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Les lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff ou loi des mailles et loi des nœuds. Par Willy McAllister.

Les lois de Kirchhoff pour le courant et pour la tension sont au cœur de l'analyse des circuits électriques. Ces deux lois, ainsi que les équations régissant les principaux composants individuels (résistance, condensateur, bobine), constituent les outils de base de l'analyse des circuits.

Pour bien comprendre cet article, il vaut mieux maîtriser les définitions de nœuds, nœuds éclatés, branche, et maille.
Un morceau de papier et un crayon seront également utiles pour résoudre les exercices.

Courants dans un nœud

On commence par un petit exercice pratique avant d'aborder la théorie. Le schéma ci-dessous représente un nœud éclaté comportant quatre branches dans lesquelles circulent des courants entrants ou sortants. Les intensités des courants sont indiquées en milliampères,

mA

. Une des intensités,

i

, est inconnue.

Problème 1 : quelle est la valeur de $i$ ‍ ?

Il est assez intuitif de penser qu'un courant qui s'écoule vers un nœud finit toujours par en ressortir par une autre branche. En effet, les charges ne peuvent pas s'accumuler à l'intérieur du nœud.

6 mA

entrent dans le nœud (

5

par la gauche, et

1

depuis la droite), donc

6 mA

doivent ressortir quelque part.

2 mA

quittent le nœud par le haut, ce qui laisse

4 mA

de courant qui doivent s'échapper par le bas dans la branche

i

. La flèche bleue du courant

i

pointe vers l'extérieur du nœud, dans la même direction que le courant réel, son intensité est donc positive.

i = 4 mA

Dans cet autre exemple, on indique les noms des variables et non pas directement les valeurs des intensités. Ce nœud possède

5

branches. On note les intensités des courants dans chaque branche de

i_{1} à i_{5}

Les flèches représentant les courants pointent toutes vers le nœud. Ce choix dans la direction est arbitraire : il indique une direction de référence pour laquelle l'intensité du courant est comptée positivement si le courant réel s'écoule bien dans ce sens alors qu'on lui attribuera un signe

-

si le courant réel s'écoule dans le sens opposé à la flèche. On parle alors de valeur algébrique pour l'intensité.

On s'intéresse d'abord au courant

i_{1}

.
Où se dirige-t-il ?

À priori, le courant

i_{1}

s'écoule en direction du nœud (représenté ici pas le point noir).

Que se passe-t-il alors ?

Il y a deux choses que

i_{1}

ne peut pas faire. Tout d'abord, les charges qui forment

i_{1}

ne peuvent pas rester à l'intérieur du nœud. Il n'y a aucun endroit où stocker des charges dans un nœud. Ensuite, ces charges ne peuvent pas sauter du fil pour disparaître dans la nature—en tout cas, pas dans des circonstances normales.

Que reste-t-il comme possibilité ? Le courant doit sortir du nœud en passant par une ou plusieurs autres branches.

Dans cet exemple, on écrirait cette règle de cette manière :

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

i_{1}

est un courant d'intensité effectivement positive, il s'écoule bien vers le nœud, et donc un ou plusieurs autres courants doivent sortir du nœud. Ces courant sortants auront alors une intensité négative, de signe

-

, avec l'orientation choisie.

Ce résultat sur les courants s'écoulant dans un nœud est parfaitement bien résumé dans la forme générale de la loi de Kirchhoff sur le courant, appelée loi des nœuds.

La loi des nœuds

La loi des nœuds stipule que la somme algébrique des intensités de tous les courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des intensités de tous les courants sortant du même nœud. Elle peut s'écrire comme suit :

\sum i_{e n t r a n t} = \sum i_{s o r t a n t}

Le symbole

\sum

est la lettre grecque majuscule sigma. En notation mathématique, il indique une opération d'addition. Il est utilisé pour sommer des valeurs d'une même grandeur. L'expression :

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5}

est écrite de manière compacte :

\sum_{n = 1}^{n = 5} i_{n}

L'indice

n

dénombre les entiers naturels de

1

1

à partir de la limite inférieure

(1)

, jusqu'à la limite supérieure

(5)

Loi des nœuds - Applications

Les intensités des courants sont indiquées en milliampères,

mA

Problème 2 : Quelle est la valeur de $i_{5}$ ‍ ?

