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Identifier une conique à partir d'une équation (cercle et parabole)

Transcription de la vidéo

bonjour alors dans cette vidéo on va s'entraîner à identifier une section comics à partir d'une équation sous forme développée alors par exemple je prends cette équation la xe au carré plus y au carré - 2x moins 2 x + 4 y est ça on va dire que c'est égal à 4 donc cette équation la représente une section conique alors ça peut être un cercle une parabole une hyperbole ou bien une ellipse et justement c'est ça qu'on va essayer dé terminer donc on va essayer de déterminer de quelle section conique il s'agit et on va en préciser les éléments caractéristiques alors il ya quelque chose qui nous donne une indication dès le départ dans l'équation ce sont les coefficients de xo carré et de y au carré donc ici c'est un est un donc les coefficients de xo carré de y au carré sont identiques sont égaux ce qui veut dire qu'on va probablement avoir affaire à un cercle alors pour formaliser un petit peu tout ça ce que je vais faire c'est essayer de transformer cette équation là pour la ramener à une forme standard d'une équation de cercle du coup je vais d'abord considérer les termes en main où il ya des x les termes en xxx au carré et à ceux - 2 x qui est là donc je vais réécrire cette partie là comme ça je veux dire que c'est x au carré - 2x plus quelque chose je sais pas que ce que je vais devoir ajouter encore mais je vais ajouter quelque chose de manière à compléter sa pour avoir un car est effectivement alors ensuite je vais faire exactement le même raisonnement pour les termes en y donc à celui là est grec au carré est celui-là 4 y donc je vais écrire ça comme ça plus y au carré +4 y plus quelque chose que je vais devoir déterminer pour compléter et à voir ici un carré voilà je fais ça comme ça et donc ça c'est égal à 4 non maintenant on va essayer de déterminer ce qu'il faut ajouter dans chaque parenthèse pour compléter avoir un carré alors pour la première parenthèse je vais regarder le double produit qui est deux donc en fait il faut que j'ajoute ici la moitié 2 élevée au carré donc la moitié 2 6 7 1 j'élève au carré ça fait un don qui si je dois ajouter 1 et je vais tout de suite ajouté un de l'autre côté du signe égal pour garder l'égalité et ensuite je vais faire la même le même raisonnement pour la 2eme parenthèse donc le double produits c4 la moitié du double produit ces deux donc ici je vais avoir le carré de 2 c'est à dire qu'après ils ajoutent 4 est donc là j'ajoute 4 tout de suite voilà alors maintenant on reconnaît des identités remarquables saïx carré - 2 x + 1 en fait c'est x - 1 au carré x - 1 élevée au carré plus le deuxième terme et en fait ça c'est y +2 élevée au carré y plus de élevée au carré donc si si ces étapes là te paraissent un peu bizarre reprend lé petit à petit et tu peux aussi aller revoir d'autres vidéos sur ces manipulations algébrique est donc en tout cas ça ça doit être égal à 4 + 4 + 1 c'est-à-dire à 9 et là on obtient effectivement l'équation d'un cercle alors c'est pas l'équation standard d'un cercle de centre l'origine l'équation d'un sac de centre l'origine ça serait x au carré plus y au carré égal à air au carré ou air et le rayon ici le petit air c'est le rayon et par analogie ce qu'on voit ici c'est que ce nombre là l'a9 c'est le carré du rayon doncker au carré est égal à 9 et de là on peut voir que du coup le rayon c3 donc on a un cercle de rayon 3 alors il est pas centré en l'origine puisque ici le cercle et centre à l'origine parce que la valeur x égal zéro annuler cette partie là et la valeur y égal zéro annuler cette partie là pour avoir le centre de ce cercle il faut qu'on détermine quelles valeurs annuler ce terme là quelle valeur de x annuler ce terme là et quelle valeur de y annuler ce terme là donc x - un ego est égal à zéro 6 x est égal à 1 et y plus de est égal à zéro 6 y est égal à moins de 1 donc finalement on obtient un cercle de centre le point de coordonnées 1 - 2 et de rayons 3 alors je vais essayer de le placer sur un repaire je vais faire un petit croquis je fais