Démonstration de la formule de Héron - partie 2

dans la vidéo précédente j'avais j'étais arrivé à cette formule là pour donne pour calculer l'air d'un triangle connaissant la longueur des trois côtés donc un triangle par exemple comme ça avec des côtés de longues heures à b et c j'avais donc fait que ce fait des calculs et j'étais arrivé à cette expression là cette formule-là qui donne l'air en fonction des trois côtés à b et c et j'avais affirmé que je pouvais transformer cette écriture là en la formule de héron que j'avais donnée dans une vidéo encore avant donc j'affirme que par des transformations algébrique jeu peut transformer cette formule-là ans la formule de héros voile alors c'est ce que je vais faire dans cette vidéo donc la première chose que je voudrais remarquer c'est que j'ai un demi de ces mais ça je vais le faire rentrer sous là j'aimerais bien le faire rentrer sous la racine carrée donc il suffit que je remarque que 1/2 de c'est en fait ses racines carrées de seo carrés sur quatre effectivement si je prends la racine de ces au carré sur 4 ha signe de ces aux caresses affaissé et puis racines de 4 ça fait 2 donc j'obtiens bien un demi de c'est donc là du coup ça je vais pouvoir écrire de cette manière là alors l'air ici ça sera un demi alors au lieu d'écrire un demi de ces je vais écrire tout de suite la racine carrée voilà et là je vais mettre non pas un demi de s'aimer c'est au carré sur quatre et puis je vais mettre l'expression ici entre crochets alors là j'obtiens je réécris ça a au carré - c o car est plus à au carré - b au carré le tout sur deux c'est divise le tout élevée au carré voilà je ferme le crochet alors je vais regarder la même couleur qu'avant je ferme le crochet ici voilà alors maintenant je vais distribuer le terme c o car est divisé par quatre donc ça je vais le faire ici alors je replace le symbole de la racine carrée et j'obtiens alors c'est aux carrés sur quatre fois à au carré donc ça je vais l'écrire ici c'est au carré c'est au carré fois à aux carrés sur quatre - alors ici je vais avoir c'est au carré sur 4 x 7 cette fraction à au carême - - pardon - b au carré le tout sur deux c'est le tout divisé le tout élevée au carré alors là je peux faire quelques simplifications parce que ici je vais avoir c'est au carré et la jaurès et au carré aussi donc je vais pouvoir un simplifiée par ces au carré alors ça je vais le faire comme ça je vais voilà laisser au carré seront là donc maintenant je vais réécrire proprement ici je vais avoir un 4 à aussi donc je vais le faire sortir là donc ça je vais leur écrire un peu plus proprement à côté donc ça me donne racines de alors tout ça c'est au carré là ça n'a pas changé c'est au carré fois aux carrés sur quatre - alors ici je vais avoir du coup c'est au carré plus à au carré - b au carré le tout est élevée au carré et puis en dessous j'aurais uniquement lors laisser au carré je les ai simplifiée et là j'ai donc de au carré x 4 c'est-à-dire de au carré ça fait 4 dont 4 x 4 ça fait 16 donc je vais écrire je vais écrire quatre au carré alors en fait ça je vais revenir un petit peu en arrière puisque au lieu d'écrire 4 au carré je vais l'écrire comme ça je vais écrire c'est au carré plus à au carré mois bo carrés sur quatre le tout au carré voilà alors là je peut remarquer que c'est au carré sur à au carré c'est au carré fois aux carrés sur quatre c'est c'est fois à sur deux le tout au carré 1 donc en fait ici ça je vais le faire comme ça ce terme la sas et ses x à le tout au carré et du coup on fait là j'ai une différence de deux carrés donc là on peut utiliser une formule une identité une des identités remarquables c'est celle ci xo carhaix - y au carré puisque j'ai une différence de deux carrés ça ça se factories de cette manière la cx plus y x x - y voilà donc là le x je peux dire que c'est ca / 2 et le y c'est toute cette fraction là c'est au carré puis ça au carré - b o car est le tout divisé par quatre voilà alors du coup