On applique directement la loi des nœuds.

\sum_{n} i_{n} = 0

Astuce : On commence par regarder le sens des flèches orientant les courants. Dans quelles directions pointent-elles ? Cette étape évite bien des erreurs de signe.

Dans cet exemple toutes les flèches pointent vers le nœud. On utilise donc directement la formule d'addition telle qu'elle est écrite.

La somme algébrique des intensités des courants représentés arbitrairement comme entrant tous dans le nœud est égale à

0

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

On exprime

i_{5}

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

Problème 3 : Quelle est la valeur de $i_{3}$ ‍ dans ce nœud éclaté ?

Ce problème est un peu plus compliqué, ici certaines flèches pointent vers le nœud, d'autres dans la direction opposée. Pour le résoudre correctement, il faut procéder en plusieurs étapes :

Redessiner le nœud avec toutes les flèches pointant dans la même direction (vers le nœud ou sortant du nœud), en changeant le signe de l'intensité quand le sens de la flèche change.
Appliquer la loi des nœuds.

Étape 1. La flèche associée à

i_{3}

pointe vers l'extérieur. Comme c'est l'intensité de ce courant qui est recherchée, il est plus simple de faire en sorte que toutes les autres flèches pointent aussi vers l'extérieur. On redessine les flèches entrantes dont les intensités sont

+ 4

- 1

, en flèches sortantes en leur attribuant les nouvelles intensités

- 4

+ 1

Étape 2. On applique la loi des nœuds sous la forme suivante : "La somme algébrique des intensités des courants représentés arbitrairement comme sortant tous dans un nœud est égale à zéro". On additionne ainsi les intensités algébriques de tous les courants qui sont "sortants" depuis l'étape 1, et on écrit que cette somme est égale à zéro.

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

On exprime

i_{3}

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

Ainsi il n'y a pas de courant s'écoulant dans la branche marquée

i_{3}

Somme des tensions le long d'une maille

La figure ci-dessous représente un circuit avec quatre résistances et un générateur. Dans cet exercice, on utilise, en premier lieu, la loi d'Ohm afin de déterminer l'intensité du courant. Ensuite, on déterminera les tensions aux bornes de chaque résistance.

Ce circuit étant un circuit en série, c'est le même courant,

i

, qui traverse tous les composants. Pour déterminer la valeur de

i

, les quatre résistances en série peuvent être assimilées à une seule résistance équivalente :

R_{s é r i e} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

Selon la loi d'Ohm, l'intensité du courant est donc :

i = \frac{U}{R_{s é r i e}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0,020 A = 20 mA

Maintenant que le courant est connu, on peut calculer les tensions aux bornes des quatre résistances. Pour y voir plus clair, sur le schéma du circuit, on représente les tensions aux bornes de chacun des cinq composants :

On applique la loi d'Ohm quatre fois de plus pour obtenir la tension aux bornes de chaque résistance :

U = i R

U_{R1} = 20 mA \times 100 Ω = + 2 V

U_{R2} = 20 mA \times 200 Ω = + 4 V

U_{R3} = 20 mA \times 300 Ω = + 6 V

U_{R4} = 20 mA \times 400 Ω = + 8 V

L'intensité du courant ainsi que toutes les tensions sont connues, le problème est donc résolu.

Sur le schéma suivant, on a porté les tensions aux bornes de chaque résistance et celle délivrée par le générateur. Ces cinq tensions correspondent en fait aux différences de potentiel entre les nœuds repérés par des lettres allant de

a

e

En additionnant les tensions aux bornes de chaque résistance, on obtient :

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

qui correspond exactement à la valeur de la tension délivrée par le générateur, ce qui est logique et confirme les calculs.

