Intégrales doubles 5

jusqu'à maintenant dans tous les calculs de volumes qu'on a qu'on a qu'on a fait dans les vidéos précédent dans tous les cas d'intégrale double qu'on a vu et bien on en faisait une double intégration sur avec des bornes qui étaient fixés donc en fait on considérait comme domaine de définition un rectangle tout simplement alors ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est voir ce qui se passe comment est-ce qu'on peut calculer un volume donc faire une double intégral sur des domaines un peu plus compliqué que ça et donc avec des bornes qui sont variables alors là en fait je vais reprendre la même surface que dans les dom dans la vidéo précédente donc c'était la surface d'équations aide égale x/y au carré xy au carré pour le but ici ça sera pas du tout de regarder comment on calcule ce volume et ça va être plutôt d'essayer de visualiser les choses et notamment de visualiser le domaine duquel on parent parce que c'est ça souvent souvent la complexité c'est pas de temps de visualiser le volume lui-même mais plutôt de visualiser quelle est la surface le domaine dont on part le domaine d'intégration voilà alors je vais commencer par dessiner des axes je vais pas dessiner du tout la surface telle qu'elle est un je vais faire quelque chose de plus simple l'idée c'est pas de devoir calculer le volume et de comprendre comment est ce qu'on peut faire donc voilà j'ai aimé mes trois axes donc ça c'est lac 6 l'âge et l'origine du repère la celle axe vertical lax des aides et huile à laax des y alors donc je vais commencer par dessiner un domaine duquel on va partir donc je vais prendre par exemple x qui va varier entre entre 0 et cette valeur là voilà donc je vais pouvoir faire une droite comme ça voilà et puis là en fait au lieu de prendre un domaine rec carré ou rectangulaire donc une valeur de y fixe je vais prendre une valeur de y qui va varier en fonction de x donc en fait tout va se passer dans le plan horizontal ici dans le plan d'altitude nul et je vais tracé ici une courbe en fait ça va être une courbe dans ce plan donc voilà je la trace comme ça mais bon cette courbe elle a une équation on va dire ici que c'est cette courbe là c'est un bout de paraboles c'est la courbe d'équations y est gallix au carré quand on est dans le plan le plan d'altitude eu de plan horizontal d'altitude nul un don plan xy ici alors je peux je vais colorier un petit peu ce domaine de définition est donc maintenant je vais essayer de calcul est donc je vais tracé cette surface là enfin je vais pas tracé effectivement cette surface ça mais je vais tracer une surface et puis on saura qu'en fait c'est celle là mais je vais pas me je vais pas essayer de tracer effectivement cette surface donc je vais commencer par placer les images de ces trois points ce point si l'image de ce point si on va dire qu'elle est voilà quelle est la lima ge de ce point là on va dire quelle est la voie là et puis l'image de ce point là on va dire qu'elle est ici voilà donc maintenant je vais essayer de tracer un c'est pas évident je vais essayer de tracer cette heure cette surface voilà alors ce qui va se passer c'est qu'ici on va avoir aussi un bout de paraboles ça va être quelque chose comme ça voilà donc là j'ai en fait j'ai tracé surface mais c'est un petit peu faux ce que j'ai fait parce que l'âge et on dirait que c'est plat donc c'est pas c'est pas à la surface ici n'est pas du tout nécessairement plate plate ce serait trop simple pour calculer ce volume là il suffirait de calculer la surface ici l'air enfin l'air de cette surface là et de multiplier par la hauteur donc ce serait un petit peu simple là on n'est pas du tout dans ce cas là on peut avoir quelque chose ici qui sera courbin donc je vais essayer de le dessiner un peu mieux voilà donc ça peut être quelque chose qui va être comme ça voilà et puis même ça je vais pas obligé de le faire droit c'est pas forcément plat ça peut être quelque chose comme ça voilà donc voilà ça c'est la surface au dessus ce tueur on va dire que c'est cette surface là la portion de cette surface là qui est situé au dessus de ce domaine alors je vais colorier un petit peu ça donc je peux avoir je vais essayer de faire ça joliment voilà alors maintenant je vais essayer de représenter ce volume donc j'ai d'abord je vais assurer la cette partie là voilà comme ça ça c'est plus un travail artistique plutôt que plus ça plutôt un exercice de dessins que qu'un exercice de maths donc là je peux voilà je vais essayer de colorier ça comme ça d'une autre couleur que ça c'est c'est