je vais réécrire cette expression là mais en utilisant cette identité remarquable donc je vais alors je replace le symbole de la racine carrée donc mon x cca sur deux plus y donc je vais écrire ça alors je vais commencer par m des parenthèses alors x le x ici c'est ca ca sur deux plus y qui est cette fraction là c'est au carré plus à au carré mois bo carrés sur quatre c'est au carré plus à au carré - bo carrés sur quatre fois alors x donc c'est toujours ca sur deux - c'est au carré plus à au carré - bo carrés sur quatre voilà donc là je vais prolonger le symbole de la racine carrée et puis là je vais essayer de faire des simplifications parce qu'en fait alors 2 ca sur deux je peux le mettre sur 4 1 donc ça va me donner 2 ca sur quatre ici voilà ici je vais faire la même chose donc ces deux ca sur quatre donc je vais maintenant je peut additionner les numérateur alors je vais le faire donc l'âge obtient alors je vais prendre les couleurs de tout à l'heure donc la première fraction elle va être sur quatre voies là et je vais l'écrire alors c2c a+ et au carré plus à aucun rémois b o car est ce à dire que là c'est la somme des deux dénominateurs mais je vais l'écrire de cette manière là parce que peut-être que ça fera apparaître quelque chose c'est au carré plus de ca plus à au carré - b au carré voilà là maintenant je vais écrire la deuxième infraction alors faut faire attention ici parce que il faut distribuer ce signe - donc là je vais je vais le faire ici un distribuer le signe - donc je vais mettre un plus ici et puis je vais changer tous les signes mois - est plus beau que c'est vrai que c'est pas très bas très joli j'aurais pu faire une un passage en plus alors du coup en sachant ça maintenant je vais écrire cette fraction là donc c'est une fraction qui sera sur quatre aussi et puis là je vais écrire alors je vais commencer par le terme positif donc b vos carrés et puis ensuite je vais enlever - c'est au carré - à au carré plus de ca message peu factoriser le signe moi alors je vais le faire donc je vais mettre une parenthèse ici et comme je factories le signe - je vais changer tous les signes à l'intérieur de la parenthèse donc ça va me donner c'est au carré plus à au carré - là celui là je vais le gommer - 2 ca voilà alors ici ce qu'on peut remarquer c'est que cette somme là c'est au carré +2 ca plus à aux caresses et une identité remarquable en fait ça c'est le carré de ses plus ça alors je vais pouvoir écrire ça comme ça maintenant racine de alors là ce donc c'est au carré plus de ces apu ça au carré je dis que ça faisait c'est plus ça je veux garder le même couleur c'est plus à le tout au carré - b au carré sur quatre fois alors ici c'est pareil c o car est plus carré - 2 ca ben c'est d'une identité remarquable aussi en fait c'est le carré de ces - a donc là je vais écrire que cbo carré - c'est moins à au carré le tout sur quatre donc là je vais prolonger le symbole de la racine bon je vais monter un petit peu tout ça pour faire de la place alors alors là on ne va on va utiliser de nouveau cette identité remarquable ici puisque en fait là on a une différence de caresser plus à au carré mois bo carey c'est une différence de carré et puis là aussi on a une différence de carhaix donc je vais réécrire ça alors je vais me placer ici c'est alors la première donc c'est que puces à au carré mois bo car eh ben ça je vais l'écrire comme ça c'est plus ça c'est plus a + b facteur de ses plus à - b le tout sur quatre voilà et puis la deuxième fraction alors ici cbo carré c'est une différence de carhaix aussi bo carré - c'est moins à au carré donc ça je vais de nouveau appliquer cette identité remarquable donc c b + c - un facteur de b - c - a donc c'est moins c'est plus ah voilà le tout au carré le tout divisé par quatre pardon c'est un jeu alors je prolonge le signe de la racine et puis je te précise cette expression là qu'on a ici c'est b - c - hasard voilà alors je vais remonter un petit peu encore parce