Bonjour , je ne comprend pas un calcul dans l'exemple de la fonction composée : f (g(x)) = 3 (g(x)) −1 on remplace g(x) par x^3 +2 , donc f(g(x)) = 3x^3 +2 -1 ce qui donne pour moi 3x^3 + 1 alors que vous avez trouvé 3x^3 + 6 - 1 ? Comment êtes vous passé de +2 à + 6 ? Désoler si ma question est bête mais je ne comprend pas, merci de votre aide !

Bonjour; Attention, ce que vous dites serait vrai si g(x) était égal à x^3. Ici g(x) = x^3 + 2, donc f(g(x)) = 3g(x) - 1 = 3(x^3 + 2) - 1 = 3x^3 + 6 - 1 Il y a une erreur dans cette leçon car la parenthèse autour de x^3 + 2 a été omise. L'erreur va être corrigée.

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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 5

Leçon 2: Composition de fonctions

Fonctions composées

Google Classroom

À travers divers exemples apprendre à définir une fonction composée.

Soit une fonction

g

dont l'ensemble de définition est

A

et l'ensemble image

B

. Et soit une fonction

f

dont l'ensemble de définition est

B

et l'ensemble image

C

. Si

x

a comme image

y

par la fonction

g

et si

y

a comme image

z

par la fonction

f

, on peut imaginer la fonction qui à

x

fait correspondre

z

. Cette fonction s'appelle la composée de $g$ ‍ suivie de $f$ ‍. On a

y = g (x)

z = f (y)

, donc

z = f (g (x))

Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée

Exemple

f

g

sont telles que

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

. Calculer

f (g (3))

Réponse

Il faut toujours calculer d'abord ce qui est dans les parenthèses intérieures. Ici, on calcule d'abord

g (3)

Le calcul de

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (3) & = 3^{3} + 2 \\ = 29 \end{aligned}$ ‍

g (3) = 29

, donc

f (g (3)) = f (29)

Le calcul de

f (29)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (29) & = 3 \times 29 - 1 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Donc

f (g (3)) = f (29) = 86

L'expression de la fonction composée

Dans cet exemple, l'image de

3

par la fonction

g

est

29

et l'image de

29

par la fonction

f

est

86

. On veut écrire la fonction "

g

suivie de

f

" qui à

3

fait correspondre

86

On veut donc établir l'expression de la fonction composée

g

suivie de

f

, c'est-à-dire

f (g (x))

Exemple

Quelle est l'expression de

f (g (x)) ?

si $f (x) = 3 x - 1$ ‍ et $g (x) = x^{3} + 2$ ‍.

Réponse

f (g (x))

est l'image de

g (x)

par la fonction

f

. Donc on remplace

x

par

g (x)

dans l'expression de

f

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (g (x)) & = 3 g (x) - 1 \end{aligned}$ ‍

g (x) = x^{3} + 2

, donc on remplace

g (x)

par

x^{3} + 2

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \\ = 3 (x^{3} + 2) - 1 \\ = 3 x^{3} + 6 - 1 \\ = 3 x^{3} + 5 \end{aligned}$ ‍

On vérifie si l'image de

3

par cette fonction est bien

86

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 x^{3} + 5 \\ f (g (3)) & = 3 \times 3^{3} + 5 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Parfait !

À vous !

Exercice 1

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

Calculer $g (f (1))$ ‍.

Exercice 2

m (x) = 3 x - 2

n (x) = x + 4

Expliciter $m (n (x))$ ‍.

Fonction composée : définition

Dans l'exemple ci-dessus, on a explicité une fonction composée.

La fonction composée

g

suivie de

f

est notée

f \circ g

, ce qui se lit "

f

rond

g

", et par définition :

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ‍

Ce schéma permet de bien visualiser que

f (g (x))

est l'image de

x

par la fonction

f \circ g

Voici un autre exemple.

Exemple

g (x) = x + 4

h (x) = x^{2} - 2 x

Expliciter

(h \circ g) (x)

et calculer

(h \circ g) (- 2)

Réponse

On explicite

(h \circ g) (x)

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = h (g (x)) & Par définition. \\ = (g (x))^{2} - 2 (g (x)) & On remplace x par g (x) dans l’expression de h . \\ = (x + 4)^{2} - 2 (x + 4) & car g (x) = x + 4. \\ = x^{2} + 8 x + 16 - 2 x - 8 & On développe. \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

On connaît l'expression de la fonction

h \circ g

, donc pour calculer

(h \circ g) (- 2)

, on remplace

x

par

- 2

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = x^{2} + 6 x + 8 \\ (h \circ g) (- 2) & = (- 2)^{2} + 6 \times (- 2) + 8 \\ = 4 - 12 + 8 \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Pour calculer la valeur de

(h \circ g) (- 2)

, on peut aussi calculer directement

h (g (- 2))

$\begin{aligned} (h \circ g) (- 2) & = h (g (- 2)) \\ = h (2) car g (- 2) = - 2 + 4 = 2 \\ = 0 car h (2) = 2^{2} - 2 \times 2 = 0 \end{aligned}$ ‍

Ce schéma permet de visualiser

(h \circ g) (- 2)

h (g (- 2))

L'image de

- 2

par

g

est

2

, puis l'image de

2

par

h

est

0

. L'image de

- 2

par

g

suivie de

h

, c'est à dire par

h \circ g

est

0

À vous !

Exercice 3

f (x) = 3 x - 5

g (x) = 3 - 2 x

Calculer $(g \circ f) (3)$ ‍.

Par définition, on doit calculer

g (f (3))

Pour calculer

g (f (3))

, on commence par les parenthèses intérieures.

On calcule

f (3)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 5 \\ f (3) & = 3 \times 3 - 5 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

f (3) = 4

, donc

g (f (3)) = g (4)

On calcule

g (4)

$\begin{aligned} g (x) & = 3 - 2 x \\ g (4) & = 3 - 2 \times 4 \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Donc

g (f (3)) = g (4) = - 5

On aurait pu aussi expliciter

g (f (x))

puis remplacer

x

par

3

dans l'expression trouvée.

Dans les deux exercices ci-dessous,

f (t) = t - 2

g (t) = t^{2} + 5

Exercice 4

Expliciter $(g \circ f) (t)$ ‍.

Exercice 5

Expliciter $(f \circ g) (t)$ ‍.

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions

f

g

Par lecture graphique, on obtient que $(f \circ g) (8)$ ‍ est égal à :

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Lexe Koshka
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Lexe Koshka «Bonjour , je ne comprend ... »
Bonjour , je ne comprend pas un calcul dans l'exemple de la fonction composée : f (g(x)) = 3 (g(x)) −1 on remplace g(x) par x^3 +2 , donc f(g(x)) = 3x^3 +2 -1 ce qui donne pour moi 3x^3 + 1 alors que vous avez trouvé 3x^3 + 6 - 1 ? Comment êtes vous passé de +2 à + 6 ? Désoler si ma question est bête mais je ne comprend pas, merci de votre aide !
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Bonjour; Attention, ce qu ... »
  Bonjour; Attention, ce que vous dites serait vrai si g(x) était égal à x^3. Ici g(x) = x^3 + 2, donc f(g(x)) = 3g(x) - 1 = 3(x^3 + 2) - 1 = 3x^3 + 6 - 1
  Il y a une erreur dans cette leçon car la parenthèse autour de x^3 + 2 a été omise.
  L'erreur va être corrigée.
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