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Dérivée seconde et points d'inflexion

Ce qu'il faut bien comprendre et retenir.
Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction change de convexité. La convexité d'une fonction sur un intervalle est liée au signe de la dérivée seconde sur cet intervalle. Donc si la dérivée seconde change de signe en un point, alors la fonction change de convexité en ce point. C'est pourquoi on utilise la dérivée seconde pour étudier les points d'inflexion de la courbe d'une fonction.

Exemple : Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction f, colon, x ↦, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Etape 1 : Calcul de la dérivée seconde de f
Voici le calcul :
f(x)=5x4+203x3f(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2=20x^2(x+1) \end{aligned}
Etape 1 : Ensemble de définition de f, start superscript, prime, prime, end superscript et résolution de l'équation f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
On cherche les valeurs de x pour lesquelles elle s'annule et les valeurs de x pour lesquelles elle n'est pas définie.
f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en 0 et en minus, 1, et elle est définie pour tout x réel. On étudie donc le signe de f, start superscript, prime, prime, end superscript sur close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 1, open bracket, sur close bracket, minus, 1, space, ;, 0, open bracket et sur close bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracket
Etape 3 : Etude du signe de f, start superscript, prime, prime, end superscript et de la concavité de la fonction
IntervalleValeur de xf, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 1, open bracketx, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f est concave \cap
close bracket, minus, 1, space, ;, 0, open bracketx, equals, minus, 0, comma, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0f est convexe \cup
close bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracketx, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f est convexe \cup
Etape 4 : Résultats
On déduit de ce tableau que :
  • f change de convexité en minus, 1. Or, f est définie en minus, 1, donc le point d'abscisse minus, 1 est un point d'inflexion.
  • f ne change pas de convexité en 0, donc le point d'abscisse 0 n'est pas un point d'inflexion.
La courbe représentative de f :
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 4 to 4. The graph consists of a curve. The curve starts in quadrant 3, moves upward with decreasing steepness to about (negative 1.3, 1), moves downward with increasing steepness to about (negative 1, 0.7), continues downward with decreasing steepness to the origin, moves upward with increasing steepness, and ends in quadrant 1. The point at (negative 1, 0.7), where the graph changes from moving downward with increasing steepness to downward with decreasing steepness is the inflection point. The part of the curve to the left of this point is concave down, where the curve moves upward with decreasing steepness then downward with increasing steepness. The part of the curve to the right of the inflection point is concave up, where the curve moves downward with decreasing steepness then upward with increasing steepness.
Exercice 1
Voici la copie d'une élève qui devait répondre à la question "La courbe représentative de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript a-t-elle un point d'inflexion ?"
Étape 1 :
f(x)=4(x2)3f(x)=12(x2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
Étape 2 : f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en 2.
Étape 3 : Le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion de la courbe de f.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle est son erreur ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : oublier de vérifier si la dérivée seconde change de signe

A retenir : Il ne suffit pas que f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en x pour que x soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en changeant de signe. De même, il ne suffit pas que f, start superscript, prime, prime, end superscript ne soit pas définie en x pour que x soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si la fonction f est définie en x.
Exercice 2
Voici la copie d'un élève qui devait répondre à la question "La courbe représentative de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root a-t-elle un point d'inflexion ?"
Étape 1 :
g(x)=13x23g(x)=29x53=29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53}=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
Étape 2 : L'équation g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 n'a pas de solution.
Étape 3 : La courbe représentative de g n'a pas de point d'inflexion.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il fait ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : oublier de prendre en compte les valeurs de x pour lesquelles la dérivée n'est pas définie

A retenir : Une valeur de x qui peut être l'abscisse d'un point d'inflexion est une valeur qui annule la dérivée seconde ou une valeur pour laquelle la dérivée seconde n'est pas définie.
Exercice 3
Voici la copie d'un élève qui devait répondre à la question "La courbe représentative de la fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x a-t-elle un point d'inflexion ?"
Étape 1 : h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4
Étape 2 : h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, donc minus, 2 peut être l'abscisse d'un point d'inflexion.
Étape 3 :
IntervalleValeur de xh, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, infinity, space, ;, minus, 2, open bracketx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h est concave \cap
close bracket, minus, 2, space, ;, plus, infinity, open bracketx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h est convexe \cup
Étape 4 : h est concave si x, is less than, minus, 2 et convexe si x, is greater than, minus, 2, donc minus, 2 est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe de h.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il fait ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : chercher les valeurs de x qui annulent la dérivée première et non la dérivée seconde.

A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Exercice 4
g est la fonction définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.
Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de g ?
Choisissez toutes les réponses possibles :
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Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.