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Terminale option math complémentaires
Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 4
Leçon 4: Point d'inflexionDérivée seconde et points d'inflexion
Ce qu'il faut bien comprendre et retenir.
Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction change de convexité. La convexité d'une fonction sur un intervalle est liée au signe de la dérivée seconde sur cet intervalle. Donc si la dérivée seconde change de signe en un point, alors la fonction change de convexité en ce point. C'est pourquoi on utilise la dérivée seconde pour étudier les points d'inflexion de la courbe d'une fonction.
Exemple : Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction
Etape 1 : Calcul de la dérivée seconde de
Voici le calcul :
Etape 1 : Ensemble de définition de et résolution de l'équation
On cherche les valeurs de pour lesquelles elle s'annule et les valeurs de pour lesquelles elle n'est pas définie.
Etape 3 : Etude du signe de et de la concavité de la fonction
Intervalle | Valeur de | Conclusion | |
---|---|---|---|
Etape 4 : Résultats
On déduit de ce tableau que :
change de convexité en . Or, est définie en , donc le point d'abscisse est un point d'inflexion. ne change pas de convexité en , donc le point d'abscisse n'est pas un point d'inflexion.
La courbe représentative de :
Une erreur fréquente : oublier de vérifier si la dérivée seconde change de signe
A retenir : Il ne suffit pas que s'annule en pour que soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si s'annule en changeant de signe. De même, il ne suffit pas que ne soit pas définie en pour que soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si la fonction est définie en .
Une erreur fréquente : Oublier de prendre en compte les valeurs de pour lesquelles la dérivée n'est pas définie
A retenir : Une valeur de qui peut être l'abscisse d'un point d'inflexion est une valeur qui annule la dérivée seconde ou une valeur pour laquelle la dérivée seconde n'est pas définie.
Une erreur fréquente : chercher les valeurs de qui annulent la dérivée première et non la dérivée seconde.
A retenir : est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en . Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en , alors est l'abscisse d'un extremum.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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