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Théorème des valeurs intermédiaires

Introduction au théorème des valeurs intermédiaires : si f est une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b], alors, sur cet intervalle elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur dadomyo02
    pourquoi l'intervalle doit etre fermer
    (1 vote)
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Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo ce que je vais faire cet présenter ce qu'on appelle le théorème des valeurs intermédiaires alors au delà de ce nom un petit peu compliqué un petit peu mathématiques tu vas voir qu'en fait c'est un théorème très très intuitif probablement le trm le plus intuitif que tu rencontreras au cours de ta carrière de mathématiciens alors je vais commencer déjà par lire ce théorème lire son énoncé et puis ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est pas donné une démonstration de ce théorème est simplement essayé de l'interpréter de l'illustré par des exemples et j'espère que tu verras du coup à quel point il est évident ici on nous donne une fonction f qui est continu sur un intervalle ab ça veut dire qu'elle est continu en tout point de l'intervalle ab donc pour toute valeur de la variable comprise entre a et b bon j'ai pas dit tout à l'heure mais ici il faut bien faire attention au fait qu'on a un intervalle qui est fermé c'est un intervalle dont on inclut les bornes a et b donc ce que je vais faire maintenant avant de regarder le théorème lui-même c'est déjà prendre quelques exemples pour se rappeler ce que c'est qu'une fonction continue sur un intervalle ab donc je vais faire quelques dessins alors je vais faire un premier un premier repère comme ça donc ici c'est l'axé des abscisses ici c'est l'axé des ordonnées et puis sur l'axé des abscisses donc je vais prendre un intervalle ab donc deux points a et b a par exemple ici et b par exemple là et puis les images 2a et 2b dont la fonction est fait continue sur l'intervalle ab ça veut dire qu'elle est définie en tout point de l'intervalle ab donc je peux calculer les images f2 à élèves de bep et disons que le point de la courbe d'abc ça c'est celui ci donc f2 a alors je vais prendre une autre couleur f2 à c'est ici voilà puis f2b on va dire pour cet exemple que fb est supérieur à f2 a donc c'est ce point ici alors ça me donne donc f2b et ce point là voilà ça c'est f2p alors si la fonction est fait continue sur l'intervalle ab ça veut dire en fait que je peux relier ce point ci de coordonner à f2 à à ce principe de coordonnées bfb par un chemin qui sera continue en fait si je trace la courbe représentatives de la fonction f sur l'intervalle ab eh bien ça sera une courbe sans interruption qui va relier ces deux points là donc je pourrais faire quelque chose comme ça par exemple voilà ça ça irait très bien et en fait évidemment tu dois te dire que on peut faire énormément de trajet une infinité de trajet comme ça pour aller de ab alors c'est vrai je peux faire aussi un trajet comme ceux là par exemple je peux faire quelque chose comme ça tout à fait ça c'est tout à fait représentatif d'une fonction continue sur l'intervalle ab il ya quand même quelques restrictions le premier type de restrictions c'est que on peut pas avoir une courbe comme ça qui revient en arrière parce que ça ça ne serait pas une fonction donc ça c'est pas possible et un autre type de restrictions c'est qu' il ne faut pas qu'ils aient d'interruption donc ça c'est ce que je disais tout à l'heure c'est qu'on doit tracer une courbe sans lever le stylo donc par exemple si je fais quelque chose comme ça ça ça ne sera pas une fonction continue puisque ici j'ai une interruption un point où la fonction n'est même pas défini donc si elle n'est pas défini en ce point là elle ne peut pas être continu voilà un type de discontinuité et puis autre type de discontinuité qu'on pourrait avoir ses quelque chose par exemple comme ça avec en fait deux morceaux encore mais avec un saut de discontinuité ici comme cela donc voilà ça ce sont des restrictions des fonctions qui ne sont pas continu sur l'intervalle ab est ce que je peux faire donc c'est on va prendre dans cet exemple quelque chose comme ça voilà ça c'est une fonction continue sur l'intervalle ap alors je vais quand même pour clarifier faire un autre exemple donc je vais prendre un autre repaire voilà l'axé des abscisses lax désordonnée et puis évidemment je ne suis pas obligé de prendre a et b tous les deux positifs je peux prendre par exemple a ici négatif et b positif voilà et je pourrais aussi bien avoir f2 à négatif f2b positif ou linverse là pour cet exemple je vais prendre les deux images positives donc f2f 2b positif tous les deux mais je vais dire cette fois ci que f2 à est plus grand que f2b donc je vais avoir un point de la courbe qui est celui là et puis disons un autre point de la courbe qui est celui là donc ici ça cf 2 à et ici cf de b voilà et du coup comme tout à l'heure si la courbe représentatives de la fonction f sur l'intervalle ab ça peut être n'importe quel courbes avec les restrictions qu'on s'est donné tout à l'heure donc sans interruption et sans retour en arrière en gros c'est ça donc je peux par exemple faire quelque chose qui fait comme ça qui descend qui remonte qui redescend et qui remontent jusqu'à arriver à ce point là voilà ça c'est la courbe représentatif d'une fonction continue