Aire d'un hexagone régulier

dans cette vidéo on dit que des triangles comme ceux ci qui ont décoté deux à deux égos sont des triangles isométrique on dit aussi souvent que ce sont des triangles égaux ou encore des triangles congruent de même dans cette vidéo nous avons choisi de noter que les triangles abc et 2f sont isométrique comme ceci mais cette notation n'est pas obligatoire n'est pas la seule en usage donc ici le problème nous dit que on a à un hexagone régulier a b c d e f c'est à dire une figure où les six côtés sont identiques donc si ces ex hexagone et on connaît la longueur d'un côté on connaît la longueur de ab et on sait que ça fait de racines de trois ici donc comme c'est un hexagone régulier on connaît en fait toutes les longueurs de chacun des segments donc ici ça fait aussi deux racines de trois là aussi pour des c d e f cfa est ce qu'on nous demande dans ce problème c'est de calculer l'air de cet hexagone régulier donc pour calculer l'air de cet hexagone régulier et bien on va commencer par dessiner le centre de l'hexagone ici et on va l'appeler g est en fait vu que c'est le centre de l'hexagone ce que ça veut dire c'est que la distance du centre de l'hexagone à chacun des sommets de l'hexagone donc ici ga gbgc gdg e et g f donc toutes ses distances là et bien en fait sont égales ici donc on va le marquer elles sont toutes égales ici est donc la première chose qu'on va montrer ensemble c'est que ces six triangle là sont en fait congrue et comment on va montrer ça eh bien on sait déjà que ces triangles ont deux côtés identiques par exemple si je prends ce triangle la gdc je sais que j'ai des est égal à gc mais aussi si je prends le triangle dakota et bien je sais que j'essaie est égal à 1 gb donc tous les triangles au moins deux côtés identiques et en fait on sait aussi qu'ils ont le troisième côté identiques qui va être égale à deux racines de 3 ici à chaque fois donc en fait tous ces triangles là on trois côtés identique ils sont donc congruent ici donc ce que ça veut dire pour les angles c'est qu'on a cet angle là qui serait égal à cet angle là qui sera égal à cet angle là qui sera égal à cet angle là celui ci est celui là donc tous ses angles là sont identiques et une chose qu'on peut remarquer c'est que ici là c'est un angle à 360 degrés ici donc c'est un angle à 300 360 degrés et on sait que tous ses angles là sont égaux donc en fait si j'appelle l'angle ici x on sait que 6 x sera égal à 360 ici et donc ça fait que x est égal à 60 degrés donc chaque angle ici sera égal à 60 degrés donc maintenant on pourrait se demander quelle est la valeur des angles qui sont ici donc on sait que ses angles là sont identiques puisque le triangle ici et isocèle donc au moins ces deux angles là sont identiques c'est à dire que j'ai baissé est égal à gcb dans ce triangle là et pareil pour tous les autres triangles donc on va appeler cet angle ici y voilà y il ya une autre chose qu'on sait c'est que la somme des angles d'un triangle est égal à 180 donc ce qui veut dire que si je poursuis dans ce triangle gbc ici j' y plus y c'est à dire 2 y plus 60 degrés plus 60 degrés qui va être égal à 180 puisque je suis dans le triangle gbc ici donc ce que j'ai ici ces deux y est égal à 120 et finalement y est égal à 60 donc en fait ce que ça veut dire c'est que l'angle y ici est égal à 60 degrés est donc dans chacun de ces triangles j'ai en fait trois angles à 60 degrés ici donc on sait maintenant que tous ces triangles son équilatéraux ici donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que cette longueur là va aussi être égale à deux racines de 3 celle là va être égale à deux racines de 3,2 racines de troie etc etc donc en fait toutes les longueurs là que j'ai envers vont être aussi égale à deux racines de trop et ça c'est intéressant parce que du coup on connaît tous les angles et toutes les longueurs de ces petits triangles là et donc ça veut dire qu'on va pouvoir calculer l'air de ces triangles là donc si je connais l'air au moins d'un des triangles et bien je pourrais multiplier par six