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La démonstration du théorème de Pythagore de Bhaskara

Transcription de la vidéo

donc dans cette vidéo je vais te montrer une nouvelle démonstration du théorème de pythagore c'est une démonstration qui a été trouvé par l'indien mathématicien basque gara donc voilà basque gara et c'est une preuve qui est très très vieille puisqu'elle a été trouvé au 12e siècle donc on va commencer par dessiner ici un carré voilà donc vu que c'est un carré ça veut dire que ces quatre angles sont des angles droits donc je vais le noter ici avec un petit carré voilà et c'est un carré dont on va nommer le côté s'est donc vu c'est un gars et les quatre côtés on dont son oncle de l'ong earth et on va continuer et on va dessiner à l'intérieur de ce carré quatre triangles et j'ai montré comment alors l'idée ce sera de faire des triangles rectangles donc des triangles rectangles voilà on va rajouter un petit peu de lignes ici donc voilà on a le premier triangle rectangle ici de la même manière on va faire le deuxième la donc ici c'est un triangle rectangle aussi et on va finir ici voilà voilà donc ici on ad on a un triangle on a quatre triangles rectangles donc il son rectangle ici ici ici et ici donc la première question qu'on peut se poser c'est est ce que tous ces triangles là sont identiques donc déjà on sait une chose c'est quand c'est que les triangles ont la même hypothèse donc c'est à dire qu'ils sont tous dits poté nice et puisque l'hypothénuse et le côté du carré ici donc maintenant en fait on va regarder ce qu'il en est au niveau des angles donc si on prend ce triangle là par exemple donc on sait qu'il a un angle à 90 degrés donc on peut noter un des angles par exemple tu est à celui ci est celui-là à l'ordre puisque la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés on a donc ici cet angle-là fait donc 180 degrés - 90 moins d'état ça nous fait donc 90 - état ici et pour les autres triangles on peut voir ce que ça donne donc si on considère cet angle là ici donc j'ai dit qu'en fait ça c'est l angle du car et c'est à dire que ici ici là là on a bien un angle droit et on a appelé cet angle là t'es tu as donc ça veut dire que ici notre notre notre angle droit est égal à cet angle ici plus tu es tu as donc ça veut dire que cet angle là est en fait 90 - keita et vu que dans ce triangle là on a un angle droit un angle à 90 - d'état pour que la somme des angles du triangle là soit égal à 180 il en résulte que se termine là doit être égal at états et donc en fait ce qu'on voit c'est que ce triangle là est exactement le même que ce triangle donc à partir de là et bien je pense que tu vois où je veux en venir si cet angle là et et a donc cet angle là et 90 - keita est donc cet angle là va être d'état et cet angle-là devait être encore une fois 90 - keita et finalement cet angle là sera d'état ici donc en fait là ce qu'on voit c'est que tous les angles tous les triangles pardon ont exactement les mêmes angles c'est à dire un angle droit ici 90 - état et et a donc des triangles qui ont exactement les mêmes banques ce sont déjà des triangles similaire mais en plus on sait qu'ils ont un côté identiques qui est ici l'hypoténuse puisqu'en sont tous deux longueurs sait puisque c'est le côté à chaque fois du carré donc vu que ces triangles ont donc tous les mêmes anglais ont un côté qui est exactement de la même longueur on dit que c'est des triangles congruent ici donc maintenant ce qu'on va faire c'est que je vais appeler en fait le côté du triangle là c'est à dire celui qui est en face de l'angle de 90 mon état je vais l'appeler b donc je vais le noter j'ai le maître en bleu surtout les triangles ici pour bien qu'on voit lequel de quelques t il s'agit alors voilà très bien et donc ce côté là je vais l'appeler b c'est à dire qu'en fait c'est cette longueur ici voilà qui va être b donc cette longueur la la ça j'appelle ça b donc je vais faire pareil pour le plus petit côté du triangle ici je vais le coloriées en rouge voilà encore deux voilà voilà et ce côté là