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5e année secondaire - 4 h
Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 5
Leçon 2: Composition de fonctions- Définir la composée de deux fonctions
- Définir la composée de deux fonctions
- Fonctions composées
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée -tableau de valeurs
- Lire sur un graphique l'image d'un nombre par une fonction composée
- L'image d'un nombre par une fonction composée à partir des courbes représentatives ou de tableaux de valeurs des deux fonctions
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée - Exemple
- Identifier des fonctions composées
- Reconnaître si une fonction est une fonction composée
- Établir l'expression de la composée de deux fonctions
- Établir l'expression de la composée de deux fonctions
- Modéliser avec des fonctions composées
- Modéliser à l'aide d'une fonction composée - exemple
- Modéliser à l'aide d'une fonction composée
Définir la composée de deux fonctions
Apprendre comment composer deux fonctions grâce à un exemple concret inspiré du travail agricole.
Roland est agriculteur. Chaque année il cultive du maïs. Sa production est représentée par une fonction , qui donne sa récolte, en kg, en fonction de la surface cultivée, , en hectares.
S'il cultive hectares, par exemple, il produira de maïs.
Ce qui l'intéresse maintenant c'est de savoir combien lui rapportera la vente de sa récolte. Il utilise donc une fonction, , qui donne son revenu, en euros, en fonction de la masse de maïs vendue, , en kg.
Donc s'il produit de blé, son revenu sera €.
Roland a donc besoin de deux fonctions distinctes pour évaluer son revenu en fonction de la surface cultivée. Une première fonction, , qui aux hectares cultivés fait correspondre une production en kilogrammes et une deuxième fonction, , qui aux kilogrammes récoltés fait correspondre un gain en euros.
Peut-on définir une fonction qui au nombre d'hectares cultivés fait correspondre directement le revenu de Roland ?
On définit une nouvelle fonction
On peut effectivement écrire la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre directement le revenu de la vente de la production ! Pour cela, une question primordiale : Combien Roland devrait-il gagner en cultivant hectares de terre ?
Si Roland cultive hectares, il produira kilo de maïs. Et s'il produit kilo de maïs, il gagnera euros.
Pour avoir la fonction qui a hectares fait correspondre le revenu en euros, il suffit d'expliciter .
Mais comment faire ? L'écriture , signifie que par la fonction , on a l'image de . Il faut donc remplacer par dans l'expression de .
Donc la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre le revenu de Roland, est définie par . Essayons, avec deux hectares cultivés, de savoir ce que gagnera Roland :
On a obtenu , c'est bien le bon résultat !
La fonction obtenue est la fonction composée suivie de
La fonction que l'on vient d'obtenir est appelée une fonction composée. Connaissant le nombre d'hectares cultivés en blé, cette fonction a permis de calculer directement le revenu correspondant au lieu d'utiliser une première fonction pour calculer la récolte de blé, puis une deuxième fonction pour calculer le revenu procuré par cette récolte.
Pour cela, on a établi l'expression de . Cette fonction composée est notée , qui se lit " rond " ou " suivie de ".
Par définition .
Un schéma pour bien comprendre
Voici un schéma :
Si on utilise la fonction , puis la fonction , alors l'image de par la fonction est , et l'image de par la fonction est .
Si on utilise la fonction , alors on obtient directement que l'image de est .
On obtient le même résultat par les deux méthodes.
À vous !
Exercice 2
Ben est producteur de pommes de terre. La fonction qui à la surface cultivée, , en hectares, fait correspondre sa récolte en , est définie par et la fonction qui à la production de de pommes de terre fait correspondre le revenu qu'il en tire est définie par .
Exercice 3
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