ce qui est derrière en fait ces voies la c1 on a une espèce comme un mur ici qui est paraboliques 1 section parabolique voilà j'espère que tu arrives à visualiser ce alors je peux peut-être clarifier un petit peu ça en disant voilà on va calculer maintenant on va essayer de calculer ce volume là comme ça et puis bon il ya ce mur paraboliques qu'on voit pas qui est cette phase derrière la haie donc la surface qui est en haut ici c'est la surface d'équations z égale xy carré voilà celle là alors pour faire sa ba on va utiliser la même méthode intuitivement on va procéder exactement de la même manière que ce qu'on a fait avant c'est à dire que on va commencer par prendre un petit élément de surface ici à l'intérieur dans le domaine de définition donc je vais prendre un petit rectangle au petit rectangle comme ça voilà et ce rectangle il va avoir pour dimensions alors 7 cette dimension là ici c'est une variation dx donc c'est que la notte dx et puisse être dit cette dimension là c'est je vais à noter d y ce une petite variation selon l'aqsiq grecque une petite variation de l'accord donné y voilà alors ce qu'on va faire c'est comme d'habitude on va d'abord calculer le volume qui est situé au dessus de ceux de petite surface ici est en dessous de la de la surface d'équations aide égale xy carré donc en fait alors je vais déjà calcul je vais déjà calculer le volume de ceux de cette colonne ici qui est là voilà donc là j'ai quelque chose comme ça et ça c'est le haut de ma colonne qui épars à l'epide pedic donc la g derrière la 4e art est voilà et donc pour calculer donc ça c'est ça cette hauteur là un la hauteur qui est ici ça cf de xy f2 xy on peut supposer que là on part d'un point de coordonnées x y donc là c'est l'image sur le sur la surface en hausse et l'image de ce point donc cf de xy et puis là on a augmenté la coordonnées y 2d y et puis augmentez la coordonnée de x2 d y de dx pardon alors voilà là l'idée c'est exactement la même que ce qu'on a vu dans les vidéos présentes on va calculer le volume de 7 ce parallélépipède qui est ici donc ça je peux le calcul est un cf2 x y ça c'est la hauteur x la base donc la base c'est dx fois des y c'est mon petit élément de surface qui est la cas pour dieu qui a pour rdx mode et y voilà donc ça c'est le volume de cette colonne qui est là et maintenant ce qu'il faut que je fasse c'est que j'additionne toutes les colonnes voilà et c'est ça qui va être le plus compliqué en fait parce que autant dans les vidéos précédentes on avait pu d'abord additionner le long des x par exemple donc faire une intégration selon x et puis ensuite additionnons on obtenait du coude et des lamelles des lamelles d'une très fine épaisseur qu on additionnait ensuite qu'on a intégré ensuite selon l'axé y voilà en intégrant selon y alors ici c'est un peu plus compliqué parce que les bornes ne sont pas à fixes et donc la difficulté principale ça va être d'arriver à visualiser d'arriver à comprendre quelles sont les bornes demandé de mon domaine de définition alors pour faire ça en fait le vraiment le truc le plus utile c'est d'aller dessiner cette ce plan-là inde à les dessiner ce plan là donc je vais le faire ici alors je vais commencer par tracer un repère donc la taxe d ordonner y et l'axé des abscisses x voilà donc ça c'est l'origine là j'ai mes maîtres les ordonner y est là les apps 6x alors je vais pouvoir déjà dire que x varie entre 0 et 1 donc je vais placer un ici et puis y y alors là il faut que oui il faut que je quand même que je dise quelle est cette valeur qui est là ça c'est pour ix égale un bike y est égal à 1 au carré donc y est égal à donc cette valeur là c'est donc la valeur maximale de y c1 je vais prolonger un petit peu le dessin là pour que ce soit plus plus plus lisible alors ça voilà je vais faire un peu plus grand voilà alors maintenant je vais placer la valeur 1 donc ça sera ici voilà et donc je sais que j'ai cette je peux déjà représenté 7,7 bornes l'a77 frontières là de mon domaine c'est un segment de droite comme ça voilà et puis par contre il faut maintenant que je mangeais aussi cet autre borne ici sept autres frontières l'acte qui ce segment là celui là et puis il faut que je décide maintenant sept cette frontière ici qui en fait est un bout de paraboles morceaux de paraboles alors là tout se passe dans le premier cadre ans donc ça simplifie un peu les choses donc ce bout de paraboles c'est le pas la parabole l'équation y est gallic ce quart est donc là je vais dessiner une parabole du mieux que je peux et là j'ai cette valeur y également voilà