mes axes voilà donc ça c'est l'axé des x et ça c'est l' axe d y je vais mettre une origine une unité ici ça c'est un et ça c'est un aussi donc le centre du cercle il est ici un ordonner un et -2 c'est ce point là alors je vais essayer de tracer un cercle de ce centre ce point-ci et de rayons 3 voilà c'est à peu près ça le centre c'est ce point de coordonnées 1 - 2 cette distance-là ici c'est le rayon qu'on retrouve ici aussi il est égal à 3 alors ici on voit que ces trois parce que j'ai fait exprès je les place est comme ça voilà là il y à deux unités + unités ça fait trois unités donc effectivement j'ai tracé ici à peu près un cercle de rayon trois et deux centres 1 - 2 alors on va faire un autre exemple je l'enlève tout ça voilà on va faire un autre exemple avec un autre type de section comics et cette fois ci on va regarder une section comics qui est donnée par cette équation la 2 x au carré plus y plus 12x +16 égal à zéro alors comme tout alors on va essayer de déterminer si c'est une cercle une parabole une hyperbole ou une ellipse et puis les éléments caractéristiques de cette section comics alors ici il ya quelque chose qu'on peut remarquer tout de suite c'est que on a des termes en x au carré ici mais on n'a pas de terme en y au carré 1 alors ça ça te dit tout de suite en fait que cette équation la représente une parabole alors pourquoi est-ce que ça ça donne une parabole rapidement je peux te refaire un petit dessin alors la parabole la plus connue et la plus standard c'est la parabole d'équations y égale x au carré et celle là tu te souviens c'est une parabole qui est représentée rapidement un croquis là dessus voilà elle c'est une parabole qui est comme ça les symétrique par rapport à l'axé des ordonnées elle et son sommet c'est lors de l'origine du repaire y aller comme ça orienté vers le haut on pourrait avoir aussi une parabole comme sahin d'équations x égale y au carré et dans ce cas là on aurait une parabole qui auraient la même forme mais tourné comme ça avec pour axe de symétrie lax des abscisses cette fois ci voilà en tout cas ce qui est important à retenir là dedans c'est que dans l'équation d'une parabole l'une des variables va être élevée au second degré mais pas la deuxième est ici c'est exactement ça on a des termes on x au carré mais pas de terme en y au carré alors le réflexe du coup c'est de réécrire sa en isolant y donc je vais écrire que c'est y égal alors je passe tout de l'autre côté donc je vais avoir moins de six au carré - 12 x - 16 voilà donc là on arrive à une forme qu'on connaît bien cette partie là c'est un polynôme du degré de deux ans avec une inconnue x donc on peut à partir de cette équation l'a déjà obtenir quelques informations sur la parabole par exemple on peut déterminer les points d'intersection de la parabole avec l'axé des abscisses et ça ça correspondra à trouver les racines de ce polynôme donc à résoudre cette équation la moins 2 x carré - douzy -16 égal à zéro si tu veux ça on peut le faire assez rapidement j'ai factoriser 2 je vais avoir moins de facteurs de xo carré - + 6 x + 16 / de ça fait 8 égal à zéro donc là il faut factoriser ça et ça donne alors je le faire je te laisse vérifier les calculs c'est moins 2 x x plus de facteurs de x +47 ce produit là est égal à cette parenthèse du dessus donc toute cette expression doit être égale à zéro et ça ça implique que il faut que x soit égal que x + 2 soit égal à zéro donc x soit égal à moins 2 ou que x + 4 soit égal à zéro c'est à dire que x soit égal à moins 4 voilà du coup on peut se faire une petite idée déjà de la parabole or je vais la trace est ici en fait je vais placer les points ça me donne des indications donc ça c'est zéro ça c'est un et ça c'est un est ce qu'on vient de déterminer c'est qu'il ya une des racines qui est ici x égales - 2 c'est celle-là et une autre qui était x égales - 15h56 j'ai pas fait la ksa c'est long donc moi - 2 - 3 - 4 c'est ici voilà donc les deux points bleus ici ce sont les rois d'intersection de la parabole avec l'axé des abscisses dont c'était déjà une indication mais c'est quand même pas suffisant alors on va essayer