donc ça correspond en fait à ce côté ici voilà donc ce côté là je vais l'appeler je vais l'appeler à voilà donc maintenant que j'ai défini ces nouvelles longueurs donc a et b je voudrais savoir l'air de ce quart est là donc l'ère du car et c'est facile puisqu'on a dit qu'ils étaient de longueurs c'est donc c'est à dire que son ère est bien c'est tout simplement c'est karl est ici et maintenant si je veux essayer d'exprimer l'ère du carré en fonction de ça et de paix et bien en fait si je veux faire ça je vais je vais retombées sur le théorème de pythagore donc on va on va montrer ça donc je vais je vais juste prendre cette figure et la copier à côté pour qu'on puisse y voir plus clair tout de suite voilà voilà donc laisse moins juste effacer ça parce qu'on n'en a pas besoin là tout de suite je vais effacer le bo xi puisque c'est à côté voilà on va faire la même chose pour le a voilà et donc ce qu'on va faire dans ce premier temps c'est que pour avoir l'air de ce carré là en fonction d'eux a et b eh bien je vais déplacer les triangles dans cette partie ce que je vais faire c'est que je vais déplacer ce triangle ici ici donc je vais le dessiner donc ici on aura juste à faire ça et ça voilà donc c'est à dire qu'en fait c'est mon côté bleu ici voilà et mon côté rouge en bas donc cesser ce triangle l'a donc maintenant vu que je les déplacer je vais l'effacer donc de l'autre côté donc je vais effacer le côté là du triangle voix 1 voilà et donc je vais faire la même chose cette fois-ci mais avec ce triangle au dessus je vais le déplacer là juste en dessous donc je vais dessiner mon côté b ici voilà et ensuite dessiné côté a ici voilà donc là en fait ce triangle là devient ce triangle ici donc de la même manière on va aller face est ici pour y voir un petit peu plus clair voilà donc le résultat c'est que ce triangle là en bleu se retrouve maintenant ici voilà et que ce triangle ici se retrouve maintenant ici dans ma figure donc je retrouve ici exactement ma figure de l'autre côté avec le carré qui a ici qui se retrouve donc ici donc j'espère que tu as bien compris ce que j'ai fait ici j'ai juste déplacé deux triangles donc en fait l'air de cette figure là est exactement la même que l'ère de cette figure est donc maintenant ce qu'on va essayer de faire c'est exprimer l'ère de cette figure en terme de a et b donc si je regarde la longueur la de ce côté de cette figure qu est ce que c est bien là je sais que la longueur de ceux de ce côté-là jusqu'ici cb puisque la ccc exactement là dans la couleur de b ici est ce que je vois ici c'est que la petite longueur ici la c1 donc en fait ce que ça veut dire c'est que la longueur totale ici de ma figure là c'est a + b donc ça déjà c'est intéressant donc maintenant en maîtres sont à regarder c'est que ici là donc j'ai bien à ici et j'ai bien à ici je vais construire un carré de longueur a donc c'est à dire que je vais je vais descendre ici là comme ça et je vais faire un carré ici donc ce carré là là c'est donc un carré de longues heures donc son erre ici c'est à carey et maintenant je vais regarder autre chose d'intéressant est ce que je peux voir en fait c'est que si ça ce côté là ca ici donc ça veut dire que ce qui nous reste ici en fait c'est a + b - a c'est donc cb ici cette longueur la cb donc si cette longueur la cb et sept longueurs l'ascb aussi on sait que là il y a aussi un angle droit donc ça c'est un carré de longueur b ici donc je vais le mettre en couleur pour que ce soit plus clair donc ce quart est là ce carré là c'est un carré d'herbe écart est tout simplement et donc l'air total de cette figure là et bien c c'est à carrer plus b carré et puisque ces deux figures là en fait on désert identique on a juste bouger des triangles pour obtenir cette figure là et bien du coup il s'ensuit que l'air qu'on a pu calculer ici avec les longueurs du béret est exactement la même qu'on a pu calculer avec les longueurs à effet il en suit que donc à carrer plus b carré est égal à ces carrés et donc on retrouve ici notre fameuse équation du théorème de pythagore