alors maintenant là dedans basse que j'ai c'est un petit élément de surface ici je mets des aces c'est celui que celui qui est là donc cette dimension-là cdx et cette dimension là a cédé y voilà alors ce que je dois faire en fait c'est additionner toutes les colonnes dans le domaine alors évidemment on peut faire on peut garder la même idée c'est à dire de faire ça dans un ordre précis en commençant par exemple par additionner ses colonnes selon l'aqsiq ce donc en fait on serait amené à 10 va faire comme ça additionner tous à tous les carrés qui sont là voilà donc je me retrouve avec une somme de ces quand je regarde juste qui se passe dans le plan xy je me retrouve avec une somme de ces carrés de ces éléments de surface et la question qui se pose maintenant c'est quelle est cette borne comment est ce que je peut déterminer cette borne la voilà alors c'est ça c'est ça toute la complexité est en fait si tu arrives à visualiser ce qui se passe dans le plan xy tu auras fait une grosse partie du travail alors là on pour répondre à la question qu'on se pose donc pour essayer de déterminer cette borne là bas ce qu'il faut voir c'est que en fait on additionne tous ces rectangles et on bute sur la courbe donc ici on a fixé une valeur de y qui est la sas est une valeur précise de y est donc si je veux déterminer la borne le long de l'axé x puisque l'âge ce que je fais c'est une somme de ces petits carrés le long de l'axé x donc je dois déterminé en fait la borne dans l'accident qui est ici c'est cette valeur là et donc en fait ce qu'on doit chercher celle antécédents de ceux y par la fonction y est gallix au carré 1 alors là comme on est dans le premier cadran il ya que des valeurs positives donc ici ce qu'on sait c'est que cette valeur là ses racines de y voilà si on prend y elles sont montées c'est dans ses racines de y alors là ça y est on a déterminé en fait la borne d'intégration selon selon x donc quand je vais calculé je vais faire ma somme de ces carrés ici en fait j'ai donc je vais additionner tous ces éléments de volume là selon l'acte 6 alors ça va me donner une intégrale de f2 x y dx voilà et puis je vais changer de couleur pour la deuxième variable d'intégration qui y ça je le verrai après ce que ça veut dire là je vais il faut que je détermine les bornes dans entre lesquels je vais intégrer donc c'est ce que je viens de déterminer donc je sais que la borne supérieure cx égalisent 1 x égal 1 c'est celle ci et la borne inférieure elle et elle est fonction de c'est une fonction de y donc c'est x égale racines y voilà quand je fais l'intégrale pour x qui va de racines de y à un x égale à 1 de cette fonction la sève de xy dx et bien en fait je vais obtenir la lamelle que je vais dessiner ici en bleu c'est cette lamelle la voilà c'est cette lamelle là le disons de la section par le plan vertical qui passent par cette droite là hein et puis ensuite je vais les épaissir avec un b y c'est ce que j'ai fait là avec ceux des grecs qui est là donc en fait je l'obtiens cette lamelle épaissi inquiets la voilà donc en fait cette expression là que j'ai écrites ici c'est le volume compris au dessus sous la courbe au dessus de ce rectangle qu'elle a de cette partie là voilà alors maintenant je vais continuer je vais maintenant intégré selon de selon dans la direction de y selon y donc je vais additionner en fait tout c'est tout c'est l'âme elle que j'ai dont j'ai calculé le volume alors là pour faire ça il faut que j'aille je vais de de cette valeur là de y qui est zéro y est égal à zéro jusqu'à cette valeur là de y est égal à 1 voilà donc finalement je vais intégrer alors je vais garder le orange je vais intégrer ça pour y qui va de zéro jusqu'à 1 alors bon là on peut aller un petit peu plus loin tout simplement remplaçant f2 xy par son expression et ça va me donner cette cette double intégral là alors l'intégrale pour y qui va de zéro jusqu'à 1 c'est une intégrale double la deuxième intégral c'est pour x qui valent de racines de y jusqu'à x égal 1 et à l'intérieur on m'a x/y carré fois dxt y voilà ça c'est l'expression de ma double intégral qui donne le volume de ce solide qui est là dont le domaine n'est pas un rectangle offre en fait une borne du domaine et une fonction de l'autre voilà bon on va s'arrêter là parce que la vidéo est un petit peu longue donc dans la prochaine vidéo calculera effectivement cette intégrale là et puis ensuite on verra aussi ce qui se passe quand on intègre d'abord par rapport à y ait ensuite par rapport à x donc dans l'autre sens comme on a déjà vu dans d'autres vidéos