maintenant à un utilisant les mêmes techniques que tout à l'heure c'est à dire de compléter pour avoir des carrés eh bien on va essayer d'avoir un peu plus d'informations sûres sur notre parabole alors je vais réécrire cette équation là je vais essayer de faire apparaître un carré ici donc je vais je vais leur écrire y égal je vais prendre cette partie la partie qui contient des x je vais factoriser le moins deux pour m'en débarrasser et puis je vais essayer de rajouter quelque chose qui va transformer cette partie là en main car alors déjà je factories donc je vais avoir moins de x x au carré - + 6 x voilà plus quelque chose que je vais déterminé à tout à l'heure - 16 alors ici le double produit c'est 6 donc la moitié du double produit ces trois donc ce qu'il faut que j'ajoute ici c'est le carré de 3 c'est à dire neuf alors attention parce que là j'ai ajouté neuf dans cette parenthèse en fait en tout j'ai pas ajouter 9 g a ajouté neuf fois moins 2 c'est-à-dire moins 18 donc j'ai en fait j'ai enlevé 18 donc si j'enlève 18 à ce membre là il faut que j'enlève 18 aussi ici donc je vais faire en fait moins 18 de ce côté là donc ici j'ai moins 18 plus y égal à ce membre aussi je verrai écrire ça un peu plus correctement donc finalement ça me donne y -18 égal à moins 2 alors ici ce que j'ai x au carré plus 6 x + 9 tu l'auras reconnu ici c'est x + 3 élevée au carré x + 3 élevée au carré - 16 alors je vais aller un petit peu plus loin je vais essayer de me rapprocher de cette forme si l'équation de la parabole classique de base et pour faire ça je vais passer le cese de l'autre côté donc ici je vais avoir y -18 +16 ça va faire y -2 égal à - 2 x + 3 au carré voilà alors si je fais ça c'est parce que je reconnais là quelque chose qui est très proche de ça alors il y a des différences mais si j'appelle ça grands y grands y c'est donc petit y -2 et grand x c'est cette partie là c'est donc grandi que segal petit x + 3 est bien de cette manière là j'obtiens une équation qui sera celle ci y grands y égal moins deux fois x au carré quantix au carré voilà et là tu vois qu'on est d'une forme très très proche de celle ci un alors je peux faire quelques petits croquis pour qu'on clarifie un petit peu si je trace la parabole d'équations y égales - x au carré je vais avoir quelque chose comme ça je fais ça vraiment à la louche ça c'est y égales - x au carré elle a la même forme que celle ci mais elle est orientée vers le bas et si maintenant je veux tracé par exemple la parabole des coûts si on y égal 2 x au carré le sommet sera toujours ce point-ci à l'origine du repère mais je vais avoir une forme plus plus abrupte puisque les ordonner grandissent deux fois plus vite dans ce cas ci donc je vais avoir une parabole qui va ressembler à ça quelque chose comme ça ça c'est celle ci un parabole d'équations y égal 2 x au carré et si je prends la parabole d'équations y égales - 2 x au carré je vais avoir la même qu'au dessus mais orientée vers le bas donc ça assez y égales - 2 x o car est donc ce coefficient là nous renseigne un peu sur la forme de la parabole l'écartement de la parabole alors ce qu'on peut dire aussi c'est que le sommet de cette parabole c'est le point de coordonner 001 c'est l'origine dur perdent donc x égal zéro et y et gagnent 0 et de la même manière le sommet de cette parabole là c'est le point de coordonner grant x égal zéro et grands y égal zéro et on peut exprimer ça en terme de petit hic ces petites y bien sûr ici je dois avoir grand x égal à zéro mais grant x égal à zéro ça veut dire petit x + 3 égal à zéro donc petit hic segal -3 donc dans notre repère l'abscisse du sommet de cette parabole c'est moins 3 et puis l'ordonné en l'obtient en disant que grant y doit être égale à zéro c'est à dire petit y moins de égal à zéro donc petit y égale à 2 donc le sommet de cette parabole c'est le point de coordonnées moins 3,2 alors moins 3 il est ici et deux îles et la voilà donc finalement on peut voir un petit peu la lure de notre parabole elle est comme ça elle passe par ces deux points d'intersection avec l'axé des abscisses est là pour sommer le point de coordonnées moins 3 2