que j'aurais pas assez de place alors ça maintenant je vais vers marqué qu'en fait je 4 ces deux fois 2 donc au lieu de 4 je vais écrire deux fois deux comme ça je pourrais écrire cette grande fraction comme le produit deux fractions je vais faire la même chose ici donc ici je vais avoir deux fois 2 alors maintenant je vais réécrire cette fraction 7 cette expression alors je replace mon symbole de la racine carrée alors je vais déjà réécrire ce terme si ici celui là donc ça c'est a + b + c sur deux voies la foi alors la deuxième infraction c'est celle là c'est plus ça - b sur deux je vais l'entouré en verre mais on va à la ré écrire ici mais avec en utilisant un petit truc qui est bien utile c'est que le numérateur ici c'est plus ça - b en fait je vais l'écrire comme c'est comme c'est plus a + b - 2 b - 2b donc a + b + et - 2 b parce qu'effectivement c'est la même chose puisque b - de bessat fait - b donc on a effectivement c'est plus ça - b donc ça je vais leur écrire mais de cette manière là alors a + b + c - 2b et le tout divisé par deux mais en fait au lieu d'écrire le tout divisé par deux comme ça je vais directement l'écrire comme ça parce que c'est ce qui va nous faire apparaître quelque chose de bien utile voilà donc ça c'est la deuxième expression qui est là ensuite je vais écrire la troisième alors la troisième je vais la faire en bleu c'est celle-là en bleu clair mais plus et b + c - un sur deux mais je vais leur écrire mais en utilisant le même stratagème que tout à l'heure c'est à dire que je vais au lieu d'écrire des plus et moins achevé créé b + c plus à -2 a donc b + c plus ça donc ça se sait a + b + c -2 à le tout divisé par deux donc je vais faire comme ça divisé par deux et là aussi divisé par deux et puis maintenant je vais réécrire la dernière celle là que jean tour ici en violet b - ces puces a divisé par deux avec le même stratagème au lieu d'écrire b - ces puces à diviser par 2 je vais écrire a + b + c - 2 c le tout divisé par deux donc je divise ceci par deux et ceci par deux voilà là j'ai réécrit exactement la même expression que tout à l'heure mais en faisant apparaître quelque chose que tu as peut-être connu c'est ce terme là alors ce terme là qui est ici qu'on retrouve ici donc c'est a + b + c sur deux on retrouve ici on le retrouve ici et on le retrouve ici donc là je pense que tu as peut-être déjà vu se profiler la formule de héron à l'horizon là alors je vais je vais le faire je vais je vais donner un nom à ce terme je vais l'appeler est ce donc je vais poser que sct gala a + b + c le tout divisé par deux donc c'est le demi périmètre du triangle et du coup je vais pouvoir réécrire l'air de mon triangle comme ça r c'est l'ère du coup ses racines carrées de alors le premier terme qui est ici là celui ci cs fois alors le deuxième donc je vais plutôt l'écrire avec les couleurs de tout à l'heure donc le premier terme ici ce terme là c est ce qui est là ensuite ici qu'est ce que gégé salle à ce terme là a + b + c sur deux cs je vais retrouver aussi est ce ici aussi et puis là aussi est ce donc finalement là la deuxième parenthèse cs -2 b sur deux de b sur deux sait rien d'autre que b donc c est ce moi b ensuite la troisième parenthèse celle là que j'ai en bleu clair cs -2 a sur 2 et 2 1 sur 2 c'est à donc s - ah et puis alors je ferme la parenthèse et puis enfin la troisième parenthèse ici qui est sc encore moins 2 c sur deux mais deux c'est sur 2 c c'est donc cs - ces voix là et là j'ai terminé puisque on reconnaît bien ici la formule de héron s racine carrée de sas - b x laisse moins has moi c'est bon pour air et ordonné ici les sommets mais c'est pas très important en tout cas voilà on a terminé puisque on a démontré que l'expression de départ dont l'expression dont on était partis c'est à dire celle ci 1/2 de ces x racine carrée de tout ça elle est bien est exactement équivalente à la formule de héron qui est donnée ici s racine carrée de sos moimbé fois est ce moi à foix s - c