si on peut regarder ce qui se passe si tu devais rembourser chaque jour par exemple donc je te réponds que oui c'est tout à fait possible et voilà ce qu'on va faire je te prête un euro et tu va me rembourser tous les jours une partie de la somme et pour calculer le taux d'intérêt sur une journée et bien tout simplement je vais diviser le taux d'intérêt de 100% par le nombre de jours donc le taux d'intérêt ça va être 100% diviser par 365 qui est le nombre de jours dans une année et là on va donc calculer les intérêts composés à partir de cette somme de 1 euro avec ses intérêts quotidiens donc journalier tous les jours et on va les composés sur 365 période donc ici on va imaginer qu'il ya 365 période je vais l'écrire 365 période 365 jours dans l'année et donc la somme que tu vas devoir me rembourser c'est un qui est donc la somme initiale la somme que j'étais prêté x alors entre parenthèses ici on va avoir un plus 100% diviser par 365 et ça on va l'élever au nombre de périodes donc ici c'est 100% remboursé en 365 période et je vais l'élever à la puissance 365 alors quand tu observes cette expression là tu as une quantité qui est plus grande que un conte élèves à la puissance 365 donc la première impression qu'on m'a peut-être c'est que ça va nous donner une valeur énorme puisqu'on l'élève à la puissance 365 mais ce qui est intéressant c'est que finalement ici dans la parenthèse on a quelque chose qui est très très proche de 1 donc d'une certaine manière la petitesse de la parenthèse compense le très grands exposants qu'on a ici donc tu vas voir ce que ça donne c'est intéressant donc je vais calculer cette expression un fois entre parenthèses un plus 100% c'est égal à 1 / le nombre de périodes 365 le taux élevé à la puissance 365 et ça nous donne 2,714 15 alors je vais le mettre à côté puis je vais le recopier donc ça fait 2,7 1 4 5 6 7 5 6 7 4 8 2 et ça continue il yad'autres décimales après alors ce qui est intéressant c'est que là contrairement à ce qu'on pouvait attendre on n'a pas tout d'un coup une valeur qui est énorme puisqu'on l'a élevé à la puissance 365 en fait on semble s'approcher d'un nombre fini qui est pas si grand que ça 2,7 1,4 et voilà ce nombre-là en fait c'est un nombre très important en mathématiques dans toutes les sciences en physique en biologie donc un nombre vraiment particulier qui s'appelle le nombreux et sur les calculatrices on a cette touche là depuis 106 e puissance x alors je vais le faire je vais calculé eux élevés à la puissance un comme ça voilà et ça donne cette valeur là 2,7 1,8 de 8 1-8 2,8 bon c'est une valeur approché mais tu vois que ici on est très proche de la valeur qu on a obtenu tout à l'heure et en fait si tu fais ce calcul là avec une autre période un autre exposant plus grand tu vas te rapprocher encore plus de ce nombre là 2.782 8 1-8 de 8 qui est ce fameux nombreux qu'on aura l'occasion d'étudier plus en avant dans d'autres vidéos et qui est vraiment un nombre extrêmement mystérieux extrêmement important pour les sciences