On peut aussi procéder de manière différente, et additionner les tensions "le long de la maille".

Marche à suivre : Somme des tensions le long d'une maille

Étape 1 : Choisir un nœud de départ.

Étape 2 : Choisir une direction dans laquelle parcourir la maille (sens des aiguilles d'une montre ou sens trigonométrique).

Étape 3 : Parcourir la maille.

Faire la somme algébrique des tensions en respectant les règles suivantes pour chaque composant de la maille :

Pour chaque composant, on regarde le premier signe qui apparaît alors qu'on "entre" dans le composant.
Si c'est un signe $+$ ‍, alors il y aura une chute de tension dans le composant. Il faut retrancher la tension indiquée aux bornes du composant.
Si c'est un signe $-$ ‍, alors il y aura une hausse de tension dans le composant. Il faut ajouter la tension indiquée aux bornes du composant.
Certains manuels présentent une autre règle concernant les signes dans la maille. Cette autre règle est équivalente à la règle précédente, et les deux donnent exactement le même résultat.
Pour chaque nouveau composant, on regarde le premier signe qui apparaît alors qu'on "entre" dans le composant.
Si c'est un signe $+$ ‍, ajouter la tension indiquée aux bornes du composant.
Si c'est un signe $-$ ‍, retrancher la tension indiquée aux bornes du composant.
Cette règle ne prend pas en compte les notions de chute ou de hausse de tension, mais elle est certainement plus simple à retenir. Les deux règles étant valables, on peut choisir celle qu'on veut. L'important est qu'une fois son choix fait, on s'y tienne pour résoudre le reste du problème.

Étape 4 : Continuer à parcourir la maille jusqu'à revenir au point de départ, tout en incluant toutes les tensions au fur et à mesure.

Application

On applique la méthode au problème précédent, étape par étape.

On part du nœud $a$ ‍ en bas à gauche.
On parcourt la maille dans le sens des aiguilles d'une montre.

Le premier composant rencontré est le générateur. Le signe à "l'entrée" du composant est un $-$ ‍, il y aura donc une hausse de tension dans ce composant. On commence à écrire la somme algébrique des tensions le long de la maille en ajoutant la tension aux bornes du générateur.
‍

U_{m a i l l e} = + 20 V

quand on traverse le générateur vers le nœud

b

Le composant suivant est la résistance de

100 Ω

. Le signe à l'entrée est un

+

, il faut donc soustraire la tension aux bornes de cette résistance.

U_{m a i l l e} = + 20 V - 2 V

quand on traverse la résistance de

100 Ω

vers le nœud

c

On arrive maintenant dans la résistance de

200 Ω

, et le premier signe rencontré est un

+

, on soustrait donc la tension à ses bornes.

U_{m a i l l e} = + 20 V - 2 V - 4 V

quand on traverse la résistance de

200 Ω

vers le nœud

d

On complète le tour de la maille en faisant la même chose pour les deux derniers composants.

U_{m a i l l e} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

quand on traverse la résistance de

300 Ω

vers le nœud

e

U_{m a i l l e} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

après la résistance de

400 Ω

(Exercice : vérifier que les deux derniers composants ont été inclus correctement dans le calcul.)

On est revenu au nœud $a$ ‍. Quelle est finalement la valeur de la somme algébrique des tensions le long de la maille $U_{m a i l l e}$ ‍ ?
‍

U_{m a i l l e} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

La somme algébrique des tensions le long de la maille est de

0

. Le nœud de départ et celui d'arrivée sont les mêmes, donc le potentiel de départ et celui d'arrivée sont les mêmes. Durant ce parcours de la maille, le potentiel subit des chutes et des hausses qui se compensent entre elles lorsqu'on revient au point de départ. Ceci est lié au fait que la force électrique est conservative, il n'y a pas de gain ou de perte d'énergie lorsque l'on revient au même endroit en parcourant un circuit.

