Intégrales doubles 3

dans la dernière vidéo on avait calculé le volume de regarder cette surface landes avait considéré cette surface et on avait calculé le volume qui était compris sous la surface est au dessus de 7 ce rectangle qui est dans le plan xy 1 dans le plan horizontal d'altitude nul ici là c'est la kz des aides lax dx est ici l'accès y est là les graduations sont reportés sur d'autres d'autres droite mais c'est bien sa relaxe des dz esseulé le et celui ci l'ex dx et celui là l axe d y c'est celui là donc on avait ici x qui varie entre 0 et 2 1 0 et de cette longueur la vo2 y varie entre 0 et 1 7 longueurs lavaud 1 et puis la hauteur bon ça ça dépendait de la fonction du coût en fait ça va de 0 à 2 au 6 aides va de 0 à 2 mais bon on partait de ce domaine de définition et on regardait la portion de surface au dessus de ce domaine de définition et on a calculé la le volume de ce cette partie des espaces qui est compris entre le entre les bornes du domaine de définition et puis le plan horizontal et la surface voilà alors pour calculer ça pour calculer soluce qu'on avait fait ce qu'on avait d'abord intégré par rapport à x donc bon là je reprends le dessin que j'ai fait avant je prends tous les calculs en fait on avait fixé la valeur de y en avait pris une valeur de y pression particulière ça nous avait donné en fait une surface une lamelle de ce volume pour la valeur cette valeur de y on avait calculé la surface de cette lamelle et pour ça on avait d'abord intégré par rapport à x c'est ce qu'on fait et ce qu'on a fait ici le calcul est fait là et ensuite on avait épaissi épaissi notre lamelles et calculer le volume de cette lamelle épaissir et puis ensuite on avait intégré par rapport à y donc c'est ce que c'est ce qui est fait avec ce deuxième calcul ici voilà donc en fait c'est ça on avait d'abord calculé une intégrale par rapport à x ensuite on avait intégré par rapport à y voilà alors là ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est le contraire je voudrais voir si ce qui se passe quand on intègre d'abord par higuain par rapport à y ait ensuite par rapport à x voilà normalement on devrait trouver la même chose puisque dans les deux cas on devrait trouver le volume qui est compris entre la surface et le domaine de définition ici voilà alors je vais faire un peu de place j'enlève ça je vais être obligé de refaire un dessin donc je vais essayer de le faire le plus joliment possibles comme la dernière fois voilà donc je fais mais axa celle axes des aides là je vais dessiner lax dx et puis là la kz2 y voilà alors ça c'est x ça c'est y z parts dans sas et z et ça c'est y voilà alors là je vais prendre j'ai dessiné mon domaine de définition donc ça c'est la valeur x égale deux âges et la valeur zéro et là j'ai la valeur on va dire un dire que 1 est ici donc je vais tracé mon rectangle de domaine de définition voilà c'est celui là je vais le assuré comme j'avais fait un légèrement voilà c'est ça alors je vais commencer par placer l'image de ce coin là de ce point ici ce qu'on avait fait la dernière fois voilà et du coup on a une surface qui fait comme ça voilà et puis ensuite qui descend en ligne droite de ce côté là jusqu'à cette valeur là jusqu'à ce coin là ça fait quelque chose comme ça je vais faire à l'intérieur voilà mon c'est un peu papa très très joli je vais coloriée en jaune ce qui est le le dessus de la surface donc c'est cette partie là ça c'est le dessus de la surface et puis je vais coloriée en bleu le dessous de la surface donc c'est tout ça tout ça et ça se continue ça se poursuit évidemment sous cette partie là voilà bon c'est sais pas si c'est assez clair enfin sais c'est pas évident à dessiner mais c'est pas mal de s'entraîner à faire ce genre de dessin alors maintenant ce que je vais faire c'est je vais calculer le volume alors je vais procéder exactement selon le même raisonnement que ce que j'ai fait dans la dernière vidéo mais là je vais commencer par intégrer par rapport à y donc en fait je vais commencer par fixer une valeur de x donc je prends par exemple cette valeur là ici donc ça me donne un segment de droite sur mon sur mon domaine de définition dans mon domaine de définition ici c'est ce segment là et du coup je vais pouvoir regarder l'intersection de du plan qui passe pas du plan vertical qui passent par ce segment de droite et de la surface alors je vais essayer de la dessiner ça va pas être évident voilà ça va être quelque chose comme ça voilà donc loué la colorier j'espère que c'est que tu vois un peu clair c'est pas évident à dessiner mais voilà c'est ça hein je fais comme ça je vais la jurée donc finalement ça c'est une surface verticale dans le plan dans un plan vertical est en fait je me retrouve du coup avec le cas d'une intégration en une seule dimension je veux calculé finalement l'air de cette surface comprise sous cette courbe qui est là la courbe je vais essayer de la redessiner un peu plus nettement c'est cette courbe la leyre comprise sous cette courbe est au dessus de cet axe de ce segment de droite qui est ici voilà alors pour faire faire ça je vais faire comme d'hab comme dans le cas de l'intégration en une seule dimension je vais prendre un point ici donc ça c'est un point du plan et il a une une image par la fonction f qui est sur la surface qui en fait correspond à ce point là donc ça cette hauteur là ça c'est f 2 x y fc cette fonction au quai la voilà et maintenant