Preuve du théorème de la divergence (quatrième partie)

parfois quand on se lance dans une démonstration en plusieurs parties on perd vite le fil alors juste pour qu'on se rafraîchisse la mémoire ici on est en train de démontrer le théorème de la divergence qu'on a ici et on a commencé par réduire le flux qui passe à travers la surface on aurait écrit ça sous cette forme-là en jaune et puis on a aussi exprimé l intégrale triple de la divergence ici sous cette forme-là en rose et on a dit qu'il suffit de prouver que ces termes encadrés sont équivalents et on aura alors démontré le théorème de la divergence on a dit qu'on allait utiliser le fait que la région en question et notamment une région de type 1 pour prouver ça et puis on a dit qu'il fallait utiliser le fait que cette région peut aussi être une région de type 2 pour prouver sa et enfin qu'il faudrait utiliser le fait que cette région peut aussi être une région deux types 3 pour prouver ça on a dit qu'on allait se concentrer sur prouver cette égalité l'égalité entre ces deux termes et puis toi de ton côté tu pourras faire le reste en suivant cette même idée donc ici on se concentre sur cet encadré et on est en train de résoudre cette intégrale de surface pour ça on a décomposé et la surface en question qui est le contour de cette région de type 1 on l'a décomposée en trois surfaces en quelque sorte on à la base du cylindre qui est la surface qui correspond à toutes les plus petites valeurs de z sud sur cette région on a ensuite s2 qui est la partie supérieure du cylindre qui correspond à toutes les valeurs les plus grandes de z sur cette région et enfin on a cette surface intermédiaire dont contre les deux on n'est pas obligé d'avoir une troisième surface une surface intermédiaire par exemple si s1 et s2 se touchent et bien on a pas de surface 3 donc ça ça nous a permis de réécrire cette intégrale de surface en la somme de 3 intégrale de surface s'est séparé mais on a vu que sur cette troisième surface le vecteur normale n'a pas de composante dans la direction de cas donc ce produit scalaires ici et nulle ce qui fait que cette intégrale de surface sur cette surface 3 et bien vos 0 c'est pour ça que cette intégrale de surface se un pli fille en cette somme d'intégrale de surface sur s2 et hassen et dans la vidéo précédente on a transformé l'intégrale de surface sur s2 en une intégrale double sur le domaine de définition de nos paramètres qui était x et y et maintenant on va faire la même chose avec s1 donc ici on va s'occuper de l'intégrale de surface sur s1 de r qui est une fonction de x y et z fois le produit scalaires de cas par le vecteur normal nds alors tu sais que la première chose à faire ici et c'est bien sûr de réfléchir à une paramétrisation de cette surface donc ici on va avoir la surface 1 qui va être paramétré par la fonction vectorielle de position qu'on appelle le ici donc c'est une fonction de x et de y c'est égal à x fois le vecteur y plus y fois le vecteur j + z et sur cette surface et bien z z c'est une fonction c'est la fonction f1 de x et y donc plus f1 2x et de y fois le vecteur cas et bien sûr x et y nos paramètres appartiennent au domaine de définition d avec 7 paramétrisation on peut réfléchir à haisnes fois dsn fois ds on a déjà vu ça a beaucoup de fois quand on quand on a résolu des intégrales de surface c'est aussi égale à la version vectoriel 2d s et ça c'est égal au produit vectorielle des dérivées partielles de cette fonction e par rapport aux paramètres donc là dérivées partielles 2e par rapport à y parla dérivées partielles 2e par rapport à x fois des à un petit morceau des rdt du domaine de définition de x et de y alors j'écris ça comme ça mais attention tu sais qu'avant de calculer quoi que ce soit il faut qu'on soit sûr de la direction de ce vecteur est donc de l'ordre de ce produit vectorielle rappelle toi on a dit dans la vidéo précédente que le vecteur normal pour cette surface en saint est orienté vers le bas donc vers vers l'extérieur de la région alors quand y varie d'abord cette dérivées partielles là eh bien on va dans cette direction ensuite quand x varie donc cette dérivées partielles ici eh bien on va dans cette direction maintenant la règle de la main droite ce nous dit que le produit vectorielle de ces deux vecteurs nous donne un vecteur qui est hors bien en effet orienté vers le bas on peut vérifier ça on a juste à faire un petit dessin donc tu pointes du pointe son index dans la direction du premier vecteur donc c'est dans la direction de y ensuite tu pointes ton majeur dans la direction du deuxième vecteur donc ce vecteur là et puis ces deux autres doigts ne te servent à rien et puis ton pouce est orienté vers le bas et te montre la direction du produit vectorielle donc on a bien le nôtre pouces qui pointaient vers le bas dans ce cas là tu peux essayer avec ta main droite ça veut dire que ce produit vectorielle est en effet dans le bon ordre ça nous donne bien un vecteur qui orientaient dans la bonne direction donc on continue c'est égal aux déterminants d'une matrice et j'écris tout de suite fois des as pour ne pas l'oublier sur la première ligne on a dit j et k ensuite sur la deuxième ligne est bien on a les composantes dans la direction de j j et k de la dérivées partielles 2e par rapport à y donc ça va être 0-1 puis les dérivées partielles de f1 par rapport à y est sur la deuxième ligne bien on a les composantes de la dérivées partielles 2e par rapport à x dans la direction de j j et k donc c10 la dérivées partielles de f1 par rapport à aix et donc ça c'est égal alors même chose ici on sait que on a seulement besoin de la composante dans la direction de cas puisque ensuite on va calculer se produise kline si on va calculer le produit scalaires de ce vecteur par carat par le vecteur unitaire cas dans ce cas on va seulement avoir besoin de multiplier les composantes dans la direction de cas donc on a ici quelque chose fois le vecteur i - quelque chose soit le vecteur j + la composante associés aux vecteurs cas donc on rails cette colonne on rails cette ligne on a zéro x 0 - 1 x 1 on a donc moins une fois le vecteur cas donc tout simplement - le vecteur cas fois des as et donc avec ça on peut réécrire cette intégrale de surface on peut réécrire cette intégrale de surface ici comme une intégrale double sur le domaine de définition de nos paramètres donc c'est l'intégrale double de r qui est une fonction de x y et z ici c'est une fonction de cfa une fonction de x et de y fois ce qu'on a ici ce qu'on a ici et bien c'est le produit salaire de cas parce qu'on a ici et donc ça c'est simplement le produit scalaires de caa fois ce vecteur là et bien c'est aux multiples il juste et des composants dans la direction de cas donc ça va être en fois moins 1 donc ça va être moins 1 donc on va avoir fois moins d alors on peut écrire le moins ici puis on a des as à la fin et avec ça on peut réécrire cette intégrale de surface en une somme de deux intégrales double ans la somme de cette intégrale double plus cette intégrale double ici alors on va faire ça on va réécrire on va réécrire tout ça l'intégrale de surface de r voit le produit scalaires de cas par nds c'est égal à l'intégrale double sur le domaine de définition de x et 2 y 2 r2 x avec f-22 r 2 x y f 2 2x et de y - r 2 x y f pain de x et de y et bien sûr tout ça fois des as donc on vient de montrer que ça c'est égal à ça maintenant il ne nous reste plus qu'à montrer que cette intégrale triple c'est aussi égale au même résultat et on aura alors prouver que ces deux termes sont bien équivalent on fera ça dans la prochaine vidéo