On étudie maintenant un autre exemple où les valeurs numériques des tensions sont remplacées par des noms de variables. Sur le schéma ci-dessous, sont précisés les noms des tensions et des nœuds. Contrairement à ce qu'on a l'habitude de faire, on choisit d'écrire ici les signes

+

-

de chaque côté des résistances de façon à ce que toutes les flèches des tensions soient dans la même direction le long de la maille. On va pouvoir faire ainsi apparaître une propriété intéressante des mailles.

On parcourt la maille en ajoutant au fur et à mesure les tensions des composants rencontrés. On part du nœud

a

dans le coin inférieur gauche et on va dans le sens des aiguilles d'une montre (ce choix est arbitraire, l'autre sens fonctionnerait aussi).

À partir du nœud

a

, le premier signe rencontré à l'entrée du générateur est un

-

, il va donc y avoir une hausse de tension de

U_{a b}

volts en traversant ce composant. Comme il s'agit d'une hausse de tension, on l'intègre à la somme algébrique des tensions de long de la maille en l'ajoutant.

On continue le long de la maille depuis le nœud

b

jusqu'au nœud

c

puis à

d

puis enfin à

e

, pour finir par arriver au point de départ au nœud

a

. On inclut dans la somme algébrique des tensions celle de chaque composant. Comme le signe à l'entrée de chaque composant est un

-

, toutes les tensions de ces composants sont ajoutées à la somme algébrique des tensions le long de la maille. Finalement, on obtient :

+ U_{ab} + U_{R1} + U_{R2} + U_{R3} + U_{R4}

Que vaut cette somme ? On peut le déduire de façon logique.

Le parcours le long de la maille commence et finit au même nœud, donc les potentiels électriques au départ et à l'arrivée sont identiques. On parcourt la maille en ajoutant algébriquement des tensions, c'est à dire des différences de potentiel, au fur et à mesure et on revient au même potentiel. Cela signifie que la somme algébrique des différences de potentiel sur la maille, autrement dit des tensions, doit être égale à zéro :

U_{ab} + U_{R1} + U_{R2} + U_{R3} + U_{R4} = 0

On suppose que la somme algébrique des tensions le long d'une maille n'est pas égale à zéro. On va montrer que cela amène à un résultat absurde.

On fait l'hypothèse que la somme algébrique des tensions le long d'une maille vaut

+ 1

volt. Cela signifie que si on parcourt la maille en partant du nœud

a

, tout en incluant les tensions des composants que l'on rencontre à la somme algébrique des tensions, on revient au nœud

a

et son potentiel qui était de

0

volts au départ est soudainement devenu plus élevé de

1

volt. Si on parcourt la maille une seconde fois, le potentiel du nœud

a

va donc à nouveau augmenter de

1

volt, et passer à

2

volts, et ainsi de suite... C'est totalement impossible !

Le potentiel électrique au nœud

a

ne peut pas augmenter indéfiniment juste parce qu'on a mentalement parcouru la maille. La somme algébrique des tensions le long d'une maille doit donc être égale à zéro.

Pour chaque composant, on attribue un signe

-

à la tension du composant dans la somme algébrique des tensions le long de la maille.

- U_{R4} - U_{R3} - U_{R2} - U_{R1} - U_{ab} = 0

On remarque qu'on peut factoriser le signe

-

pour retrouver exactement la même expression que précédemment.

- (U_{R4} + U_{R3} + U_{R2} + U_{R1} + U_{ab}) = 0

U_{ab} + U_{R1} + U_{R2} + U_{R3} + U_{R4} = 0

En fin de compte, quel que soit le sens dans lequel on parcourt la maille, le résultat est le même.

Ce résultat sur la somme algébrique des tensions le long d'une maille est parfaitement bien résumé dans la forme générale de la loi de Kirchhoff sur la tension, appelée loi des mailles.

La loi des mailles

Loi de Kirchhoff sur la tension, ou loi des mailles : La somme algébrique des tensions le long d'une maille est égale à zéro.