ici pour avoir l'air de l'hexagone donc on va regarder comment on va calculer l'air d'un de ses petits triangles ici est la première chose qu'on va faire c'est qu'on va regarder le triangle dg c'est ici et qu'on va dessiner une hauteur à partir du sommet j'ai donc ici voilà est donc ici j'ai une hauteur qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que ici l'intersection de ma hauteur avec le segment décès va former un angle droit ici donc maintenant en fait que j'aimerais savoir c'est si ces deux triangles là sont congrue et en fait ils sont concluants puisque là donc j'ai un angle droit de ce côté ci met donc ça veut dire que j'en ai un de l'autre côté ici je sais déjà que j'ai un angle à 60 degrés c'est ce que j'ai calculé avant ici aussi 60 degrés et parce que en fait la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés ici je dois avoir un angle à 30 degrés est donc ici aussi de la même manière donc en fait ces deux triangles rectangles là sont congruent puisqu'ils les ont exactement les trois mêmes anglais qu'ils ont aussi un côté commun ici donc en fait il me suffit juste de calculer l'air de ce petit triangle rectangle là et 2 x 2 pour avoir l'air en fait du triangle vert ici des gc ou encore il me suffit juste de x 12 l'air de ce triangle orange ici pour me retrouver avec l'air de l'hexagone tout entier donc déjà on va noter h l'intersection de la hauteur avec le segment de décès est ce qu'on sait c'est que dc est égale à deux racines de 3 et donc dh va être égal à décès divisé par 2 1/2 de décès et donc deux racines de 3,10 et par deux ça nous donne racines de trois ici donc en fait dans ce triangle rectangle là et bien on connaît deux côtés on connaît ce côté-là de racines de trois et on connaît ce côté-là dh racines de 3 donc je vais redessiné ce triangle pour qu'on y voit un petit peu plus clair donc à côté donc voila mon triangle rectangle ici donc j'ai h ici j'ai des ici et ici j'ai le point g ici je sais que ce côté là donc l'hypothénuse c'est à dire le côté qui est en face de l'angle droit est égale à deux racines de trois et je sais que dh est égal à racine de 3 donc j'espère que tu l'as remarqué mais en fait ce triangle là et bien c'est un triangle avec un angle à 90° un angle à 60 degrés c'est celui que j'ai trouvé ici tout à l'heure et un angle à 30 degrés comme je l' ai dit tout à l'heure et on sait que ces triangles particuliers ont des rapports de longueur constant c'est-à-dire conseil que le côté qui effaça langues de l'anglais à 60 degrés donc c'est à dire le côté qui est face à l'angle à 60 degrés c'est ce côté là ici donc on sait que ce côté là ça va être racines de trois fois dh ici et racines de trois fois dh ça nous fait donc racine de trois fois racines de trois et ça nous fait ici 3 donc j'ai à chevaux ici 3 donc je vais le remarquer ici mais tu dois pas avoir très très clairs vaut mieux vois que tu vois cette figure là et donc la hauteur vaut ici 3 non en fait je peux calculer très simplement l'air du triangle dgh maintenant et en fait je peux même calculer directement l'ère du triangle dg c'est donc r2d j'essaie de d g c est l'air d'un triangle eh bien c'est quoi et bien c'est un demi de sa base fois la hauteur donc ici qu'est ce que c'est que la base du triangle dg c est bien la base du triangle dgc pour la hauteur j h ici c'est décès et c'est donc deux racines de 3 donc j'ai un demi fois deux racines de 3 et maintenant la hauteur et bien la hauteur je viens de la calculer ici et donc je sais que ces trois donc ici les deux ça nulle puisque j'ai deux divisé par deux et il me reste donc trois racines de 3,3 racines de 3 dont claire 2d j'essaie de tout ce petit triangle ici ces trois racines de 3 et donc il me reste juste pour trouver l'air de l'hexagone entier a multiplié par 6,7 est ici puisque l'hexagone est donc constitué de six triangle identique donc l'air de l'hexagone donc je reviens ici l'air de l'hexagone ici c'est six fois trois racines de 3 et donc 6 x 3 nous fait 18 donc on a 18 racines de 3 dont claire de cet hexagone et 18 racines de 3