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Cours : Révisions CE1D > Chapitre 9

Leçon 2: Volumes

Volume d'une pyramide ou d'un cône

D'où vient le 1/3 dans la formule du volume d'une pyramide ? Quel est le lien avec le volume d'un cône ? Qu'en est-il des pyramides obliques ou non régulières (pyramides inclinées dont la hauteur ne passe pas par le centre de sa base) ?

Qu'est-ce qu'une pyramide ? Qu'est-ce qu'un cône ?

Une pyramide est un solide constitué d'une base et de faces latérales qui sont des triangles. Ces triangles ont un sommet commun qui est le sommet de la pyramide.

Une autre façon d'envisager une pyramide est de la considérer comme l'ensemble des images de la base par des homothéties dont le centre est le sommet, avec des rapports d'homothétie allant de

0

1

Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour de l'un des côtés de l'angle droit. Il a un sommet et une base qui est un disque. On peut dire que le cône de révolution est de la famille des pyramides, avec une base qui est un disque et non un polygone. On peut donc relier leurs volumes entre eux.

Volume d'une pyramide

Le volume

V

d'une pyramide est donné par la formule

V = \frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur

. D'où vient cette formule ?

Pourquoi multiplie-t-on par $\frac{1}{3}$ ‍ ?

On considère une pyramide à base carrée de coté

1

et de hauteur

1

. En dupliquant cette pyramide deux fois on obtient

3

pyramides identiques que l’on peut imbriquer pour former un cube d’arête

1

Exercice 1

Quel est le volume de chacune des pyramides ?

cubes unités

Malheureusement, non. Voici

3

pyramides égales qui ne peuvent pas être imbriquées ensemble pour former un parallélépipède quelconque.

De même, on peut toujours découper un parallélépipède rectangle ou un prisme droit à base triangulaire en

3

pyramides de même volume, mais ces pyramides ne seront égales que dans le cas particulier où elles constituent un cube.

Agrandissement et réduction de pyramide

Lorsqu'une pyramide de volume

V_{}

est agrandie ou réduite d'un rapport

k

, alors toutes ses longueurs sont multipliées par

k

et le volume est multiplié par

k^{3}

, comme pour le parallélépipède rectangle dans lequel est la pyramide est inscrite.

Voyons ce qui se passe lorsque nous augmentons uniquement une dimension à la fois.

Lorsque nous augmentons la hauteur d'un parallélépipède rectangle, nous augmentons le nombre de couches (ou sections).

Cela semble un peu étrange d'empiler des couches pour constituer une pyramide.

Cependant, plus les sections deviennent minces (et donc nombreuses), plus la pyramide semble lisse. Comme nous avons multiplé par

k

le nombre de sections, le volume est aussi multiplié par

k

On peut répéter ce processus dans les deux autres dimensions.

Exercice 2

La pyramide suivante est un agrandissement de la pyramide à base carrée précédente où chaque dimension a été multipliée par un nombre différent.

Quel est le volume de cette pyramide ?

{cm}^{3}

À retenir : Le volume de la pyramide vaut toujours

\frac{1}{3}

du volume du parallélépipède rectangle dans lequel elle est inscrite.

Sections d'une pyramide par des plans parallèles à sa base

On coupe la pyramide par des plans parallèles à celui de sa base : on obtient des sections qui sont des réductions de la base. Nous pouvons faire glisser ces sections sans modifier le volume de la pyramide.

Le principe de Cavalieri dans l'espace énonce que si deux solides sont compris entre deux plans parallèles et si chaque plan parallèle à ces deux plans coupe les deux solides en des régions (ou tranches) de même aire, alors les deux solides ont le même volume. On peut appliquer ce principe pour déterminer le volume de la pyramide quel que soit le placement du sommet.

Exercice 3

Quel est le volume de cette pyramide ?

m^{3}

Modification de la figure plane constituant la base

Le principe de Cavalieri ne dit pas que les sections planes doivent être nécessairement les mêmes, mais seulement qu’elles doivent avoir la même aire : si deux pyramides ou deux solides de la

ont même hauteur et même aire de base, alors elles ont même volume.

Supposons que les deux solides de la famille des pyramides aient une hauteur de

h

et une aire de la base de

B

On peut considérer tout solide de la famille des pyramides comme un ensemble de figures images de la base par homothétie de centre le sommet de la pyramide et de rapports allant de

0

1

. On va calculer l'aire de l'image de la base par une homothétie de rapport

k

Si la figure

F^{'}

est l'image de la figure

F

par une homothétie de rapport

k

, alors chaque dimension de la figure

F^{'}

est le produit de la dimension de la figure

F

par

k

et l'aire de la figure

F^{'}

est égale à

k^{2}

fois celle de la figure

F

Quelle que soit la distance

k h

entre l'apex et une section, l'aire d'une section est égale à

k^{2} \times B

. Le principe de Cavalieri s'applique donc et les solides ont même volume.

Quelle que soit la figure plane constituant la base, le volume d'une pyramide quelconque est donnée par la formule

V_{pyramide} = \frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur

Exercice 4.1

La base de cette pyramide est un triangle rectangle isocèle :

Quel est le volume de cette pyramide ?

{cm}^{3}

Obtenir $\frac{1}{3}$ ‍ d'une autre façon

Pour vraiment vous convaincre que le volume d'une pyramide vaut

\frac{1}{3}

du volume du parallélépipède dans lequel il est inscrit, on approche le volume de la pyramide en la coupant par différents plans parallèles à sa base rectangulaire.

Nous pouvons modéliser une pyramide comme une pile de parallélépipèdes rectangles, comme si on construisait une pyramide à partir de blocs de pierre de plus en plus petits. Ce solide a un volume plus grand que le volume de la pyramide. Au fur et à mesure les couches que nous empilons sont plus minces, nous nous rapprochons du volume de la pyramide.

Nombre de sections	$\frac{Volume approché de la pyramide}{Volume du parallélépipède rectangle}$ ‍
$4$ ‍	$\approx 0,469$ ‍
$16$ ‍	$\approx 0,365$ ‍
$64$ ‍	$\approx 0,341$ ‍
$256$ ‍	$\approx 0,335$ ‍
$1 024$ ‍	$\approx 0,334$ ‍
$4 096$ ‍	$\approx 0,333$ ‍
$+ \infty$ ‍	$\frac{1}{3}$ ‍

Puisque les figures pyramidales peuvent avoir n'importe quelle figure plane pour base, et puisque nous pouvons faire glisser les parallélépipèdes rectangles sans modifier leur volume, le rapport reste vrai quelle que soit la figure pyramidale, y compris le cône.

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Qu'est-ce qu'une pyramide ? Qu'est-ce qu'un cône ?

Volume d'une pyramide

Pourquoi multiplie-t-on par 13‍ ?

Agrandissement et réduction de pyramide

Sections d'une pyramide par des plans parallèles à sa base

Modification de la figure plane constituant la base

Obtenir 13‍ d'une autre façon

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Pourquoi multiplie-t-on par $\frac{1}{3}$ ‍ ?

Obtenir $\frac{1}{3}$ ‍ d'une autre façon