Mathématiquement, la loi des mailles s'écrit :

\sum_{n} U_{n} = 0

où l'indice

n

dénombre les tensions aux bornes des composants qui se trouvent dans la maille.

Cette loi peut s'énoncer d'une autre manière : Le long d'une maille, la somme des hausses de tension est égale à la somme des chutes de tension.

\sum U_{h a u s s e} = \sum U_{c h u t e}

La loi des mailles possède les propriétés suivantes :

Quel que soit le nœud à partir duquel on parcourt une maille, la somme algébrique des tensions le long de la maille est toujours égale à zéro si on revient au nœud de départ.
Quel que soit le sens dans lequel on parcourt la maille, la loi des mailles s'applique de la même manière.
Si un circuit comporte plusieurs mailles, la loi des mailles est valable pour chacune d'elles.

Les tensions sont toutes positives ?

En lisant l'article, on pourrait croire que les tensions sont toutes positives, et se demander alors comment une somme de valeurs positives peut être égale à zéro. En fait, le sens des flèches représentant les tensions et les signes

+

-

qui leur sont associés, sont simplement une convention permettant de décrire algébriquement ces tensions. Les tensions décrites par ces flèches peuvent être aussi bien négatives que positives, et à la fin les tensions positives et négatives se compensent toujours le long d'une maille.

Loi des mailles - Application

Problème 4 : Quelle est la valeur de $U_{R 3}$ ‍ ?

Rappel : regarder le premier signe rencontré pour chaque composant.

On utilise la loi des mailles pour résoudre ce problème.

\sum_{n} U_{n} = 0

On choisit

a

comme nœud de départ. On tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.

Ici les flèches représentant les tensions ne pointent pas toutes dans la même direction. Il faut donc faire très attention à la polarité de chaque composant du circuit. On se réfère aux règles données plus haut pour savoir si l'on doit ajouter ou soustraire la tension de chaque composant.

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- U_{R3}) + (- 1) = 0

Le plus dur ici est de ne pas se tromper dans les signes. C'est la principale difficulté quand on applique la loi des mailles.

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = U_{R3}

U_{R3} = + 6 V

La flèche représentant la tension aux bornes de R3 pointe vers le haut, du nœud

e

vers le nœud

d

. La valeur positive de

U_{R3}

signifie que le potentiel au nœud

d

est

6

volts plus élevé que celui du nœud

e

Pour s'entraîner, on peut essayer de résoudre le problème, mais cette fois en parcourant la maille dans l'autre sens. On vérifiera qu'on obtient le même résultat.

À retenir

Dans cet article, deux outils très utiles ont été détaillés.

La loi de Kirchhoff pour les courants en un nœud, aussi appelée loi des nœuds :

\sum_{n} i_{n} = 0

La loi de Kirchhoff pour les tensions le long d'une maille, aussi appelée loi des mailles :

\sum_{n} U_{n} = 0

On a vu également qu'il est très important de faire attention aux conventions d'orientation des tensions et des courants pour avoir un résultat correct. C'est un point très fastidieux qui demande de faire attention aux détails et c'est une compétence de base que tout ingénieur en électronique se doit d'acquérir.

Les lois de Kirchhoff sont en fait une approximation dérivée des équations de Maxwell qui régissent l'électromagnétisme. On utilise les lois de Kirchhoff quand la taille des composants du circuit est beaucoup plus petite que la longueur d'onde des signaux qui passent dans le circuit. C'est le cas pour la majorité des circuits étudiés en ingénierie électrique.

Pour en apprendre plus sur le lien entre lois de Kirchhoff et équations de Maxwell, on lira les références suivantes :

"Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits", par Anant Agarwal et Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Appendix 2A.

"The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 2nd Edition, par Thomas H. Lee, Cambridge University Press, Chapter 6, Distributed Systems.

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Physique

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Courants dans un nœud

La loi des nœuds

Loi des nœuds - Applications

Somme des tensions le long d'une maille

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Application

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Les tensions sont toutes positives ?

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