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Terminale option math complémentaires
Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 4
Leçon 4: Point d'inflexionDérivée seconde et points d'inflexion
Ce qu'il faut bien comprendre et retenir.
Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction change de convexité. La convexité d'une fonction sur un intervalle est liée au signe de la dérivée seconde sur cet intervalle. Donc si la dérivée seconde change de signe en un point, alors la fonction change de convexité en ce point. C'est pourquoi on utilise la dérivée seconde pour étudier les points d'inflexion de la courbe d'une fonction.
Exemple : Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction f, colon, x ↦, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript
Etape 1 : Calcul de la dérivée seconde de f
Voici le calcul :
Etape 1 : Ensemble de définition de f, start superscript, prime, prime, end superscript et résolution de l'équation f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
On cherche les valeurs de x pour lesquelles elle s'annule et les valeurs de x pour lesquelles elle n'est pas définie.
f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en 0 et en minus, 1, et elle est définie pour tout x réel. On étudie donc le signe de f, start superscript, prime, prime, end superscript sur close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 1, open bracket, sur close bracket, minus, 1, space, ;, 0, open bracket et sur close bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracket
Etape 3 : Etude du signe de f, start superscript, prime, prime, end superscript et de la concavité de la fonction
Intervalle | Valeur de x | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusion |
---|---|---|---|
close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 1, open bracket | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f est concave \cap |
close bracket, minus, 1, space, ;, 0, open bracket | x, equals, minus, 0, comma, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0 | f est convexe \cup |
close bracket, 0, space, ;, plus, ∞, open bracket | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f est convexe \cup |
Etape 4 : Résultats
On déduit de ce tableau que :
- f change de convexité en minus, 1. Or, f est définie en minus, 1, donc le point d'abscisse minus, 1 est un point d'inflexion.
- f ne change pas de convexité en 0, donc le point d'abscisse 0 n'est pas un point d'inflexion.
La courbe représentative de f :
Une erreur fréquente : oublier de vérifier si la dérivée seconde change de signe
A retenir : Il ne suffit pas que f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en x pour que x soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si f, start superscript, prime, prime, end superscript s'annule en changeant de signe. De même, il ne suffit pas que f, start superscript, prime, prime, end superscript ne soit pas définie en x pour que x soit l'abscisse d'un point d'inflexion. Ce n'est le cas que si la fonction f est définie en x.
Une erreur fréquente : oublier de prendre en compte les valeurs de x pour lesquelles la dérivée n'est pas définie
A retenir : Une valeur de x qui peut être l'abscisse d'un point d'inflexion est une valeur qui annule la dérivée seconde ou une valeur pour laquelle la dérivée seconde n'est pas définie.
Une erreur fréquente : chercher les valeurs de x qui annulent la dérivée première et non la dérivée seconde.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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