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Cours : Géométrie niveau 2 > Chapitre 5

Leçon 3: Les triangles rectangles particuliers

Les triangles rectangles particuliers - Savoirs et savoir-faire

Dans un triangle rectangle isocèle, la relation entre la longueur d'un côté de l'angle droit et la longueur de l'hypoténuse. Dans un triangle demi-équilatéral, les relations entre les longueurs des côtés de l'angle droit et la longueur de l'hypoténuse.

Le demi triangle équilatéral

L'un de ses angles aigus est égal à

60^{\circ}

et l'autre est égal à

30^{\circ}

. Les longueurs des côtés de l'angle droit en fonction de la longueur

h

de l'hypoténuse sont :

C'est simple grâce au théorème de Pythagore.

Les mesures des angles d'un demi-triangle équilatéral sont

90 °

60 °

30 °

Si la longueur du plus petit des côtés de l'angle droit est

1

, alors la longueur de l'hypoténuse est

2

. On utilise le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l'autre côté de l'angle droit.

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = c^{2} \\ 1^{2} + (?)^{2} & = 2^{2} \\ 1 + (?)^{2} & = 4 \\ (?)^{2} & = 3 \\ ? & = \sqrt{3} \end{aligned}

Soit l'homothétie de centre le sommet de l'angle droit et de rapport

h

. L'homothétie conserve les angles, donc l'image de ce triangle rectangle est aussi un triangle dont les angles mesurent

90 °

60 °

30 °

donc un demi triangle équilatéral. La longueur de son plus petit côté de l'angle droit est

h

, celle de son hypoténuse est

2 h

et celle de l'autre côté de l'angle droit est

h \sqrt 3

\sqrt{3}

est compris entre

1

2

, donc

h < h \sqrt 3 < 2 h

La vidéo.

Le triangle rectangle isocèle

Ses deux angles aigus sont égaux à

45^{\circ}

. Les deux côtés de l'angle droit sont de la même longueur. La longueur de l'hypoténuse en fonction de celle de l'un des côtés de l'angle droit est :

C'est simple grâce au théorème de Pythagore.

Un triangle rectangle isocèle a un angle de

90 °

et deux angles de

45 °

Si la longueur de chacun des côtés de l'angle droit est

1

, quelle est la longueur de l'hypoténuse ? On utilise le théorème de Pythagore :

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = c^{2} \\ 1^{2} + 1^{2} & = c^{2} \\ 2 & = c^{2} \\ \sqrt{2} & = c \end{aligned}

Soit l'homothétie de centre le sommet de l'angle droit et de rapport

k

. L'homothétie conserve les angles, donc l'image de ce triangle rectangle est aussi un triangle dont les angles mesurent

90 °

45 °

45 °

donc un triangle rectangle isocèle. La longueur des côtés de l'angle droit est

k

et celle de son hypoténuse est

k \sqrt 2

\sqrt{2}

est supérieur à

1

, donc

k < k \sqrt 2

Dans les deux cas, on démontre ces formules en utilisant le théorème de Pythagore.

La vidéo.

À vous !

Exercice 1

A B =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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