je vais prendre épaissir en fait ce segment de droite donc je vais prendre un petit rectangle qui va être comme ça de base d y de base des grecs puisque c'est une variation dans le selon l'aqsiq grecque donc finalement je peux calculer ensuite l'air de ce rectangle qui est l'art cf de celles à base fois la hauteur donc cf de xy fois d y ça assez la hauteur et des grecs c'est la base voilà alors maintenant je vais imaginer de prendre des rectangles de ce genre là mais avec une base vraiment infinitésimale un très petit et je vais faire recouvrir ma surface de petits rectangles de ce genre là et ensuite je vais faire la somme de cette infinité de petits rectangles de très très fines bandes et ça va me donner ce que j'appelle l'intégrale alors ça va aller de y pour définir les bornes de l'intégration c'est y qui varient et y varie de 0 à 1 donc on va faire l'intégrale de 0 à 1 de cette fonction la f2 xy fois des y alors ça c'est l'air je vais le faire en violet 1 c'est l'ère de la surface qui est ici de cette surface la voilà alors je vais faire ce calcul l'a1 tout de suite l'intégrale or je vais leur écrire ici l'intégrale de 0,1 de f2 xy fois d y c'est l'intégrale de x x y au carré fois d y là j'ai juste remplacé f2 xy pas par son expression c x x x y au carré est maintenant ben je vais intégrer par rapport à y puisque la g1 des grecs ce qui veut dire que la variable d'intégration c'est y donc ça veut dire aussi que x je vais le considérer comme une constante donc je vais pouvoir le sortir je peux écrire ça comme ça cx voile intégral 2 012 y au carré fois des y alors maintenant il suffit de calculer la primitive de la fonction y au carré et de calculs et de l'évaluer entre 1 et 0 alors ça c'est la primitive donc je verrai écrire ça ici x factor de alors la primitive de y au carré c'est y 3 sur 3 et là ça je dois l'évalué entre 0 et 1 donc en 1 ça fait 1 occupe / 3 donc ça fait un tiers et 11,0 ça fait zéro donc finalement ça c'est un tiers de x voilà ça c'est l'ère de la surface à de cette surface là ont violé voilà alors maintenant je vais continuer le même raisonnement que ce que j'avais fait dans la dernière vidéo là j'ai calculé l'air de cette surface ici maintenant je vais l'épaissir un petit peu cette surface donc je vais prendre un une largeur ça ça va être du coup c'est une variation de selon l' axe x donc c'est c'est un dx je vais l'appeler dx7 largeur là donc je vais l'épaissir alors ça me donnait un volume qui va être comme ça un bon là je passe derrière ça c'est derrière ça on devrait pas le voir et ça fait donc un volume ici alors en fait si on prend la rue une base de ce volume une hauteur de ce volume ça c'est plutôt la hauteur puisque on a ça ça va être la base ça c'est la hauteur donc c'est la surface de base et la hauteur alors là évidemment on voit que si la telles que je les dessine et on va pas on va dépasser un petit peu de la surface donc ça sera pas exactement une lamelle compris sous la surface une lamelle de volume compris sur la sous la surface par contre si je prends un dx très petit infinitésimale là on va se rapprocher effectivement d'une lamelle de volumes comprise vraiment sous la surface donc le volume de cette lamelle ça va être tout simplement l'air de la base donc c'est cet air là a donc celle qui est ici x la hauteur qui est des x voilà ça c'est l'ère de cette lamelle de volume ici compris sous la surface et que maintenant je vais faire exactement ce que je la même chose que ce que j'ai fait selon l' axe y je vais finalement en fait additionner une infinité de ces lamelles de volume donc je vais faire une intégrale comme ça alors c'est x cette fois ci c'est une intégrale seul aux selon x 1 donc je vais vous regardez x varie de 0 à 2 donc je vais faire une intégrale de zéro à 2 de cet élément la voilà donc finalement je vais l'écrire ici le volume ça va être l'intégrale de 0 à 2 2 cette expression ici que j'ai calculé ici un que j'ai calculé tout à l'heure c'est un tiers de x est la variable d'intégration cdx voilà donc ça c'est bien le volume un volume gelé ça c'est son expression général et ça c'est l'expression que j'obtiens une fois que j'ai calculé l'air de la surface que j'ai assuré ici en violet voilà alors maintenant je vais pouvoir ça c'est une intégrale simple hein donc de la variable d'intégration cx là il n'y a plus d'ambiguïté donc je vais calcul il faut que je trouve une primitive de 1/3 de x donc la primitive de xc xo carrés sur deux donc la primitive de 1/3 de xc xo carey sur six donc je vais devoir calculer cette cette expression la ex au carré sur six pardon donc x o car est sûre si ce que je vais évaluer entre 0 et 2 alors pour x égal 2 ça me fait deux carrés c'est à dire 4 sur 6 là je vais pouvoir simplifier par 2 4 sur 6 et deux tiers donc j'ai deux tiers - la valeur à zéro donc pour x est égal à zéro ça x o car est sûre si ça vaut zéro donc finalement j'obtiens cette mesure du volume ces deux tiers 2/3 en unité de volume un bien sûr et heureusement basse et c'est bien la même chose la même valeur que ce qu'on avait trouvé avec dans la dans la vidéo précédente ans quand on avait intégré d'abord par rapport à y et puis ensuite par rapport à x alors voilà la conclusion de cette vidéo c'est que l'ordre dans lequel on intègre n'a pas d'importance on peut intégrer d'abord par rapport à x et ensuite par rapport à y ou bien la verse d'abord par rapport à y ait ensuite par rapport à x