Oscillation harmonique : Équation différentielle du mouvement

alors j'ai repris en plus petit ce qu'on avait fait dans la vidéo précédente on avait réfléchi à comment se déplacer une masse attaché un ressort qui lui même était attaché à un mur et cette masse on a vu qu'elle oscillait autour d'une position d'équilibré ici sur ce dessin le ressort est en position est tiré et donc la masse partant d'une position assure un axe x oscillait entre -1 et a donc la masse si on exclut les forces de frottement et bien la masse aussi l'indéfini mans et la position x en fonction de tes est représentée ici par la courbe verte alors on avait juste finalement en quelque sorte deviner x de thé comme étant égales a à x 1 caussinus d'une constante w x le temps ici on a le temps maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va faire un bilan de force dans cette vidéo pour pouvoir déterminer une équation différentielle du mouvement donc de x donc on va être uniquement une dimension on ait une dimension ici alors bas on commence on va se lancer on va faire là on va appliquer la deuxième loi de newton à cette masse et encore une fois je répète on est en inde et horizontale donc on va pas considéré ni la gravité ni les réactions du sol ici on imagine qu'on a bien sûr un support la masse ne levitte pas donc si on considère en fait les forces qui s'applique et les forces horizontal qui s'applique à cette masse eh bien il n'y en a qu'une c'est la force de rappel du ressort et cette force tu as déjà vu qu'elle était égal à moins qu'à 2 x alors x ici c'est si on considère que la position d' équilibre du resort est à 0 sinon on aurait x - x10 x10 étant la position du resort ou plutôt de la masse à l' équilibre pour un ressort au repos donc non et irene on y compris mais et dans notre cas et bien ça c'est égal à zéro donc on leur avait on ajustait fait gala - k x x et ça eh bien c'est égal à toutes les forces finalement donc c'est aussi égale à la masse on a qu elle reprendre en verre x l'accélération alors à partir de ça donc on a notre équation on amasse fois accélération est égal à moins qu'à x x cas étant je le rappelle la constante de rappel ou de raideur du resort qui est donc propre aux ressorts les différentes pour chaque ressort donc on a notre équation est ma est égal à moins qu'à x x et maintenant on va chercher à exprimer à en fonction de x alors on a x x qui est une fonction du temps c'est la position de la masse sur l' axe x ici et là vitesse qu'est ce que c'est la vitesse c'est égal 1 la dérive et 2x en fonction du temps à une vitesse et une variation d'une position en fonction du temps et ça s'exprime comme étant des x de thé / thé ça c'est une notation qui veut dire que on prend un écart infinitésimale de x à deux instants de temps infiniment proches et on le divise par justement cet écart infinitésimale de temps donc ça ça correspond tout simplement à la définition de la dérive et 2x et c'est la même chose que de dire x prime de thé et c'est encore aussi la même chose que d'écrire x avec un point tout ça c'est 3 notation ce sont des notations équivalente elles veulent toutes les trois à dire que l'on prend la dérive et 2x par rapport au temps donc c'est la dérive et par rapport à la variable t ça peut être utile d'écrire explicitement en fonction de quoi on dérive notre fonction dans le cas où on aurait une fonction de plusieurs variables et alors on continue maintenant si on prend l'accélération et bien l'accélération c'est égal à v alors v qui est aussi une fonction de tes c'est égal à la dérive et de vpv qui est elle même la dérive et 2x en fonction du temps et bien c'est égal à la dérive et de la dérive et donc autrement dit la dérivée seconde donc c'est des gars là x points points ou encore si tu préfères x secondes autrement dit dérivée seconde donc je peux exprimer xx xx cx c'est très simple je peux également exprimé l' accélération comme étant la dérivée seconde 2 x 2 t donc si je reprends mon équation ici que j'ai tirée de la seconde loi de newton et bien j'ai que m x x secondes je vais exiger qu'à l'écrire comme ça x secondes qui est une fonction de temps c'est égal à moins qu'à on