sur l'intervalle fermé à b dont il y en a une fonction continue sur un intervalle fermé à b le théorème des valeurs intermédiaires on peut l'énoncé de deux manières j'ai mis ici les deux manières la première c'est que dans ces conditions la fonction f prend toutes les valeurs comprises entre f2 a et f de b alors évidemment si tu regarde ce qui se passe en fait l'intervalle f2 à f2b je peux le matérialiser ici c'est cet intervalle là et si je prends n'importe quelle valeur dans cet intervalle l'a donc une valeur entre eve ii a et f de b eh bien ça sera l'ordonné d'un point de la courbe c'est à dire que si je prends par exemple elles un nombre elle ici n'importe lequel et bien en fait cette valeur elle celle ordonnée d'un des points de la courbe donc effectivement tu vois que ici je peux retrouver un poids de la courbe qui a pour ordonner l c'est ce point là ici et dans l'autre cas c'est exactement la même chose je l'intervalle f2 à f2b il est là enfin là ça serait plutôt f de bf2 à dans l'ordre puisque f2b plus petit que f2 à et si je prends une valeur n'importe laquelle par exemple celle ci dans cet intervalle elle est bien ce nombre là aide ça sera aussi leur donner d'un point de la courbe alors ici en fait il y en a plusieurs puisque j'ai ce point là ce point là j'ai aussi ce point ici et puis j'ai même un troisième point qui est celui là voilà donc tu vois que c'est assez intuitif 1 si la fonction est fait continue sur un intervalle ab et bien je peux prendre n'importe quelle valeur entre f2f de b et cette valeur là celle ordonnée d'un point de la courbe alors la deuxième manière dénoncé ce théorème c'est que pour tout nombre elles de l'intervalle f2f de b il existe au moins une valeur ces deux l'intervalle ab tels que f2 c'est égal à elle autrement dit si je prends n'importe quelle valeur elle dans l'intervalle f2f de b et bien cette valeur là aura au moins un antécédent par la fonction f alors effectivement dans le premier cas ici la valeur c'est celle apsys de ce point là donc c'est cette valeur là et ici alors j'ai plusieurs possibilités j'ai une première valeur la quête un antécédent elle donc c'est une première valeur de ces ici ici j'ai une deuxième valeur possible l'app 6-2 ce point-là de ce deuxième point donc je vais l'appeler ses 2 par exemple et puis enfin j'en ai une troisième qui est ici donc je vais l'appeler ses trois en fait dans cette situation-là la valeur l a3 antécédents par la fonction f donc il ya trois valeurs c'est de l'intervalle fermé ab qui vérifie f2 c est égal à elle donc ça c'est intéressant a remarqué un on dit bien dans le théorème qu'il existe au moins une valeur ces deux l'intervalle ab tels que f27 égale à elle l'heure pour être sûr de bien comprendre ce qu'on peut faire aussi c'est essayer de voir s'il pourrait exister une fonction continue sur un intervalle fermé à b mais qui ne prend pas toutes les valeurs comprises entre f2 a et f de b c'est à dire on va essayer de trouver une fonction qui vérifie les conditions du théorème des valeurs intermédiaires mais pour laquelle ce théorème n'est pas vérifiée alors je vais faire un dessin pour voir ce que ça pourrait donner donc je vais tracer un repère comme tout à l'heure voilà axe des abscisses axe désordonnée puis dans ce cas là pour faire un simple mais ce n'est absolument pas restrictif je vais prendre a et b tous les deux positifs donc ici à est ici p par exemple alors on va supposer maintenant que f2 à c'est cette valeur là donc la courbe passe par ce point ici puis f2b on va dire que c'est cette valeur ici f2p et donc la courbe passe par ce point ici voilà et on va supposer qu'il y existe au moins une valeur que la fonction f ne peut pas prendre alors disons que cette valeur c'est celle là ici je prends cette valeur là dans l'intervalle f2 à f2b je vais l'appeler elle et donc je vais essayer de tracer la courbe d'une fonction f qui est continu entre a et b mais qui n'atteint jamais cette valeur là donc ça veut dire qu'en gros il faut que je trace une fonction la courbe représentatif d'une fonction qui relie ce point là à ce point là mais sans couper cette droite là alors je peux essayer de le faire si tu veux on pourrait essayer voilà on monte vers la leur donner l donc vers cette droite là puis là comme on peut pas traverser bien obligé de redescendre puis comme on veut quand même aller vers ce point là eh bien il faut remonter et en fait tu vois que si je veux vraiment arrivé à ce point là il faut nécessairement qu'à un moment je coupe cette droite là et dans ce cas là effectivement ce point là il a pour ordonner l époux rap 61.2 l'intervalle fermé ab je vais l'appeler ses c'est celui là tu vois qu'il est compris entre a et b c'est bien un point de l'intervalle ab et en fait son image c'est ce nombre elle ici on a bien f2 c égale elle donc intuitivement on voit bien que il en fait c'est absolument impossible de construire une courbe représentatives de la fonction qui n'atteint pas toutes les valeurs comprises entre f2 à et f2b puisque si j'avais ici une valeur elle qui n'était pas atteinte par la fonction et bien ça impliquerait qu'en fait il y à un saut de continuité une discontinuité dans la courbe de la fonction f alors tout ce qu'on vient de faire ne constituent évidemment pas une preuve rigoureuse de ce théorème mais ce que j'avais envie c'est que tu comprennes à quel point en fait ce résultat relève vraiment essentiellement du bon sens