va le mettre en rose puisque ça correspond aux ressorts moins qu'à x x 2 t et là j'ai une équation différentielle c'est peut-être la première équation différentielle que tu vois je ne sais pas en tout cas c'est une équation différentielle du mouvement une équation différentielle c'est une équation dans lequel la solution bien qu'est ce que c'est c'est pas juste un nombre une valeur la solution d'une équation différentielle ça va être une fonction on a ici une équation dans les deux côtés on a une fonction et sa dérive et donc on va devoir trouver la solution de cette équation qui va être une fonction qui va respecter cette équation est donc on est parti on va résoudre cette équation et on va d'abord calculé l expression de x secondes en passant par exprime donc on commence avec exprime exprime de thé alors à x cause de w t on à une constante x une fonction avec à l'intérieur une fonction composé de cette fonction donc la constante reste où elle est on a à x la dérive et de cette fonction x la dérivée de la fonction au total en considérant ici que on a wt comme étant une seule variable donc le dérivé de wtc w puisque la variable c'était donc à w publié par la dérive et de cosinus wt et la dérive et de cosinus c'est moins sinus donc ici je vais rajouter 1 - et je vais écrire sinus 2wd voilà maintenant je vais prendre la dérivée seconde donc je vais dérivés cette expression que je viens d'obtenir et j'ai x secondes qui est égal à alors moins à w c'est une constante donc ça reste houssaye j'ai moins à w mais je vais calculé encore la dérivée de la composent et de la fonction sinus qui est wt c'est encore une fois le w donc ici je sors devant un w je vais avoir un w au carré et je sais à quoi je vais multiplier la dérive et de sinus et à l'intérieur wt dérivés de sinus est égal à caussinus cette fois ci avec un plus donc je reste avec mon - et je retombe sur caussinus wt donc x secondes c'est égal à moins à w au carré x caussinus de w&t donc ce qu'on va faire ce qu'on va remplacer maintenant nos expressions à l'intérieur et on va voir ce que ça donne donc à gauche on avait m x - za je vais mettre le moins de vent à w au carré caussinus de w&t qui est égal à moins qu'à qui est égal à moins qu à deux alors à caussinus wtg remplace x par son expression donc j'ai à caussinus de wt alors je vais pouvoir faire quelques simplifications maintenant première simplification le moins j'ai un moins de chaque côté le cosinus wti les de chaque côté j'vais simplifiée par caussinus de wt maintenant il me reste plus que m a alors non à je vais pouvoir le simplifier il est des deux côtés donc il me reste plus que m x w au carré mw au carré est égal à 4 et donc si je continue à réarranger ça je vais obtenir w au carré qui est égal à cas sur m kiéthéga la cassure m&g deux possibilités g soit w qui est égal à - racines de cassure m2k sur m ou alors plus et donc je vais l'écrire comme ça en forme un peu composé gw qui est égale à plus ou moins racines de cas sur m et donc ce qui va nous permettre maintenant de choisir entre le plus et le moins et bien ça va être le cas physique qu'on étudie et on avance avec une échelle temporelle positive donc finalement on veut quand même que notre w il soit positif donc on va choisir on va choisir la valeur positif donc on a w qui est égale à plus racine carrée de cas sur m donc si on reprend un petit peu tout ça et bien on reste avec notre expression qu'on a tout simplement obtenu par déduction logique finalement à partir de notre intuition on reste avec notre x de tai chi est égal à a alors ça a c'est ce qu'on va appeler l'amplitude x caussinus de w&t avec w qui est une constante qui est égal à racine carrée de cassure m qui dépend donc et deux cas la constante de rappel du ressort et de m la masse qui est attaché au bout du ressort donc maintenant si je te donne un temps quelconque tu de est capable de me donner immédiatement la position de la masse sur cet axe x pour ce cas physique précis dans la prochaine vidéo on va discuter un petit peu de la physique autour de cette équation et de différents paramètres comment est-ce qu'on peut les faire varier et qu'est ce que ça change